Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 14
Текст из файла (страница 14)
0000045/2 = 0 00225. Это событне ярактнческн невозможно. б) Событня «не поступило нн одного вызова» н «поступал одни вызов» несовместны, поэтому по теореме сложення нскомая вероят- ность того, что за 5 мнн поступят менее двух амвонов, равна Р» (а < 2) =Р (О)+Р (1) =е-»»+(10.е-»»)!11=0000495. Это событне практнческн невозможно.
в) События «поступнло менее двух вызовов» н «поступнло не менее двух вызовов» протнаоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мнн поступит не менее двух вызовов, Р» (Д ~ 2) = 1 — Р» (а ( 2) = 1 — 0,000495 0,999505, Это событпе практически достоверно. $7. !'еометрнческое распределение Пусть производятся независимые испытания, в какдом из которых вероятность появления события А равна Р (О < Р < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления д = 1 — р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А.
Таким образом, если событие А появилось в й-м испытании, то в предшествующих й — 1 испытаниях оно не появлялось. Обозначим через Х дискретную случайную величину— число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: х, = 1, х, = 2, ... Пусть в первых й — 1 испытаниях собйтне А не наступило, а в (г-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий, Р(Х=л)=д» 'Р. (в) Полагая й= 1, 2, ...
в формуле (в), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем д (О<д<1): Р. ЧР Ч'Р. ° ° ° Ч» Р (ва) По этой причине распределение (а) называют геол«егпричсска»с. Легко убедиться, что ряд (ии) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (ии) Ф(1 — 0) = Р/Р = 1.
Пример. Из орудия производится стрельба по целя до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле. Р е ш е н не. По условию, р=0,6, 4=0,4, й=з. Искомая вероятность по формуле (е) Р=да-г р=0,4а 0,6=0,096. й 8. Гнпергеометрнческое распределение Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу.
Пусть в партии из У изделий имеется М стандартных (М ( У). Из партии случайно отбирают и изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не в озв р а щ а е т с я в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через Х случайную величину — число т стандартных изделий среди а отобранных.
Очевидно, возможные значения Х таковы: О, 1, 2, ..., гп)п(М, л). Найдем вероятность того, что Х=т, т. е. что среди л отобранных изделий ровно и стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь а изделий из М изделий, т. е.
числу сочетаний См. Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х=т (среди взятых и изделий ровно т стандартных); т стандартных изделий можно извлечь из М стандартных изделий См способами; при этом остальные л — т изделий должны быть нестандартными; взять же п — т нестандартных изделий из Ф вЂ” т нестандартных изделий можно С~ ми способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно СмС~- м (см. гл. 1, $ 4, правило умножения). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х=т, к числу всех элементарных исходов Р(Х =т) = (и) Формула (в) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим. Учитывая, что т — случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: й/, М, и.
Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают й/, п и р= М/й/, где р †вероятнос того, что первое извлеченное изделие стандартное. Заметим, что если п значительно меньше )1/ (практически если и < 0,1/1/), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону. Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных. Решение.
По условию, /У=50, М=20, а=5, т=з, Искомая вероятность Р (Х = 3) = СооСзо/С!о= 0,234. Задачи 1. Возможные значения случайной величины таковы: хо = 2, хо 5, хо = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: р,=0,4, р =0,15. Найти вероятность хо. Отв. ро= 0,45. 2. Игральная кость брошена 3 раза, Написать закон распределения числа появлений шестерки. От в.
Х 3 2 1 0 р 1/216 15/216 75/216 125/216 3. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6. Отв. Д 0 1 2 3 р 0,064 0,288 0,432 0,216 4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004.
Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти веретенах. Отв. Розов (5) = 0 1562. 6. Найти среднее число опечаток иа странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона. У к а з а н и е. Задача сводится к отысканию параметра й из уравнения е х =0,05. Отв. 3.
6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов, Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение ! мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента? Отв. Ртоо (3) = 0*18,' Разо (4) =0.09. 74 7. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; в) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона. Олда. а) Р=1 — е-»=0 6321; б) Рта» (2)=О,!8395; в) Р=0,2642. 8.
Среднее число вызовов, поступающих иа АТС в 1 мнн, равно 5. Найти вероятность того, что эа 2 мни поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. У к а з а н и е. е-д»=0,000045. Олдв. а) 0,00225; б) 0,000495; в) 0,999505. 9. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. Найти вероятность того, что первое выпадение сшес. терки» произойдет при втором бросании игральной кости. Оше. Р (Х=2) =5/36. 1О. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стан. дартных. Олдв. Р (Х = 3) = 14!33.
Глава седьмая МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ф !. Числовые характеристики дискретных случайных величин Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание. Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание.
Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше У5 сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным. $2. Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х может принимать только значения х„х„..., х„, вероятности которых соответственно равны ры р„..., р„. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством М(Х) = — х,р,+хара+... +х„р„. Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то причем математическое ожидание суп(ествует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно, 3 а м е ч а н н е. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть н е с л у ч а й и а я (постоянная) величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
