Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа в форме, указанной в замечании (см. 2 3). Положив х' = = — е 7 и/(рд) н х" = е ~/и/(рд), имеем Р ( — еР'п/(рд): — (т — пр у)( прд ( е ррп/(пд)) ж еУ Юморе> е Ф'елрм ж= е-ечейг= — ~ е ечейг= у 2п г а~ее) з = 2Ф(е)/й/(рд)). Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках, равносильным им исходным неравенством, окончательно получим Р () т/и — р ( ( в) ж 2Ф (е )/и Ярд) ).
61 Итак, вероятность осуществления неравенства ~л!/л — р 1:~..е приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа 2Ф (х) при х=е$' л/(рд). Пример 1. Вероятность того, что деталь не стандартна, р=0,1, Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от аероятыоств р 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03. Реше ы не, По условию, л=400; р=0,1; 4=0,9; с=0,03. Требуется найти вероятность Р () ш/400 — 0,1 ~ ( 0,03), Пользуясь формулой Р(! ж/л-р)~з) ж 2Ф(е )/л/(р4)), нмеем Р() ш/400 — О,! ) ~0,03) л: 2Ф (0,03 )Г400/(О,! ° 0,9)) =2Ф(2). По таблыце приложения 2 находнм Ф (2) = 0,4772. Следовательно, 2Ф ( = 0,9544. так, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.
Смысл полученного результата таков: если взять достаточно боазшое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,447Ь зтвх проб отклоненые относительной частоты от постоянной аарояиоств р =О,! по абсолютной величине не превысит 0,03. Пример 2.
Вероятность того, что деталь ве стандартна, р О,!. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью„равной 0,9544, зюжно было утверждать, что относятельная частота появления нестандартных деталей (средн отобраыных) отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной аелычняе не более чем на 0,03. Решеыне. Поусловню,р 0,1; 4=09; с=0,03; Р(!т/л — 0,1)» » 0,03) 0,9644. Требуется найти л.
Воспользуемся формулой Р ( ~ га/л — р ! ° е) ж 2Ф (е )~л/(р4)). В саву услозвя 2Ф(0,03 Ул/(0,1 0,9))=2Ф[0,1 ~ л)=,0,9644. Слцдовательно, Ф (0,1 !/л) = 0,4772. По таблыце приложения 2 находян Ф(2)=0,4772. Дая отыскания числа л получаем уравнение О,! р' л =2. Отсюда искомое число деталей л = 400. Смысл полученного результата таков: еслв взять достаточно блаыиое число проб по 400 деталей, то в 95,4434 етых проб отяосытвльвая частота повпаевыя нестандартных деталей будет отличаться от постояиыой вероятности р=0,1 по абсолклной аелвчиве ые более чем на 0,03, т.
е. относытельнан частота ааключева з границах от 007(0,1 — 003=007) до О.!3(0.1+003=0,13), Друтвмн свозами, чнсво нестандартных детааей з 95,447Ь проб будет завпочево между 28(7 от 400) и 62(1344 ог 400), У сли взять лишь одну пробу вз 400 деталей, то с большой уаереыностью можыо ожидать, что в етой пробе будет нестандартных даталей не менее 28 и ие более 52. Возможно, хотя в маловероятно, что нестандартных деталей окажется меньше 28 лабо больше 52. 82 Задачи 1.
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность тото, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы. Отв. а) Ре (4)=0,246; б) Ре (6)=0,26; в) Рз(0)=0,000064. 2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3. Огне, Р= 1 †«Рз(0).«-Рз(1Ц=0„472. 3. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых йспытаинй, в каждом из котовых вероятность появления события А равна 0,4.
Отв. Р=! — «Ра (О)+Рв(1Ц=0 767 4. Произведено 8 незавйснмых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна О,!. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза. Огцв. Р=1 — «Рв (О)+Рв (1Ц=О 19- 5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. Отв. а) Р=Ра (О)+Ре(1) =7764! 6) 9=1 — «Рв (О)+Ра(«Ц=57(64. 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле нз орудия р=0,9.
Вероятность яораження цели прн й попадаияях (й в!) равна 1 — оа. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела. У к а з а н и е. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности. Отв. 0,9639. 7. Найти приближенно вероятность того, что при 400 нспытанияи событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2. Оев.
Реза (104) =0,0006. 6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того. что прн 100 выстрелах мишень. будет поражена: а) не менее 70 и ие более 80 раз; б) не более 70 раз. Отв. а) Ргзз (7080)=2Ф(1 15)=0,7498' б) Рзоо(0: 70)= — Ф(1 15)+05 0.1251 ° 9. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний Р=0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.
Оам. Р=2Ф (0,23)=0,182. 1О. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какоеотклонение относительной частоты появления события от его вероятности можноожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях. Олм. а=0,00967. 11. Сколько ряз нада бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности Р=0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,017 Опм.
в=1764. ЧАСТЬ ВТОРАЯ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Глава шестая ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЬ$ ф 1. Случайная величина Уже в первой части приводились события, состоящие в появлении того или иного ч псла. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и б есть возможные значения этой величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависяшее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: О, 1, 2, ..., 100. Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле нз орудия, есть случайнан величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но н от нногих других причин (силы н направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Йозможные значения втой величины принадлежат некоторому промежутку (а, Ь).
Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами Х, У, Е, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, г. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то оии будут обозначены так: х„х„х,. 64 в 2. Дискретные н непрерывные случайные величины Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина Х могла принять одно из следующих возможных значений: О, 1, 2, ..., 100.
Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а, Ь1. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной 1'прерыеной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Иепрерыеной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. 3 а м е ч а н н е. Настоящее епределенне непрерывной случайной велнчнны не является точным. Более строгое определение будет дано позднее.
ф 3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь оди на к овые перечни возможных значений, а вероятности их— р а з л и ч н ы е. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности, 5 — 2750 66 Законом распределения дискретной случайной ееличины называют соответствие между возможными значениями и нх вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности: Х х, х, ... х„ Р Рд Рз Рч Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает. одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х=х„Х=х„..., Х=х„ образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
