Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следомтельно, это лз событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Р - (А) 1 события А не равна его безусловной вероятности Р(А)=)/2. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности. Приведем теперь следствие из теоремы умножения. С л е д с т в и е.
Вароягяипстиь совмеавиимо появления «искояьких собепяий, ягзааисимьгх в совокупностям, Раагит лроиэведеяию аероягяяосягей етих собьвяий: Р(А,А,...А„)=*Р(А,) Р(А )...Р(А„). Докааательство. Рассмотрим три события; А, В и С, Совмещение событий А, В н С равносильно совмещению событий АВ и С, позтому Р(АВС) Р(АВ*С). Так как события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем." Р(АВ С) =Р(АВ)Р(С) и Р(АВ) Р(А)Р(В). Итак, окончательно получим Р(АВС) = Р(А) Р(В) Р(С). Для произвольного я доказательство проводится методом математической индукции.
3амечапые. Если собмтыв Аь Аз, .... А„везаавснмм в со. вокупиостн, то в протывоположиме ымсобмтип Ап А ...,А также иезавнснмм в соаокупвостя. Првмр 2. Найти вероятность совиестыого появления герба прн одном бросании двух монет. Решение. Вероятность появления герба первой моыетм (со. бмтпе А) Р (А) 1/2. Вероятность появлекнн герба второй монеты (событые В) Р (и) =*112. События А н В везавыспмые, поэтому искомая вероятность по теореме умпожеввя ранна Р (АВ) Р (А) Р (З) 112.112 Ц4. Прнмер 3. Имеетса 3 вцика, еодвржапгии по 1О деталей. В пер.
зом вцике 8, во ато)юм 7 ы в третьем 9 стаыдартных деталей Нз какдого нщкка ыаудачу еыынмают по одвой деталя. Найти веро. ятыость того, что асе трн змвутме детали окажутся стацалртыммы* 43 Ре шеи не. Вероятность того, что вз первого ящнка вынута стандартная деталь (событне А), Р (А) =8/(0=0,8. Вероятность того, что вз второго ящнка вынута стандартная деталь (событне В), Р (В) =7/(0= 0,7.
Вероятность того, что нз третьего ящика вынута стандартная деталь (событне С), Р (С) = 9/! О = 0.9. Так как события А, В н С независимые в совокупности, то нскомая вероятность (по теореме умноження) равна Р (АВС) = Р(А) Р (В) Р (С) =0,8 0,7 0,9 0,504. Приведем пример совместного применения теорем сложения н умножения.
Прнмер 4. Вероятностн появления каждого нз трех незавнснмых событий А,, А, Аэ соответственна равны р,, рз, рз. Найти вероятность появления только одного нз этнх событнй. Р е ш е н н е. Заметим, что, например, появление т о л ь к о первого ссбытня А, равносильно появлению события А,АзАз (появнлось первое н не появились второе н третье событня).
Введем обозначення: Вд — появилось только событие Ам т. е. В,=АзАзлэ; Вз — появилось только событие А,. т. е. В,=АзА,Аз! Вэ — появилось только событие Аз, т. е. Вз — — АэА,А . Таким образом, чтобы найти вероятность появлейня только одного нз событий А„Аз, Аз, будем искать вероятность Р(Вх+Вз+ -)-Вз) появлення одного, безраэлнчно какого нз событий В„Вз, В .
Так как события Вм Вз, Вз несовместны, то прнмсннма теорема сложения Р (В1+ Вз+ Вз) = Р (В1) + Р (Вз) + Р (Вз). () Остается найтн вероятностн каждого нз событий Вы Вз, Вз. События А» Аз, Аз независимы, следовательно, независимы событня Ап Аз, Аз, поэтому к ннм прнменнма теорема умноження Р (В,) = Р (А,А,Аз) =Р (А,) Р (Аз) Р (Аз) = Рздздз. Аналогнчно, Р (Вэ) = !' (АзА~Аэ) = Р (Аз) Р (Аз) Р (Аэ) = Рзд1дз: Р (В ) =Р (АэАгАз) = Р (Аз) Р (Аз) Р (А ) =Р дзд . Подставив этн вероятности в (э), найдем искомую вероятность появлення только одного нз событий Аь Аэ, Аз: Р (В +В +В ) = Р~д д +Рздгдз+Р д~д .
