Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Равноотстоящие частоты, множество их бесконеч- ное (счетное). В предыдущем пункте предполагалось, что число частот в спектральном разложении («) конечно, а сами частоты — произвольные числа. Теперь рассмотрим спектральное разложение вида Х ([) = .~~~ [Уг сов одд[+ У, з[п вдЯ, д ! в котором число частот б е с к о н е ч н о (счетно), оии р а в н о о т с т о я ш и е, причем разность любых двух «со- седнихз частот Ьдв=одд+д — пд;=н!Т (д=[, 2, ...), где Т вЂ” действительное положительное число. Таким образом, дд 2дд вн од Вет ° ''гтл ° Напишем корреляционную функцию [см.
й 1, фор- мула (~а»)1 рассматриваемой стационарной случайной функции Х (Г), положив ы, = иОТ, п = оо: ~О Й (т) = ~~, О; соз — т. (э) 1=1 При т=0, учитывая, что й„(0) = О„, получим Ю В„= ~~ О;. (~нь) Г=! Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы беско- нечного (счетного) множества гармоник с равноотстоя- щими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых гармоник (если сумма существует, т. е.
ряд (ач) сходится). Заметим, что соотношение («) можно рассматривать как разложение корреляционной функции в ряд Фурье по косинусам. Из (а) видно, что я„(т) — периодическая функция с периодом 2Т„ поэтому коэффициенты Фурье т 1 Р я1 ~= ~ ~~„()соз ~~~~, т или, учитывая, что ы;=и(Т и подынтегральная функ- ция — четная, т О; = Т ') й„(т) созквтйт.
2 Р о Если каждой частоте а;= тн(Т ((=1, 2, ...) ставить в соответствие дисперсию Во то получим, как и в случае конечного числа произвольных частот, д и с к р е т н ы й л и н е й ч а т ы й спектр, причем число спектральных линий (ординат В;) бесконечно (счетно) и они равноотстоящие (соседние спектральные линии находятся одна от другой на одном и том же расстоянии Ли=я!Т). й 3. Непрерывный спектр стационарной случайной функции.
Спектральная плотность Среди стационарных случайных функций есть такие функции, корреляционные функции которых нельзя представить в виде «,(т) =~~~,'В~сов<о;т (О; ) О), Спектральной плотностью стационарной случайной Функции Х(1) называют функцию я„(в), которая связана с корреляционной функцией Й (т) взаимно обратными преобразованиями Фурье: я,(в) = — ~ й„(т)е-'"'й~, 1 г а, (т) = ~ я, (в) е'"' Йо (-) где число слагаемых конечно или счетно. Спектр этих функций не дискретный, а непрерывный.
Для рассмотрения стационарных случайных функций с непрерывным спектром необходимо ввести понятие спектральной плотности. Выше, когда частоты гармоник спектрального разложения стационарной случайной функции были дискретными и равиоотстоящими, был получен дискретный линейчатый спектр, причем соседние частоты отличались на величину Лв = и/Т. Пусть Т вЂ” оо, тогда Лв — О. Ясно, что при этом частота изменяется непрерывно (поэтому обозначим ее через в без индекса), соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного спектра мы получим непрерывный спектр, т. е. каждой частоте в(в'- 0) соответствует ордината, которую обозначим через я',(в).
Хотя отрицательные частоты физического смысла не имеют, для упрощения вычислений целесообразно считать, что частоты изменяются в интервале ( — оо, оо), и вместо функции я„'(в) рассматривать функцию, которая имеет вдвое меньшие ординаты: я (в) = я„(в)/2. Эти формулы называют формулами Винера — Хинчина. В действительной форме они представляют собой взаимно обратные косииус-преобразования фурье: я„(в) = — А (т) соз вт йт, ) г (ооо) й„(т) 2 ) я„(в) соя втйв. о Важное значение спектральной плотности состоит в том, что, зная ее, можно найти корреляционную функцию, и обратно (в этом смысле спектральная плотность и корреляционная функция эквивалентны); кроме того, как уже было указано, использование спектральной плотности в ряде случаев значительно упрощает теоретические и практические расчеты.
