Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность о(Х) совпадает с размерностью Х, Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если Х выражается в линейных метрах, то о(Х) будет выражаться также в линейных метрах, а ))(Х) — в квадратных метрах. Пример. Случайная величина Х задана заковом распределения Х 2 3 10 р 0,1 0,4 0,5 Найти среднее квадратическое отклонение о(Х), Решен не.
Найдем математическое ожидание Х: М (Х) = 2 О, 1 + 3. О 4+! О 0,5 = 6 4. Найдем математическое ожидание Хз: М (Хз) =2з 0,1+.Зз 0,4+!От 05=54. Найдем дисперсию: Р (Х) = М (Хз) — (М (Х))з =54 — 6,4з = 13,04, Искомое среднее квадратическое отклонение а (Х) = УР (Х) = )/! 3, 04 о 3 61.
т ~т ф 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин: о (Х, + Х, +... + Х„) = $~'о' (Х,) + о' (Х,) +... + о* (Х „) ° Доказательст во.
Обозначим через Х сумму рассматриваемых взаимно независимых величин: Х=Х,+Х„+... +Х„. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых (см. $5, следствие 1), поэтому И (Х) = В (Х,) + В (Х,) +... + 1У (Х„). Отсюда или окончательно о(Х) =)~'о'(Х,)+о'(Х,)+... +о'(Х„). ф 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величии имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы. Рассмотрим и взаимно независимых случайных величин Х„Х„., Х„, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик 95 среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе.
Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через Х: Х = (Х, + Х, +... + Х„)/и. Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического Х и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины. 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин: М (Х) =а.
Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем М (Х) М (х1+хя+ ' +хп) и и (хд+ и <х,)+... + и (х„) Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а, получим М (Х) = ла/и = а.
2. Дисперсия среднего арифметического и одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в и раз меньше дисперсии В каждой из величин: В (Х) = О~п. (ч) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем В (Х) = п ( х'+ х*+ " + х" ) = и в (х )+ в (х,)+...
+ о (х„> ле Э6 Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна О, получим Е) (Х) = и 0)па = В/и. 3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического и одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин вЪ~п раз меньше среднего квадратического отклонения о каждой из величин: о(Х) =о ф и. (««) Доказательство. Так как (г(Х)= В?п, то среднее квадратическое отклонение Х равно о (Х) = )' О (Х) = ~~ Р~п = ~ Й~) ' и = о~Ьгп. Обший вывод из формул («) и (««): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.
Поясним на примере значение этого вывода для практики. Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения производятся в одних и тех же условиях, доказать: а) среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения; б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.
Решение. а) Известно, что отдельные измерения дают неодинаковые значения измеряемой величины. Результат каждого намерения зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т. п.), которые не могут быть заранее полностью учтены.
Поэтому мы вправе рассматривать возможные результаты и отдельных измерений в качестве случайных величин Хы Хз, ..., Х„ (индекс указывает номер измерения). Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей (измерения производятся по одной и той же методике и теми же приборами), а следовательно„н одинаковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы (Результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных измерений). Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких величин имеет меньшее рассеяние„чем каждая отдельная величина. Иначе говоря, среднее арифметическое оказывается более близким к истинному зна- 7 — 2730 9? ченяю нзмеряемой велячяны, чем результат отдельного намеренна.
Это н означает, что среднее арифметическое нескольких нзмереннй дает более надежный результат, чем отдельное нзмеренне. б) Нам уже нзвестно, что прн возрастаннн числа отдельных случайных велнчнн рассеянне среднего арнфметнческого убывает. Зто значит, что с увеличением чнсла нзмереннй среднее арнфметнческое несколькнх измерениЯ все менее отличается от истинного значения нзмеряемай величины. Таким образом, увеличивая число измерений, получают более надежный результат.
Например, если среднее квадратическое отклоненне отдельного измерения п=6 м, а всего пронзведено в=36 измерений, то среднее квадратическое отклонение среднего арнфметнческого зтнх нзмереннй равно лишь 1 м. Действительно, п(Х)=п/ф~ л= 6/1~36 ). Мы видим, что среднее арифметическое нескольких намерений, как н следовало ожидать, оказалось более блнзкнм к истинному значенню измеряемой велнчнны, чем результат отдельного нзмерення. $10. Начальные и центральные теоретические моменты Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения: Х 1 2 5 100 р 0 6 0 2 О 19 О 01 Найдем математическое ожидание Х: М(Х) = 1.0,6+ 2-0,2+5.0,19+100 0,01=2,95.
Напишем закон распределения Х'. Х' 1 4 25 10000 р 0,6 0,2 0,19 0,01 Найдем математическое ожидание Х': М (Х') = 1 0,6+ 4 0,2+ 25 0,19+ 1О 000. 0,01 = 106,15. Видим, что М (Х') значительно больше М (Х). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины Х', соответствующее значению к=100 величины Х, стало равным 10000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01). Таким образом, переход от М (Х) к М (Х') позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую ве- 96 роятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине Хе, а тем более к величинам Х*, Х' и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений.
Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной). Начальным моментом порядка и случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х»: т,=м (Х»). В частности, т, = М (Х), ч, = М (Хе). Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии»1(Х) =М (Хв) — (М (Х))а можно записать так: В (Х) = те — ч,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
