Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Айалогйчно доказываются равенства р„+ р„= р„р„+ р„= д, Н р„+ рзз = уз. Подставляя правые части этих равенств в соотношение («), получим М (Х + У) = (х,р, + х, р,) + (у,у, + узда), или окончательно М (Х+ У) = М (Х) + М ()') Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Например, для трех слагаемых величин имеем и (Х+ У+д = М [(Х+У)+я~= = М (Х+ У) + М (У) = М (Х) + М (У) + М (Е). Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.
Лрнмер 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными рд=0,4; рз=0,3 и рз=.0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданйй. Р е ш е н и е. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Хы которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью рд=0,4 и 0 (промах) с вероятностью о=! — 0,4=0,6. Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. 4 2, пример 2), т. е, М (Х,) =0,4.
Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий прн втором и третьем выстрелах: М (Хз) =0,3, М (Хз) =0,6. Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов: Х=Х +Х +Х, Искомое математнческое ожнданна находим по теореме о математнческозь ожнданнн суммы: М (Х) =М(Х +Х +Х )=М (Хз)+М (Хз)+М (Хз) = 0,4+ 0,3+ 0,6 = 1,3 (попаданнй). Прнмер В. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть прн бросании двух нгральных костей. Ре ~не н не.
Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х н на второй — через 1. Возможные значеннк втнх велвчнн одинакова н равны 1, 2, 3, 4, 5 н 6, причем веронтвость каждого нз зткх значеннй равна !/6. Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости: М (Л)=1.(1/6)+-2.(1/6)+3(Ц6)-1-4 (1/6)+6.(1/6)+6 (1/6)=7/2. Очевидно, что н М (У) =7/2. Искомое математнческое ожнданне М (Х+У)= М (Х)+М (У) =7/2+7/2 =7. ф 5. Математическое ожидание чпсла появлений события в независимых испытаниях Пусть производится л независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема.
Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в л независимых испьипаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждоль испытании: М (Х) =яр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Б удем рассматривать в качестве случайной величины Х число наступления события А в л независимых испытаниях.
Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х,— число появлений события в первом испытании, Х,— во втором, ..., Մ— в л-м, то общее число появлений события Х = Х, + Х, +... + Х„.
По третьему свойству математического ожидания, М (Х) = М (Х,)+ М (Хй)+... + М (Х„). (в) Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М(Х,) — в первом, М(Х,) — во втоб* 83 ром и т. д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события (см. 2 2, пример 2), то М (Х,) = М (Х,) = М (Х„) =-р. Подставляя в правую часть равенства (») вместо каждого слагаемого р, получим М (Х) =- пр. («») 3 а м е ч а н н е, Так как величина Х распределена по бнномнальнаму закону, то доказанную теорему можно сформулировать к так: математнческое ожидание бнномнального распределения с параметрамн и н р равно произведению пр.
Пример. Вероятность попадания в цель прн стрельбе нз орудия р 0,6. Найти математнческое ожнданне общего числа попаданий, если будет произведено 1О выстрелов. Ре ш е и н е. Попаданне прн каждом выстреле не зависит от всходов других выстрелов, поэтому рзссмззрнваеыые события незавнсимы н, следовательно, искомое математическое ожнданне М (Х).=яр=-10 О 6=-6 (попаданий). Задвчн 1. Найти математическое ожнданне дискретной случайной велнчнны, зная закон ее распределения: Х 6 3 1 р О,2 О,з О,б Оюв.
2,6, 2. Производится 4 выстрела с вероятностью пападання в цель Ръ=ОЯ Рз — — 0,4, Рз — — 0,5 н рв=0„7. Найти математнческое ожидание общего числа попаданнй, Опы. 2,2 попадания. 3. Дискретные незавнснмые случайные велнчнны заданы законами распределения: 0,5 0,3 Х 1 2 1' 1 Р 0,2 О,В Р 0,7 Найти математнческое ожнданне пронзведення ХУ двумя способами: а) составив закон распределення ХГ; б) пользуясь свойством 3.
Опы. 1,53. 4. Днскретные случайные величины Х н 1' заданы законами распределения, указаннымн в задаче 3. Найти математическое ожнданне суммы Х+ 1' двумя способами: а) составив заков распределения Х+'г'; б) пользуясь свойством 4. Оюв. 2,65. 5. Вероятность отказа детали за время нспытання на надежность равна 0,2, Найти математическое ожнданне числа отказавшнх деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей. Опы. 2 деталн.
6. Найти математнческое ожидание пронвведення чнсла очков, которые могут выпасть прн одном бросании двук нгральных костей. Отв. 12,25 очка. 7. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов. причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3. Огла. 6 билетов. Глава восьмая дисп ерси я дискретной случдйнпя ВЕЛИЧИНЫ ф 1.
Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и ?', заданные следующими законами распределения: Х вЂ” 0,01 0,01 ?' — 100 100 р 0,5 0,5 р 0,5 0,5 Найдем математические ожидания этих величин: М(Х)= — 0,01.0,5+0,01 0,5=0, М 1?г) = — 100.0,5+100 0,5=0. Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а ?' — далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.
г1ругими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.
Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. $2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания Пусть Х вЂ” случайная величина и М(Х) — ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х вЂ” М(Х). Отклонениям называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям. Пусть закон распределения Х известен: Х х, х, ...
х Р Рз Ря ° Ря Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х, — М (Х), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х,. Вероятность же этого события равна р;, следовательно, и вероятность того, что отклонение йримет значение х, — М (Х), также равна Р,. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения: Х вЂ” М(Х) х,— М(Х) х,— М(Х) ...
х„— М(Х) Р Рз Ре ° ° Р Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно НУЛЮ1 М~Х вЂ” М(ХИ=О. Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М (Х) — постоянная величина, имеем М ~Х вЂ” М (Х)1 = М (Х) — М ~М (Х)1 = М (Х) — М (Х) = О. Пример.
Задан закон распределения дискретной случайной яеличииы Х: Х 1 2 р 0,2 0,8 Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю. Р е ш е н и е. Найдем математическое ожидание Х: М (Х) =-1 0,2+2 0,8= 1,8. Найдем возможные значения отклонения, дли чего невозможных значений Х вычтем мвтемвтическое ожидание М(Х):1 — 1,8= — 0,8; 2 — 1,8=0,2. Напишем закон распределения отклонения: Х вЂ” М (Х) — 0,8 0,2 Р 0,2 0,8 Нвйдем математическое ажидзние отклонения: М (Х вЂ” М (Х))=( — 0,8) 0,2+0,2 0,8=0.
Итак, мвтемвтнческое ожидание отклонения равно нулю, квк и должно быть. 3 в м е ч в и и е. Наряду с термином «отклонение» используют термин «центриравзннвн величина». Центрираваннай случайной величиной Х нззывзют разность между случайной величиной и ее матемвтическим ожиданием: А =х-м (х). Название «центрировзннвн величина» свпззна с тем, чта мзтемзтическое ожидзнне есть ц е н т р распределения (см. гл. ч'11, З 3, замечание). й 3.
Дисперсия дискретной случайной величины На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М (Х вЂ” М (Х)1, для любой случайной величины равно нулю. Это свойство уже было доказано в предыдущем параграфе и объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны; в результате их взаимного погащения среднее значение отклонения равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