Подчеркнем, что, как следует из формулы (»»«), с нектральная плотность — четная функция: з„( — а) = з„(в). Выясним вероятностный смысл функции з„(в). Положив т = О в соотношении («»»«) и учитывая, что й„(О)=-Вх, з„(в) — четная функция, получим Ю а> Ох=2 ~ зх(в)йо= ~ з (в)йо. о Ю Видим, что дисперсия стационарной случайной функции Х(1) представляет собой «сумму» элементарных дисперсий з„(в) дв = з„(в) Ьв; каждая элементарная дисперсия соответствует частичному интервалу частот Ьа. В частности, частичному интервалу Ьв= ⻠— в«соответствует дисперсия «» .0„= ) з,(а)йе. « По теореме о среднем, Ре= (ао аа) зх(вх) = Ьвзх (вх)> где а, < в, < в». Отсюда зх(в,) = О /Ьв.
Из этой формулы заключаем. а) величину з„(в,) можно истолковать как с р ед н ю ю ил отн ость дйсперси и на частичном интервале Ьа, содержащем частоту в,; б) при Ьа — О естественно считать, что з„(а,) — п л о ты о с т ь д и с п е р с и и в точке в,. Поскольку никаких ограничений на частоту в, наложено не было, полученный результат справедлив для любой частоты, Итак; спектральная плотность описывает распределение дисперсий стационарной случайной функции по непрерывно изменяющейся частоте. Из вероятностного смысла спектральной функции следует„что спектральная плотность — неотрицат е л ь н а я ф у н к ц и я з„(в) ) О. Пример 1.
Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х (!), зная ее корреляционную функцию ! ак(т) = 2 1 — — )т) прн )т)~2, 0 при (т) > 2. Ре ш е н н е. Используя формулу з„(в) = — ~ йл (т) соа вт пт 1 о н учитывая, что (т(=т в интервале (О, 2), имеем з„(в)= ~ ~! — — Т) соя всат. из) 2 о Интегрируя по частям, окончательно получим искомую спектральную плотность: з„(в) = в и' в/(пвз).
Пример 2. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х (Г), зная ее корреляционную функцию йл (т) =Бе-и < т ~, а > О. Р е ш е н и е. Используем формулу з„(в) = ) йл (т) е-гмт пт. (' — ) л Учитывая, что ) т(= — т при г < О, ( т(=т при с~ О, получим йа(т)=1)емт прм т < О, й (г) =)Уе-От при т)0. Следовательно, о Ю ()Г( а (в) = — еят е-гмтот+ е™те-гитис х О о м о Г~ — е~м-гю~ тот+ е-ш+гае ТАТ 2м ~,) Выполнив интегрирование, найдем искомую спектральную плотность: (уа зл(в)= п(а +вз)' Прнмер 3. Найти корреляцноннуюфункцнюстацнонарной случай- ной функцнн Х(Г), зная ее спектральную плотность =( зе в нктервале — ме~ы~ега » (м) = О вне этого интервала.
Ре ш е н и е. Используя формулу » й»(т) =2 ~ з» (ы) сов гагат о и учитывая, что з» (ге)=еге в интервале (О, юе), имеем а» (т) =2зе ~ соз гзтг(т. 0 Выполннаянтегрнрованне, получим яскомую корреляцноннуюфункцню: »» (т) = 2зз з)п т»т(т. й 4. Нормированная спектральная плотность Наряду со спектральной плотностью часто используют нормированную спектральную плотность. Нормированной спектральной плотностью стационарной случайной функции Х(!) называют отношение спектральной плотности к дисперсии случайной функции: Ю з„„ез„(ш) = з„(ю)/О» = з„(ю)~ ~ з„(ш) пю.
Прнагер. Задана спектральная плотность з» (ы) =5!(и (! +шее стацнонарной случайной функции Х (!). Найти нормнрованную спектральную плотность. Р е ш е н и е. Найдем дисперсию: 5 Г Лы Б Р»= ~ з.» (ю) Йо = — ~ — = — ° и =5. и,) (+мз и » — » Найдем яскомую нормнрованную спектральную плотность, для чего разделим заданную спектральную плотность на днсперсню Р» = Гн в нтоге получим з»»ор» (ге) = ! Ли 0 + ю )) ° Нормированная спектральная плотность представима в вкде косинус-преобразования Фурье нормкрованной корреляционной функцик: » з»»ьз» (га) =- — Р»(т) сов ютот. ! Г Действительно, чтобы получить эту формулу, достаточно разделить на О„обе части соотношения («««) (см. $ 3). В свою очередь, нормированная корреляционная функция выражается через нормированную спектральНую плотность прн помощи обратного преобразования Фурье: р„(т) = 2 ~ з„„,р„(в) соз вт йв.
