Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В то р о й сл у ч а й. Нулевая гипотеза Не!о«=о«. Конкурирующая гипотеза Н,гпз чапае. В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя нз требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а. Критические точки †лев и правую границы критической области †наход, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждой из двух интервалов критической области была равна а/2: Р [Х' < Х,'„,„(а/2; /з)1 = а/2, Р (Х* > УДрамкр(а/2; /с)1=а/2. В таблице критических точек распределения Ха укаяаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки.
Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события Х' < Х„'„„р и Х' > ) у'„,,„р противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Р(Х <Хзл .ю)+Р(Х >Хзе д»)=1 ° Отсюда Р(Х') Х'„, „р) =1 — Р(Х* < Х'„,ьр) = 1 — (а/2). Мы видим, что левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по табли5 лице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна ! — (а/2). Правило 2.
Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии оз нормальной совокупности гипотетическому значению без при конкурирующей гипотезе Н,:оз-ьсгз„надо вычислить наблюдаемое значение кРитеРйЯ Х'„,а„= (и — 1) зз/ой и по таблице найти левую критическую точку Х„' (1 — а/2; л) и правую критическУю точкУ Хйр (а/2; (г).
Хлек.кр С Хйквл С Хйрек.к,— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. ЕСЛИ Хйаал < Кйев.кр ИЛИ Хкаал ) Хйрвк.кр НуЛеауЮ ГИПО- тезу отвергают. Прнмер 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема лкк!3 н по ней найдена нспрввленная выборочная днсперсня за=10,3. Требуется прн уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу Нз'.оз=оз=12, прнняв в качестве конкурирующей гипотезы Нз.оз ~ 12.
Р е ш е н н е. Найдем наблюдавшееся значенне критерия: = (и — 1) з'(аз = ((13 — 1). 10,3)(12 = 10,3. Так как конкурнрующая гипотеза нмеет внд оз ~ 12, то крнтнческая область — двусторонняя. По таблице приложения Б находим крнтнческне точкн: левую— (1 — а/2; й)=хй (1 — 0,02/2; 12) =!(й (0,99; 12) =3,67 н правую— Хзр(а/2; й) =уз (0,01; 12) =26,2. Так как наблюдавшееся значение крнтеркя прннадлежнт области принятия гипотезы (3,57 < 10,3 < < 26,2) — нет оснований ее отвергнуть. Другнмн словами, нсправленная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отлнчается от гяпотетнческой генеральной дисперсии (12).
Т р е т и й с л у ч а й. Конкурирующая гипотеза Н,:о'< ой. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н,:о'<'озз находят критическую точку Х„'р(1 — сс; Й). Если Хй.а,) Хйр(1 — а; /з) — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Х'„,а, < Хй,(1 — а;л) — нУлевУю гипотезУ отвеР- гают. 3 а ме ч а н н е !. В случае, если найдена выборочная днсперсня Р, в качестне крнтерня прнннмают случайную величину Х =лР,/оз, которая нмеет распределение Хз с й=л — 1 сгепенямн 3 3 свободы, лабо переходят к аз =(л/(л — 1)1 Рк.
За меча нне 2. Если число степеней свободы (е> 30, то мрнтнческую точку можно найти приближенно по равенству Уилсона— 296 Гилфертн )(„г (ок й) = й ( 1 — (2/9й) + г„ ~ (2/9й)]г, где г, определяют, используя функцию Лапласа (см. приложение 2), по равенству Ф (г,„) =(1 — 2сс)/2. й 1О. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки) Пусть генеральные совокупности Х и )г распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически).
По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны и и т, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние х и у. Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т.
е. Н,: М (Х) = М ()'). Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних (см. гл. Х'т/, 9 5), т. е. М(Х)=М(Х) н М(г')=М()'), нулевую гипотезу можно записать так: Н,: М (Х) = М(К). Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо нли незначимо различаются выборочные средине? Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.
Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметиче- 297 ские х и у результатов измерений этих величин раз личны, то зто различие незначимое. Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическое х результатов измерений физической величины А значимо отличается от среднего арифметического у результатов измерений физической величины В, то это означает, что истинные размеры (математические ожидания) этих величин различны. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину х — Р х — Р а (х — У) УР (х)/л+Р О')/т Эта величина случайная, потому что в различных опытах х и д принимают различные, наперед неизвестные значения„ Пояс не н не.
