Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность. Ниже воспользуемся понятием сложного собьипия, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют просгпыми. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться.
Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, аероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна 0=1 †Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при и испытаниях событие А осушествнтся ровно й раз и, следовательно, не осуществится л †раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно й раз в определенной последователь- ности.
Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: АААА, АААА, АААА, АААА. Запись АААА означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оио не появилось, т. е. наступило противоположное событие А; соответственный смысл имеют и другие записи. Искомую вероятность обозначим Р„(л). Например, символ Р, (3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза. Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли. Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в и испытаниях событие А наступит й раз н не наступит а — л раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна Р"д"-". Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из и элементов по й элементов„ т. е.
С». Так как этн сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления л раз события А в и испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на нх число: Р (й) ѻл, -» или Полученную формулу называют формулой Бернулли. Пример. Вероятность того, что расход электроэнергнн в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р= 0,75.
Найтн вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергнн в теченне 4 суток не превысит нормы. Р е ш е н н е. Вероятность нормального расхода электроэнергнн в продолженне каждых нэ 6 суток постоянна н равна в=0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергнн в каждые сутки также постоянна н равна д= ! — р= ! — 0,75=0,25. Искомая вероятность по формуле Бернуллн равна Ре (4) =Сеер~д~ =Сцред'= — (075)е (025)» =0 50. 1.
$2, Локальная теорема Лапласа Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в и испытаниях ровно й раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна.
Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях и достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если п=50, я=30, р =0,1, то для отыскания вероятности Р„ (ЗО) надо вычислить выражение Р„(30) = 50)/(30!20!) (0,1)". (0,9)", где 501=30414093 1О" 301=26525286.10" 20! = = 24 329 020 10". Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую е' формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно Й раз в и испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Заметим, что для частного случая, а именно для р= 1)2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра †Лапла. Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно, поэтому мы приведем лишь формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие ее использование. Локальная теорема Лапласа. Если вероятноапь р появления события А в «аждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р„(м) того, Функцию ф (к) называют аснмптетнческнм прнелнженнем функции 7(а), еслн !ип =1.
/ (к) ф (х) что еобьипие А появится в и испытаниях ровно й раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше и) значению функции при х = ()г — пр)()~ярд. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции «р (х) = = е- чз, соответствукнцне положитель- 1 (г' 2н ным значениям аргумента х (см, приложение «). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицамн, так как функция «р(х) четна, т. е. «р ( — х)=«р(х). Итак, вероятность того, что событие А появится в и независимых испытаниях ровно й раз, приближенно равна Р, (й) ж «р (х), Упрч где х =(й — пр)Упру.
Пример 1. Найти вероятность того, что событие !4 наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления зюго события в каждом испытании равна 0,2, Р е ш е и и е. По условию, л = 400; й = 80; р = 0,2; д = 0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа: 1 1 ° т(х)=8 ° Ч () ° ~/400 0,2 0,8 Вычислим определяемое данными задачи значение х: х=(й — прУ )Гйрч=(80 — 400 0,2У8=0. По таблвце приложения 1 находим «р(0)=0,3989. Искомая вероятность 1 „, (ао) = В)8).0,89е) =0,04988.
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладкн ввиду их громоздкости опущена): 1'„, (8О) =0,0498. Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,7б. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрела«поразит мишень 8 раз. Решен и е. По условию, в=10; й=8; р 0,75; 4=0,25. Воспользуеыся асимптотической формулой Лапласа: Р «В! у «*! 0,736! ~ «*!. 1 Ю.О,ТЬ.О,ЯВ Вычислим определяемое даннымн задачи значение % х= = ':ъ 0,38, ь — пр 8 — 1О 0,75 Ъ прч У10.0,75.0,28 По таблице приложения 1 находим <р (0,38) = 0,3739. Искомая вероятность Ръо (8) =0,7301.0,3739=0,273.
Формула Бернулли приводит к иному результату, а, именно Рш (8)=0,282. Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере и имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях л). $ 3. Интегральная теорема Лапласа Вновь предположим, что производится и испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р(0 < р < 1). Как вычислить вероятность Р„(й„й,) того, что событие А появится в и испытаниях не мерзее )з, и не более й, раз (для краткости будем говорить «от й, до йз раза)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.
Теорема. Если вероятность р наступления собьвпия А в каждом испьипании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р„(ям йз) того, что собьапие А появится в и испьапаниях от и, до яз раз, приблизсенно равна определенному интегралу и 2п,) (и) где х' -(й,— пр)Упру и х" =Яз — пр)()]ярд. При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальнымн таблицами, так как неопределенный интеграл ) е-"7абг не выражается через элементарные функции.
Таблица для 1 Иитстраяа Ф (Х) — ГЕ-з*7в бг ПрИВЕдЕНа В КОНЦЕ КНИГИ У2 1 (см. приложение 2). В таблице даны значения функции Ф(х) для положительнык значений х н для х=О; для х С О пользуются той же таблицей 1функция Ф(х) не- 89 четна, т. е. Ф ( — х) — — Ф (х)1. В таблице приведены значения интеграла лишь до х=5, так как для х) 5 можно принять Ф(х) =0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа. Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (в) так: о о Р (й й ) =~ е-"7эс(г+ —.
~е-"Iодг= в ы э М о = — ( е-очаг(а — = Ге-о'7эо(г=Ф(х') — Ф(х'). Итак, вероятность того, что событие А появится в и независимых испытаниях от й, до )ээ разо Р„(й„й,) ж Ф (х') — Ф (х'), где х'=(й,— пр)~)~пру и х" =(йо — пр) оо7пря. Приведем примеры, иллюстрирующие применение ин- тегральной теоремы Лапласа. Пример, Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно ото- бранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Ре ше н не. По условию, Р=0,2; р=0,8; л 400; й,=70; до =!00. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Рооо (70 100) ж Ф (х") — Ф (х'). Вычислим нижний и верхний пределы интегрированна: лэ — лр 70 — 400. 0,2 х = = — 1,25; у' лрд )/ 400 0,2 0,8 ао — лр 100 — 400 0,2 = 2,5.
ф' лрч )' 400 0,2 0,8 Таким образом, имеем Рьоо(70 100)=Ф(2,5) — Ф( — 1,25)=Ф(2,5)+Ф(1 25) По таблице приложения 2 находим: Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944. Искомая вероятность Рооо(70, 100) =0 4938+0 3944 =О 8882. Заме ча н не. Обозначим через т число появлений события А при л независимых испытаниях, в каждом нз которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Если число т изме- няется от йз до й, то дробь (т — лр)! млрд изменяется от (йо — лр)(Улрй=х" до (йэ — лР)! У аРд=х", Следовательно, интег- 80 рзльную теорему Лапласа можно записать н так: е' Зта форма запнсн нспользуетсн ннже.
й 4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Вновь будем считать, что производится и независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (О < р ( 1). Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты т(п от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа е) О. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства ~т(п — р~= е. (а) Эту вероятность будем обозначать так: Р((т/и — р((е), Заменим неравенство (а) ему равносильными: — е тс т/и — р ( е или — е ( (т — пр)/п ( е. Умножая эти неравенства на положительный множитель )Гп/(рд), получим неравенства, равносильные исходному: — е Tп((рд) ( (т — пр)()/рпрд ( е 1/п((рд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
