Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рекомендуем запомнить зто утверждение, так как далее оно используется многократно. В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание непрерывной случайной величины также есть постоянная величина. Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения: Х 3 5 2 р 0,1 0,6 0,3 Р е ш е н и е, Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на нх вероятности: М (Х) =3 0,1+ 5 0,6+2.0,3=3,9.
Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р. Р е ше н н е. Случайная величина Х вЂ” число появлений события А в одном испытании — может принимать только два значения: хд 1 (событие А наступило) с вероятностью р и ха=О (событие А не наступило) с вероятностью о = 1 — р. Искомое математическое ожидание И(Х) =(.р+О.о=р. Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности етого собития.
Зтот результат будет использован ниже. й 3, Вероятностный смысл математического ожидания Пусть произведено и испытаний, в которых случайная величина Х приняла т, раз значение х„т, раз значение х,, ...,т„ ра значение х„, причем т,+т,+ ... ... +п1„ - и. Тогда сумма всех значений, принятых Х, равна х,т,+х,т,+... +х»тв. Найдем среднее арифметическое Х всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний: Х = (х„т,+х,т,+... +хвт,)(п, или Х х,(т,/и)+х,(т,/и)+... +хе(т»/и).
(») Заметив, что отношение т,/и — относительная частота й7, значения х„т,/и — относительная частота Ф', значения х, и т. д., запишем соотношение (») так: Х ° х,%', + х, В', +... + х»%'„. Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (зто будет доказано в гл. 1)(, $6) В', р„В', р„..., В'„р„.
Заменив в соотношении (»») относительные частоты соответствующими вероятностями, получим Х ~х,р,+х,р,+ ... +х„р„. Правая часть зтого приближенного равенства есть М (Х). Итак, Х М (Х). Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точ- 77 нее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. 3 а м е ч а н и е 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше иаяменьшего н меньше иайбольшего возможных зиаченяй. Другнмн словамн, на числовой осн возможные значения расположеяы слева и справа от математического ожидания.
В этом смысле математическое ожидание характеризует р а с п оло жение р зси ре де лен и я н поэтому его часто называют»рншрои раслреде- АГНИЯ. Этот термин заимствован из механики: если массы Рм РЗ», . Р„ Расположены а точках с абсциссамн хм хз, ..., х„, пРнчем,У~Р1=1, то абсцисса центра тяжести хс = („~~ хзР1)/,~ЯРЬ Учитывая, что ~~~~~х1Р1=м(х) н ~р1=1, получим м(х)=х, Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести сястемы материальных точек, абсциссы иоторых равны возможным значениям случайной величины, а массы — нх вероятиостяч.
3 а м е ч а н н е 2. Происхождение термина »математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории нероятнос»ей (ХЧ) — ХУ!1 вв.), когда область ее применения ограничивалась азартн(амн нграмн. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, инымн словамн, математическое ожидание выигрыша. $ 4. Свойства математического ожидания С в о й с т в о 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. Доказательс тво. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно, М(С) =С 1=С. 3 а м е ч а н н е 1. Определим произведение постоянной величины С нп дшкретную Глучадную величину Х как дискретную случайную СХ.
возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х. Например, если вероятность возможного значения х, равна р,, то вероятность того, что величина СХ примет значение Схь также равна ро Свойство 2. Лостоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ) = СМ (Х). 78 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Х х, х, ... х„ Р Рг Р* Р» Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ: СХ Сх, Сх, ...
Сх„ Р Рз Рв ° Р» Математическое ожидание случайной величины СХ: М(СХ) = Сх,р,+Сх,р,+... +Сх„р„= С(х р, +х,р, +... +х„р„) = СМ (Х). Итак, М (СХ) = СМ (Х). 3 а меч ание 2. Прежде чем перейти к следуюпыму свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимна независимыми, если законы распределения любого числа из иих не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины. 3 а и е ч а н и е 3. Определим произведение независимых случайных величин Х и г' как случайную величину Хг', возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение г'; вероятности возможных значений произведения Хт' равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения хз равна р,, вероятность возможного значения уд равна дь то вероятность возможного значения х1уг равна р,дь Заметим, что некоторые произведения хэуу могут оказаться равными между собой.
В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х,у,=х,ув, то вероятность х,у, (или, что то же, хауз) равна Рзуз + Раув. Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независилиях случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М (Х)') = М (Х) М (г'), Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть независимые случайные величины Х и )' заданы своими законами распределения 79 вероятностей *' Х х,х, У у,у, Рхрз й' Ййз Составим все значения, которые может принимать случайная величина ХУ, Для этого перемножим все возможные значения Х на каждое возможное значение У; в итоге получим х,у„х,у„х,у, и х,у,. Учитывая замечание 3, напишем закон распределения Х)', предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не тзк, то доказательство проводится аналогично): ХУ х,у, х,у, х,у, х,у, Р Р*ут Рз|з Рхуз Рзуз Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности: М (Х)') =х,у, р,д,+хауз.рзу,+х,уз р,да+хауз рзд„ или М (Х)') = уй, (х,р, +хара)+ узйз (х,р, + хр,) = = (х,р,+х,р,) (у,д +у,дз) = М (Х) ° М ()г).
Итак, М(ХУ)=М(Х) М(У), С л ед с т в и е. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех случайных величин имеем: М(Х)'г) =М(ХУ' Д=М (Х)') М (Л) =М (Х) М Р') М(Я). Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции. ПримеР 1.
Независимые случайные величины Х и у" заданы следующими законамн распределения: Х 5 2 4 У 7 9 р 0,6 0,1 О,З р 0,8 0,2 Найти математическое ожидание случайной величины Хг . )зе ш е н и е, Найдем математические ожидания каждой изданных величин: М(Х)=6.0,6+2 О,1+4 0,3=4,4; М ()')=7 0,6+9 0,9=7,4. " Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений.
В общем случае доказательство аналогичное. 60 Случайные величины Х н )' независимые, поэтому искомое математическое ожидание М(ХК) М(Х) М(У)=4,4 7,4=32,Ж Замечание 4. Определим сумму случайных величин Х н г' как случайную величину Х+У, возможные значения которой равны суммам каждого возможнога значения Х с каждым возможным значением У; вероятности возможных значений Х+У для независимых величин Х и г' равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго. Заметим, что некоторые суммы х+у могут оказаться равными между ссбой.
В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если аз+уз = = хэ+ уз и вероятности этих возможных значений соответственно равны р,з и рзз, то вероятность х,+хз (или, что то же, ха+уз) равна рте+Рта. Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин. Свой ство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х+~)=М(Х)+М() ). Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения*'. Х х, х, У у, у, Р Рт Рз й' Ыт йз Составим все возможные значения величины Х+У. Для этого к каждому возможному значению Х прибавим каждое возможное значение ); получим х,+у„х,+у,„ х,+у, и х,+у,. Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, тодоказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через Рсы Рзз.
Рзг " Рзз Математическое ожидание величины Х+ У равйо сумме произведений возможных значений на их вероятности: М(Х+У) =(х,+у,) р„+(х,+у,) р„+(х,+у,) р„+ + (х,+у,) раю Ю Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное. 81 6 — 2730 или М (Х+ У) х, (р„+ р„) + х, (р„+ р„) + у, (р„+ р„) + +Уз (Рта+Раз). («) Докажем, что р„+р„р,. Событие, состоящее в том, что Х примет значение х, (вероятность этого события равна р,), влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х+У примет значение х,+у, или х, +у, (вероятность этого события по теореме сложения равна р„+р„), н обратно. Отсюда и следует, что ры+рзз=р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
