Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 10
Текст из файла (страница 10)
словная вероятность того, что из первого набора будет ни»лечена стандартная деталь, Рв, (А) = 0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандэрткая деталь, Рв,(А)=(),9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь стаидартыая, по формуле полной вероятности равна Р(А)=Р(В») Рл, (А)+Р(В») Рв,(А)= =0,5.0.8+0,5 0,9=0,85. Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп. пз ивх 18 стандартных; во второй коробке — 1О ламп.
нз нвх 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной. Р е ш е н и е. Обозначим через А событие енз первой коробки извлечена стандартная лампе». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В»), либо нестандартная (событие В»).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р (В») = 9/10. Вероятность того. что иэ второй коробка нзелечева вестандартыая лампа, Р(В»)=1/1О. 61 Условная вероятность того, что нз первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна Рн,(А)=19!2!. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, прн условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна Ра,(А)= 18/2!.
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна Р (А) = Р (В ) Рп, (А) + Р (Вз) Ра, (А) = (9/10) (19/21) + + (!/10) ° (!8/2!) = 0,9. $3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий „„..., В„, образующих полную группу.
Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гиаогпезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (см. 9 2): Р (А) = Р (В,) Ра, (А) + Р (В,) Рп, (А) + ° ° ° +Р(В ) Рл„(А) (а) Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез.
Другими словами, будем искать условные вероятности Р„(В,), Рл(В,), ..., Рл(В„). Найдем сначала условную вероятность Рл (В,). По теореме умножения имеем Р (А В,) = Р (А) Р„(В,) = Р (В,) Рп, (А). Отсюда Р (Вз) Рл, (А) РА(Вз) р (А) * Заменив здесь Р(А) по формуле (и), получим Р (Вд) Рн, (А) Р(Въ) я,(А)+Р (Вз) Рн,(А)+ ° ° ° +Р(Вя) Рв (А) Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы В, (1=), 2, ..., л) может быть 82 вычислена по формуле Р (ВД Рв (А) [ з) Рз,(А)+Р(Вэ) з,(А)+...-(- (В„) Рз 1(А) ' Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который нх вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пример. детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки нх иа стандартность к одному нз двух конгролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму в 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым †.98. Годная деталь при проверке была признана стандартной.
Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположенин: 1) деталь проверил первый контролер (гипотеза ВД; 2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В ).
Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса: Р (В,) Рн, (А) Р (В1) Рв, (А) + Р (Вз) Рз, (А) ' По условию задачи имеем: Р(Вт)=0,6 (вероятность того, что деталь попадает к рервому контролеру); Р (В ) =0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру); Рз,(А) =0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной); Рз,(А) =0,98 (вероятиость того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность Р* (В,) = (0.6 0,94)7(0,6.0,94+0,4.0,98» ш 0,69. Как видно, до испытания вероятность гипотезы Вэ равнялась 0,6, а после того. как стал известен результат испытання, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась н стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы. Задачи и два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна Г,7, а вторым- 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Ошэ.
0,88. 2. У сборщика имеется 16 деталей, наготовленных заводом № 1, н 4 детали завода № 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти аероятвосп того, что хотя бы одна нэ них окикется изготовленной заводом № 1. Оше. 92195. 8. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедвстов н 4 бе- гуна. Веровтвость выполнить квалификационную корму такова: для лыжника — 0,9, для велосипедиста — 0,8 и длн бегуна — 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен. выбранный наудачу. выполнит норму. Ози.
0,86. 4. Сборщик получил 3 коробка деталей, наготовленных заво- дом № 1, в 2 коробки деталей, изготовленных заяодом № 2. Вероят- ность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,3, а завода № 2 — 0,9, Сборщик наудачу извлек деталь нэ наудачу взятой ко. робки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Озы. 0.64. б. В первом ящике содержится 20 деталей„нз иих 15 стандарт- нмх; во втором — 30 деталей, нз ннх 24 стандартных; з третьем !О деталей, нз ннх 6 стандартных.
Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь кз наудачу взятого яцика — стацяартная. Оны. 43/60. 6. В телевизионном ателье имеется 4 кннескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соотзетсг- вемио равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95.
Йайтн вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы. Озы. 0,875. 7. В двух ящнках имеются радиолампы. В первом ящике содер- жится 12 ламп, 'из них 1 нестаидартнан; зо втором 10 ламп, нэ иих 1 нестандартная. Из первого ящнка наудачу взята лампа и перело- жена во второй, Найти вероятность того, что наудачу кзвлечениая вз второго шцнка лампа будет нестандартной.
Ота. 13!132. 8. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой. Онм. 7/13. 9. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком слу- чае вероятность аытацить неизвестный билет будет ллк него наимень- шей: когда он берет билет первым нли последним? Оам. Вероятности одинаковы з сбоях случаях, 10.
В ящик, содержмций 3 одинаковых детали, брошена став. дартяая деталь а затем наудачу извлечена одна дателю Найти вероятность того, что нзвлечена стандартная деталь, если равноверо- ятны есе возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся з ящике. Олы. 0,625, !!. При отклонении от нормального режима работы автомата с абатывает сигналнэатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигиализатор -11 срабатывает с вероятностью 1.
Вероятности того, что автомат снабжен снгиалнэатором С-1 вли С11, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 нли С 11? Оаы. Вероятность того, что автомат снабжен сигналиэатором С! ° равна 6/11, а С-11 — 5/11. 54 12. Дая участия в студенческих отборочкых спортивных сорвано. ваииях выделено аз первой группы курса 4, из второй — 6, нз третьей группы — 5 студентов. Вероятности того, что студент пераоа, второй н третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студенту Ояы. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18у59, 21/59, 20/59.
13. Вероятность для наделиа некоторого пройзводства удовлетворять стандарту равна 0,95. Предлагается упрощенная сисгеиа про. верки на стандартность, дающав положнтеаьный результат с вероятностью 0,98 дая изделий, удовлетворяющих стандарту, а для взделнй, которые не удовлетворяют стандарту,— с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прязнанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту. Оте. 0,998, Глава пятая ПОВТОРЕИИЕ ИСП ЫТДИИЙ В 1. Формула Бернулли Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