е В частности, положив т=О и учитывая, что р„(0)=1, получим 2 ~ з„„,р„(в) йв = 1, или ~ за к „(в) йв = 1. Геометрически этот результат означает, что площадь, ограниченная снизу осью Ов и сверху кривой з„„„(в), равна единице. й Б. Взаимная спектральная плотность стационарных н стационарно связанных случайных функций Пусть Х (г) и 1'(1) — стационарные и стационарно связанные случайные функции со взаимной корреляционной функцией г„„(т).
Взаимной спектральной ллотностью двух стационарных и стационарно связанных случайных функций Х(() и )'(() называют функцию з„„(в), определяемую преобразованием Фурье: з„„(в) =~ ) г„„(т)е-'«тйт. 3 Г В свою очередь, взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье: (в) ес~~ й~ Прнмер. Задана корреляционная функцня З„(т) стационарной случайной функцан Х(т), Найт«: а) ааанмнув корреляцноннувфункцню; б) ааанмную спектральнув плотность случайных функцнй Х(() н у (Е) = Х И+ Ге). 442 Р е ш е н н е. а) Легко убедиться, что У' (!) — стационарная функция. Найдем взаимную корреляционйую функцию: Д„„(бот,) =и (Х У ) )О (Г,)1 =и (Х (Гй)Г(Г,+Г,)1= =як Н(о+го) — го)=як(т+Уо). Отсюда видно, что стационарные функции Х(Г) и )'(Г) стационарно связаны (ик взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов т).
б) Найдем взаимную спектральную плотность: ОР з (оо) — ~ йк(т+Фо) е-гмтбт ! ка епа ° ( йк(я+го)е '"и+"1 б(т+оо)=ецио зк(м). 2п,) Итак, искомая взаимная спектральная плотность зку(оо)=е" озк (ы). им о 5 б. Дельта-функция Делогпа-функция 6 (г) является примером обобщенной функции (абоби(анния функция — предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций). Дельта-функцию определяют тем условием, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функции ~(г) ее значение при г=О: 6(() ~(() М =~(0). Правую часть равенства можно представить в виде предела: о Ф о,.о 2е $ о (~) (С= е-1.о з бо (') о (С) с(' (е>0)> где ~ 0 при ~у~~а, бо (о) = ( 1/(2е) при ~ ( ~ < е. Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций 6, (г) при е — О.
Учитывая, что 6, (() — О при ( ~=0, б, (() — оо при о г- 0 и ) 2 И=1, условно пишут 2е -о б (у) = 0 прн гчьО, оо при ~ =О. Физически дельта-функцию можно истолковать как плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле. Можно доказать, что дельта-функция представнма интегралом Фурье: Ь(г') = — ~ е'"'Йв. 1 2н Ф Отсюда ) е'"" с(в = 2п Ь (1). Зв меч в н не, В приложениях часто используют соотношение $ УУ) б (1 1») хг=/(те) которое вытекает из сказанного выше. (е) получим й„(т) =и ~ е'"'йо. Приняв во внимание, что [см. й 6, соотношение (ец $ е'~т(в = 2иб (т), окончательно имеем йх (т) = 2язй (т).
(") Таким образом, корреляционная функция стационарного белого шума пропорциональна дельта-функции; коэффициент пропорциональности 2пз называют интенсивностью стационарного белого шума. 444 $7. Стационарный белый шум Стационарным белым шумом называют стационарнуюслучайнуюфункцию Х ((), спектральная плотность которой постоянна: з (в) =и=сопи(. Найдем корреляционную функцию белого шума. Используя формулу (»») (см. $ 3) Й (т) = ~ з„(в) е' 'с(в, ф Дельта-функция равна нулю при всех значениях т~О, поэтому и корреляционная функция й„(т) также равна нулю при этих же значениях т [это видно из формулы (ее)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
