Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т. е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиныот ее математического ожидания: П(Х) =М (Х вЂ” М (Х)1 . Пусть случайная величина задана законом распределения Х х, х,...х„ Р Ръ Рз . Р» Тогда квадрат отклонения имеет следуюн(ий закон рас- пределения: Р— М(ХЯ' 1х,— М(Х)1* ~х,— М(Х)1 ... ~х„М(Х)1 Р Рз Р* Рч По определению дисперсии, )) (Х) = М [Х вЂ” М (Х)1з =(х,— М (Х)1' Р,+ (хз — М (Х))з Р, +... + (х — М (Х)')зР .
Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, до- статочно вычислить сумму произведений возможных зна- чений квадрата отклонения иа их вероятности. Ва меч а н не. Из определения следует, что днсперсня днскрет- ной случайной велнчнны есть неслучайная (постоянная) велнчнна. В дальнейшем читатель узнает, что днсперсня непрерывной случайной велнчнны также есть постоянная величина. Прнмер. Найтн дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения: Х 1 2 5 р 0,3 0,5 0,2 Р е ш е н н е.
Найдем математическое ожидание: М (Х) = 1.0,3+2 0,5+5.0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения: (хд — М (Х))з=(1 — 2,3)з=1,69; (хз — М (Х))з=(2 — 2,3)з=0,09; (хз — М (Х))а = (5 — 2,3)з = 7,29. Напашем закон распределения квадрата отклонення: (Х вЂ” М (Х))з 1,69 0,09 7,29 Р 03 05 02 По определению, О(Х) 1,69 О,З+0,09 0,5+7,29.0,2=2,01. Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалась относительно громоздким. Далее будет указана формула, которая приводит к цели значительно быстрее.
66 9 4. Формула для вычисления дисперсии Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следукнцей теоремой. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: ):У (Х) = М (Х*) — (М (ХЦз. Доказательство. Математическое ожидание М(Х) есть постоянная величина, следовательно, 2М (Х) и М'(Х) есть также постоянные величины. Приняв зто во внимание и пользуясь свойствами математического ожидании (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания„математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии: В(Х)=М[Х вЂ” М(ХЦе=М ~Ха 2ХМ(Х)+М*(ХЦ = М(Х') — 2М(Х) М(Х)+М*(Х)= = М (Х') — 2М' (Х) + М* (Х) = М (Х*) — М* (Х).
Итак, О (Х) = М (Х') — (М (ХЦз. Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания. Приамр 1. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана саедуиидим законом распределения: Х 2 3 5 р 0,1 0,6 0,3 Р е ш е н н е. Найдем математическое ожидание М (Х): М (Х) =2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5. Напишем закон распределения случайной величины Хз: Хз 4 9 25 р 01 06 03 Найдем математические ожидания М (Хз): М (Хз) =4 0,1+9.0 6+25.0 3=13 3. Искомая дисперсия Р(Х) = М (Хз) — (М (Х))*= 13,3 — (3,5)а=1,05.
Замечание. Казалось бы, если Х и У' имеютодннаковыевозможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обейд ве. 89 личин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!). Однако в общем случае это ие так.
Дело в гом, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, о величина дисперсии определяется яе толзяо самими еозможными значениями, но и нхеероятностями. Например, если вероятности «далекихз от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений г „н вероятности «близкихз значений Х меньше, чем вероятности тех же значений 1', то, очевидна, дисперсия Х больше дисперсии У'. Приведем иллюстрирующий пример. Пример 2, Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения: Х вЂ” 1 1 2 3 У вЂ” 1 ! 2 3 р 0,48 0,01 0,09 0,42 р 0,19 0,51 0,25 0,05 Решение.
Легко убедиться, что М(Х) М(г)=0,97; 11(Х)о 3,59, 0(г')- 1,21 ° Таким образом, возможные значения н математические ожидания Х н 1' одинаковы, а дисперсии различны, причем,0(Х) ) В(г). Этот результат можно было предвндеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений. ф 5. Свойства дисперсии С в о'й с т в о 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю! Р(С) =О. Доказательство.
