Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ввести в рассмотрение прямоугольную систему координат хОр н принять для простоты, что встреча должна состояться между 0 н ! часами. Ошв. Возможные значенйя координат. 0 вС х ( 1, 0 ~ р в 1; благоприятствуихцие встрече значения координат: ! и — х ! С 1/4; Р = 7/16. Глава вторая ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ $1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле,  — попадание при втором выстреле, то А+  †попадан при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и  †несовместн„ то А +  †событ, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событтй. Например, событие А+В+С состоит в пои=пении 3! одного из следукицих событий: А, В, С, А н В, А и С, В и С, А и В и С. Пусть события А и  †несовместн, причем вероят- ности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.
Теорема. Вероятность появления одного из двух неам- местных собьопий, безразлично какого, равна сумме веро- ятностей этих событии: Р (А+ В) = Р (А)+ Р (В). Доказательство. Введем обозначения: и — общее число возможных элемеятарных исходов испытания; т,— число исходов, благоприятствующих событию А; т,— число исходов, благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствукхцих наступлению либо события А, лабо события В, равно т, + т,. Следовательно, Р (А+ В) = (пт, + т,)/и = т„/и+ т,/п, Приняв во внимание, что т,/п=Р(А) и т,/п=Р(В), окончательно получим Р(А+В) = Р(А)+ Р(В).
Сл е д с т в н е. Вероятжють появления одного из не- скааьких попарно несовместньсх собнтии, безраплично какого, равна сумме вероятностей этих собеопий: Р(А,+А,+ ° ° ° +А„)=Р(А,)+Р(А,)+ ° ° ° +Р(А ). Докззатрльство. Рассмотрим три события: А, В н С. Так как рассматриваемые события попарно несов- местны, то появление одного нз трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы Р(А+ В+С)= Р~(А+В)+С~ = Р(А+В)+ Р(С) = = Р(А)+ Р(В)+ Р(С). Для произвольного числа попарно несовместных собы- тяй доказательство проводится методом математической иидукини. прюнр !.
В урво 30 маров: 1О краевых, 5 сивил в гб белых. Найти веромтиоеть иоввлеивв яве1»о1'о марэ. Р е м е и и е. Появление иветвого марэ оэиаеаег воавлевие либо ираевог», либо еииего вмре. зй Вероятность появления красного шара (событие А) Р (А) = Гб/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие В) Р (В) = 5/30 = 1/6.
События А и В иесоаместны (поянление шара одного цвета исключает пояаление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность Р (А+ В) = Р (А) + Р (В) = 1/3+ 1/5 = 1/2. Прю«ер 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области, Вероятность попадания и первую область равна 0,«5, ао вторую †,35. Найти вероятность того, что стрелок прн одном выстреле попадет либо н первую, либо ио вторую область.
Р е ш е и и е. События А — «стрелок попал и первую область» и  — «стрелок попал ао вторую область» — несовместны (попадаиие и одну область исключает попадание и другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность Р(А+В)= Р (А)+Р (В) =0А5+ 035=0 50. ф 2. Полная группа событий Теорема. Сумма вероятностей событий А„А„ ..., А„, образующих полную группу, равна единице: Р (А,) + Р (А,) +...
+ Р (А„) = 1. Доказательство. Так как появление одного на событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то Р (А, + А, +... -(- А „) = 1. Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А, + А, +... + А „) = Р (А,) + Р (А,) +...
+ Р (А„). (и«) Сравнивая («) и (««), получим Р(А,)+ Р(А,)+... +Р(А„) =1. Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность попучения пакета из города А равна 0,7, нз города  — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С. Р е ш е и и е. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, 3 — 2730 33 поэтому сумма вероятностей ятях событий равна еднннце: 0,7+0,2+р=!. Отсюда искомая вероятность р-1-0,2=0,1.
$ 3. Противоположные события Противополозсными называют два единственно возможных события, образукнцих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать А. Пример 1. Попадание я промах пря выстреле по цели — противоположные событня.