По определению среднего квадратического отклонения, а(Х вЂ” г ) = У1) (Х вЂ” У). На основании свойства 4 (см. гл. Ч111, й 5), Е~(Х вЂ” У) = О(Х)+ О(У). По формуле (э) (см. гл. Ч111, Э 9), 1)(Х)=В(Х)/п, 1) (г') = 1) ()')/лг. Следовательно, о(Х вЂ” У)= Критерий 2 — нормированная нормальная случайная величина. Действительно, величина Л распределена нормально, так как является линейной комбинацией нормально распределенных величин Х и У; сами эти величины распределены нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей; 2 †нормированн величина потому, что М (Я) =0; при справедливости нулевой гипотезы о(Е) = 1, поскольку выборки независимы.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. 293 Первый случай. Нулевая гипотеза Н„: М(Х) = = М()'). Конкурирующая гипотеза Н,: М(Х)чьМ(У). В атом случае строят двусторонйюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а., Наибольшая мощность критерия (вероятиость попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда О я«р Б Рис. 26 акр «леваяр и «праваяр критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна а/2: Р(Я < г„, )=а/2, Р(Я) г„„, „р)=а(2.
Поскольку Я вЂ” нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относительно нуля, критические точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через г„, то левая граница равна — г„, (рис 25). Итак, достаточно найти правую границу, чтобы найти саму двустороннюю критическую область Я < — г„, 2) г„и область принятия нулевой гипотезы ( — г„р, г,р). Покажем, как найти г„— правую границу двусторонней критической области, пользуясь функцией Лапласа Ф(г), Известно, что функция Лапласа определяет вероятность попадания иормировайной нормальной случайной величины, например Е, в интервал (О, г): Р (О < 2 < г) = Ф (г).
(ии) Так как распределение Я симметрично относительно нуля, то вероятность попадания Я в интервал (О, ро) равна 1)2. Следовательно, если разбить зтот интервал точкой г„на интервалы (О, г„р) и (г„р, оо), то, по теореме 299 сложения, р (О < г < г„,) + Р (г > г„,) - ц2, В силу (») и (»») получим Ф (г„ ) + а/2 1/2. Следовательно, (»»») Ф (г„) = (1 — и)!2. Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую границу двусторонней критической области (г„), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное (1 — и)(2. Тогда двусторонняя критическая область определяется неравенствами 2< — „„г>г, или равносильным неравенством ~ г ( > г„, а область при- нятия нулевой гипотезы — неравенством — г„< Я < г„, или равносильным неравенством (г.
~ < г„р. .Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Л„,аа и сформулируем правило про- верки нулевой гипотезы. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна- чимости и проверить нулевую гипотезу На: М (Х) = М (1') о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями прн конкурирующей гипотезе Н,: М (Х) чь М Щ, надо вычислить наблюденное значение критерия Л„,а, = мифу~ л г о[ху,~.ор ° ь г* г е. -о — "гг. вр Если (Яа,а,) < г„р — нет оснований отвергнуть нуле- вую гипотезу.
Если (Л„,а, [ > г„— нулевую гипотезу отвергают. Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны и 50 и и! = 50, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние а=1250 н й=!275. Генеральные дисперсии известны: й(Х) =120, В(У) =100. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Не.
М(Х) = =М (У), прн конкурирующей гипотезе Нг'. М (Х) Ф М (1'). Р е ш е н и е. Найдем наблюдаемое значение критерия: х — у 1250 — 1275 лааба— — 12,5. Р ~ )( гО гт гт20~60.(. 1ООаО По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (Х) Ф М (У), поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем правую критическую точку: Ф(г„р)=(! — а)/2=(! — 0,0!)/2 0,495. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим г„2,58. Так как !2«,а,! > а„р — нулевую гипотезу отвергаем. вкругими словами, выборочные средние различаются значимо. Второй случай. Нулевая гипотеза Нэ! М(Х) = = М(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