По определени!о дисперсии, Р(С) =М ЦС вЂ” М (С))з). Пользуясь первым свояством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим Р (С) = М [(С вЂ” С)'1 = М (О) = О. Итак, Р(С)=0. Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: Р (СХ) = С*Р (Х). 90 Дока з а тел ь с т во.
По определению дисперсии имеем 1:) (СХ) = М «[СХ вЂ” М (СХЯ'). Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим В (СХ)= М «[СХ вЂ” СМ (ХД') =-М «С'[Х вЂ” М(Хне) = С'М «[Х вЂ” М (Х)1') = СЮ (Х). Итак, в (сх) = с'в (х).
Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при «С «> 1 величина СХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), бдльшие, чем величина Х. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М(СХ) больше, чем возможные значения Х вокруг М(Х), т. е. В(СХ) > хэ(Х). Напротив, если О < «С«< 1, то О(СХ) < В(Х). С в о й с т в о 3.
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .0 (Х + У) = В (Х) + с) (У). Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем )'.) (х+ у) = м [(х+ у) 1 — [м (х+ ~ )1*. Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим )) (Х + У) = М [Х'+ 2ХУ+ У'1 — [М (Х) + М (У)«'= = М (Х')+ 2М (Х).М (У)+М (У') — М'(Х)— — 2М (Х) М (У) — М' (1') = «М (Х') — [М (Х)1') + + «М (У') — [М (У)1') = О (Х) + 1) (У).
Итак, П (Х + У) = Р (Х) + В (У), С л е дс т в и е 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий эп1их величин. 91 Например, для трех слагаемых имеем Р(Х+)'+2)=Р~Х+()'+У)1 = Р(Х)+Р(У+2) = = Р(Х)+.Р(~ )+Р(Е).
Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции. Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной вели- чины и случайной равна дисперсии случайной величины: Р (С+ Х) =- Р (Х). Доказательство. Величины С и Х независимы, поэтому, по третьему свойству, Р (С+ Х) = Р (С) + Р (Х). В силу первого свойства Р (С) = О. Следовательно, Р (С+ Х) = Р (Х). Свойство становится понятным, если учесть, что ве- личины Х и Х+С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково. С во й с т во 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Р (Х вЂ” У) =- Р (Х) + Р (У).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу третьего свойства Р (Х вЂ” У) = Р(Х)+ Р( — У). По второму свойству, Р(Х вЂ” )') =Р(Х)+( — )) Р()'). или Р (Х вЂ” г') = Р (Х) + Р (1'). ф 6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях Пусть производится и независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна.
Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность 92 р появления события постоянна, равна произеедению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: Р (Х) = прд. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случайную величину Х вЂ” число появлений события А в и независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях: х=х„+х,+...
+х~ где Х, — число наступлений события в первом испытании, Х,— во втором, ..., Մ— в п-м. Величины Х„Х„..., Х„взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. 9 5): Р(Х)=Р(Х,)+Р(Х,)+... +Р(Х„). («) Вычислим дисперсию Х, по формуле Р (х,) = м (х;) — 1м (х,)1в. (««) Величина Х, †чис появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. Ъ11, 5 2, пример 2) М (Х,)=р.
Найдем математическое ожидание величины Хао которая может принимать только два значения, а именно: 1а с вероятностью р и О' с вероятностью д: м(х;) =1'р+о'д= р. Подставляя найденные результаты в соотношение (««), имеем Р(х,) = р — р = р (1 — р) = рд.
Очевидно, дисперсия каждой нз остальных случайных величин также равна рд. Заменив каждое слагаемое правой части («) через рд, окончательно получим Р (Х) = прд. 3 а не чан не. Так как величина Х распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами л и р равна произведению лрд. Пример. Производятся !О независимых испытаний, в каждом нз которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х вЂ” числа появлений события затих испытаниях.
93 Реше н не. По условию. я=10, р=0,6, Очевидно, вероятность неноявлення события д-1-0,6 =0,4, Искомая днсперсия Р(Х) про=10 0,6 04=2,4. $7, Среднее квадратическое отклонение Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: о(Х) = г' ()(Х). Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