ф 5. Вероятность появления хотя бы одного события Пусть в результате испытания могут появиться и событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно илн ни одного), причем 44 вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событийр Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема, Теорема.
Вероятность появления хотя бы одною иэ собьипий А„А„..., А„, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А„А„..., г(а: Р(А)=1 — дддэ ... д . (в) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А„ А„..., А„. События А и А,А, ... А„(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Р(А)+Р(А,А, ... А„)= 1. Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим Р(А) =1 — Р(А,А, ... Аа) =1 — Р(А,) Р(А,) ... Р(А„), или Р(А)= 1 — одд7э ... о„. Ч астный случай. Если собьппия Ао А„..., А„ имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р (А) =! — д».
Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе иэ трех орудий таковы: р,=0,8; рд=0,7; рэ=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событяе А) при одном залпе из всех орудий. Р е ш е н н е. Вероятность попадания в цель каждым нз орудий не зависит от результатов стрельбы нз других орудий, поэтому рассматриваемые события Ад (попадание первого орудия), А (попадание второго орудия) н Аз (попадание третьего орудия) незавйсимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям Ад, Аз н Аэ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: яд=1 — од=1 — 08=0,2; Еэ=! — Рэ=1 — 07=03; Вэ= 1 — Рэ = 1 — 0,9=0,1. Искомая вероятность Р ( 4) = ! — ддвэчэ = 1 — 0,2 0,3 0,1 = 0,994. Прнмер 2.
В тнпографин имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машнны вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что а данный момент работает хотя бы одна машина (событие А). Р е ш е н н е. События «машина работает» н «машнна не работает» (в данный момент) — прогнвоположные, поэтому сумма нх вероятностей равна едяннце: р+ 4=1. Отсюда вероятность того, что машина а данный момент не работает, рвана 4 1 — р = 1 — 0,9 = 0,1. Искомая вероятность Р (А) = 1 — д« = 1 — О, 1« = 0,9999.
Так нак полученная вероятность весьма близка к единкце, то ва освованнн следстввя вз прннцяпа практвческой невозможцостя мало. вероятных событнй мы вправе аахлючнть, что е данный момент работает хотя бы одна нэ машин. Пример 3. Вероятность того, что прк одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен провзвестн стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы однк раз? Р е ш е н н е. Обозначим через А событие «при л выстрелах стрелок попадает а цель хотя бы сднн раз». События, состошцне в попадания в цель прв первом, втором выстрелах н т.д., неэавнскмы в совокупностн, поэтому прнмевнма формула (»«) Р (А) = 1 — 4«. Прнняв во вннмание, что, по условию, Р (А)~0,9, р=0,4 (следовательно, 4=1 — 0,4 0,6), получнм 1 — 0,6«м0,9; отсюда 0,6" (0,1. Прологарнфмнруем это неравенство по основанию 10: л 16 0,6 ~ 16 0,1.
Оппцэа, учятывея, что 160,6 < О, нмеем в ~!й О.1/12 О 6 = — 11),7782 = — 11( — 0 22(6) = 4 6. Итак, я~б, т.е. стрелок должен прокзвестн не менее 6 выстрелов, Прямер 4. Вероятность того, что событне появятся хотя бы одвн У з в трех независимых в совокупности нспытаннях, равна 0,936. айтя вероятность воявлення событня в одном кспытаннн (прела~ лагается, что во всех нспытаннях вероятность появленвя событня одна н та же).
Решенне. Так как рассматрнеаемые событня везаввснмы в совокупноств, то прнменима формула (е») Р(А)=! рв 46 По условию„р (А) =0,936; л =3. Следовательно, 0,936=1 — д», или 4»=1 — 0,936=0,064. Отсюда д = ~~/0,064 = 0,4. Искомая вероятность р=)-а=1-0,4=0,6. Задачи 1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р=0,9, Стрелок произвел 3 выстрела.
Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. Отв. 0,729. 2. Брошены монета н игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: ецоявился»герб», впоявилось 6 очков». Отв. 1/12. 3. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (нз них 3 стандартных), во втором-15 (из ннх 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, чта обе детали окажутся стандартными. Отв. 0,12. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