Если А — попадаяяе, то А — промах. Прнмер 2. Из ящяка наудачу взята деталь. События «появнлась стандартная деталь» н «поязнлась нестандартная деталь» †противоположы ые. Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р (А) + Р (А) = 1. Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. 2 2). 3 а меча вне 1.
Если вероятность одного нз двух протявоположвых событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через в. Таким образом, н силу предыдущей теоремы р+Ч=1. Пример 3. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0,7, Найтв вероятность того, что день будет ясным. Р е ш е н я е. Событйя «день дождлнвыйэ н «день ясныйэ-про. тяаоположные, поэтому нскомая вероятность в=1 — р=1-0,7 0,3. За меч анне 2. Прн решении задач на отыскание вероятностн событня А часто выгодно сначала вычкслять зероатыость ссбытня А, а затем найти яскомую вероятность по формуле Р (А) 1 — Р (А).
Првмер 4. В ящике нмеетсн и деталей, нз которых ш стаядартных. Йайтн вероятность того, что среди д наудачу нзвлеченных деталей йсп котя бы одна стандартная. Р е ш е н ы е. Событкя «среды нзвлеченяых деталей есть хотя бы одын стандартыаяэ ы «среда нзвлечеыыых деталей нет вн одной стаыдартяоя» протывоположные.
Обозначнм первое событие через А, ° второе- через А. Зч Очеэндво, Р (А) 1 — Р (А). Найдем Р(А). Общее число сиособоа, ноторммя моною наалеч» й детааей иэ л деталей, равно Саа. Чнсло нестандартных деталей раино и — нп вэ этого чнсеа деталей мощно Са э» способами наваеч» й ва. стандартных детааей. Поэтому аероигност» того, что среди иэваечеивмх й деталей вет нв одной стандартной, ранна Р(А)* ф:аэ)Сээ. Исиомая аероатност» Р (А) = 1 — Р (А) = 1 — С~а»н)Саа. й 4. Принцип практической невозможности маловероятных событий При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т.
е. близка к ыулю. Можно лы считать, что маловероятное событие А в единичном испытаыны ие произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как ие исключено, хотя и мало вероятно, что событие А наступыт. Казалось бы, появление или иепоявлеиие маловероятного события в единичном испытании предсказать невоэ» можно. Одыако длительный опыт покззывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подввляиицем большинстве случаев не наступает. На осноэанны этого факта принимают следукиций еприицип практической невозможности маловероятных событийю если случайное аобьапие имесгн очень малую аероягпнааиь, во а)гааипичасяи можно счиаиипь, чгяо в единичном исиьипании мяо собеэягие не насагупиаг. Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можыо было считать невозможным его появление в одном испытании? На этот вопрос нелъзя ответить однозначно.
Для задач, различных по существу, ответы разные. Например, еслй вероятность того, что парашют при прыжке ие раскроется, равна 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет вовремя. Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать пракз» 36 тически невозможным, называют уровнем значимости.
На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д. Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Действительно, если событие А имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность противоположного события А близка к единице. С другой стороны, непоявление события А означает наступление противоположного события А.
Таким образом, из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то праюпически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Разумеется, и здесь ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи. Задачи 1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета1 Ошв. р=0,02, 2.
Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна О,З; вероят- ность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Йайти вероятность того, что прн одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. Ошв. р=0,4. 3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.
Ошв. р 44/45. 4. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали. Ошв. р=2/3. У к а з а н и е. Если А — нет ни одной нестандартной детали,  †ес одна нестандартная деталь, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = Сзз/Сете+ Сзз ° С~з/С)з. 6. События А, В, С н Р образуют полную группу.
Вероятности событий таковы: Р (А) =0,1; Р (В) =0,4; Р (С) =О,З. Чему равна вероятность события Ог Ошв. Р (В) = 0,2. 6. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем иа 20 остановок токарного станка приходится: гб — для смены резца; 3 в кз-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачй заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинаы. Найти вероатность остановки станка по другим причияам. Ошв. р= 0,25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
