Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 13
Текст из файла (страница 13)
сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: Р,+Р,+... +Р„-!. Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р,+р,+... сходится и его сумма равна единице. Прнмер. В денежной лотерее выпущено 100 балетов. Разыгрывается один вынгрыш в 60 руб. н десять вынгрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х вЂ” стонмостн возможного выигрыша для владельна одного лотерейного билета.
Р е ш е н н е. Напншем возможные значення Х: яд=60, аз= 1, лз = О. Вероятностн этих возможных значеннй таковы: рд —— 0,01, аз=0 01 ° ра=! — (рд+рз) =0 89. Напншем искомый закон распределення: Х 60 10 О р 0,01 0,1 0,89 К о н т р о л ес О 01+ 0,1+ 0 89 = 1. Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хн рг), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. й 4.
Бнномнальное распределение Пусть производится л независимых испытаний, в «аждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех 66 испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления г/= 1 — р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для ее решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в и испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо и раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: х, = О, х, = 1, х,= 2, ..., х„+»-††гг. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: Р„(й) = — С„р"д" а, (и) где й = О, 1, 2, ..., п.
Формула (в) и является аналитическим выражением искомого закона распределения. Биномиалвным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (а) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: (Р+ /)- = С„"Р-+ С„"- Р-- /+... +С„'Р»д™+... +С:(" Таким образом, первый член разложения Р» определяет вероятность наступления рассматриваемого события и раз в а независимых испытаниях; второй член ар" 'д определяет вероятность наступления события п — 1 раз; ...; последний член !/» определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы: Х и и — 1 ... й ... О Р р" ир" 'г( ... С~р»г/" " ... !/" Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблипы закон распределения случайной величины Х вЂ” числа выпадений «герба», Ре ш е н ие, Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р = 1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» ч = 1 — 1/2 !(2. Прн двух бросаниях монеты «герб» может появитьсялибо2 раза, либо ! раз, либо совсем ие появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х»=2, х„=1, к»=0.
Найдем вероятности зтнх возможных значений по формуле Бернулли: Р,(2)=С',р =()/2)э=0,25, Рэ (!) Сз~рр=2 ° ()/2) (!/2)=0 5, Р (О) =С~3дэ =()/2)э= 0,25. Напишем искомый закон распределения: Х 2 ! 0 р 0,25 0,5 0,25 К опт р ол м 025+05+025= !. й 5. Распределение Пуассона Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.
Для определения вероятности /е появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же и велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (/э(0,1). В этих случаях (а велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.
Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно /е раз. Сделаем важное допушение: произведение лр сохраняет постоянное значение, а именно ар=1. Как будет следовать из дальнейшего (см. гл. э/11, 2 о), это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях и, остается неизменным. Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: (й) п(л — !) (л — 2)...1л — (й — !)1 Ы Так как рл=-Х, то р="л/и.
Следовательно, л (и — ! ) (л — 2)... (л — (й — ! Ц ( А ~ а )' 1 Х ~ а - а л( ) ы Приняв во внимание, что и имеет очень большое значение, вместо Р„(я) найдем 1пп Р„(/з). При этом будет найл-~м дено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: и хотя и велико, но конечно, а при отыскании 68 времени зависит только от числа й и от длительности г промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагиотся непересекающимися. Например, вероятности появления й событий на промежутках времени (1; 7), (10; 16), (Т; Т+6) одинаковой длительности 1=6 ед.
времени равны между собой. Итак, если поток обладает свог1ством спищионарности, то вероятность появления и событий за промежуток времени длительности 1 есть функция, зависящая только от я и 1. Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления й событий иа любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления й событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, чтб происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока ие сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стапиоиарности, отсутствия последействия и ординарности. Замечание. Часто на практике трудно установить, сбладает лн поток перечисленными выше свойствами. Поэтому были найдены и другие условия, при соблюдении которых поток можно считать простейшим нлн блиэким к простейшему.
В частности, установлено, чта если натан лредстаеллет собой сумму очень болыиого числа неэа- 70 висимых стационарных лотоков, влияние каждого из которых на всю сумму (суммарный ноглок) ничтожно мало, то суммарный ноток (нри условии его ординарности) оливок к простейшему. Интенсивностью потока Л называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления й событий простейшего потока за время длительностью 1 определяется формулой Пуассона Р, (й) = (Л1)'е-лгуй1.
Эта формула отражает все свойства простейшего потока. Действительно, из формулы видно, что вероятность появления й событий за время 1, при заданной интенсивности является функцией й и 1, что характеризует свойство стацнонарности. Формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия.
Убедимся, что формула отражает свойство ординарности. Положив й = 0 и й = 1, найдем соответственно вероятности непоявления событий и появления одного события: Рг(0) =е-лс Р (1) Л(е-лс Следовательно, вероятность появления более одного события Рг (й > 1) =- 1 — )Р, (О)+ Р, (1)1= 1 — (е-л'+ Л1е-л]. Пользуясь разложением е-л' = 1 — Л1+ (Лг)е!21 —..., после элементарных преобразований получим Р, (й > 1) = (Л1)еу2+... Сравнивая Р, (1) и Р, (й > 1), заключаем, что при малых значениях ! вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.
Итак, формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий. Пример. Среднее число вызовов, поступаюплнх на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мип аосту. пит: а) 2 вызова; о) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простеашнм. т! Решен не. По условию, »=2, 1=5, »=2. Воспользуемся формулоа Пуассона Р1 (а) = (М)» е ~'/»1 а) Искомая вероятность того, что за 5 мнн поступят 2 вызова, Р» (2) = 10* е- »»121 = 100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
