Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Глава третья ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 1. Произведение событий Произведением двух событий А и В называют событие ЛВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если Л вЂ” деталь годная,  — деталь окрашенная, то А — деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Например, если А, В, С вЂ” появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС— выпадение «герба» во всех трех испытаниях. ф 2. Условная вероятность Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий 5 может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий 5, ие налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий 5. Условной вероятностью Рл (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Пример, В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно, Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Зт Решен не. После первого испытания а урне осталось 5 шаров вэ ннх 3 белых. Искомая условная вероятность Рл (В) 3/5. Этот же реэультат можно получить по формуле Рл (В)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А) > О). (*) Действительно. вероятность появления белого шара прн первом ис- пмтаннв Р (А) =3/6=1/2. Найдем вероятность Р(АВ) того, что в первом испытании по- явится черный шар, а во втором — белый.
Общее число нсходов— совместного появления двух шаров, беэраэлично какого цвета. равно числу размещений А~э 6 5 30. Иэ этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3.3 9 исходов. Следовательно, Р (АВ) = 9/30 3/10. Искомая условная вероятность Рл (В) Р (АВ)/Р (А) = (3/) О)/(! /2) 3/5. Квк водим, получек прежний результат.
Исходя нз классического определения вероятности, формулу (н) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения. Условная вероюпнсс/пв события В яри условии, что событие А уже наступило, по определению, равна Рл (В) = Р (АВ)/Р (А) (Р (А) > 0). и 3. Теорема умножения вероятностей Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) н Р„(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.
е. вероятность того, что появится н событие А н событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения. Теорема. Вероятноопв совмесягного появления двух собвюшй равна произведению еероятноспш одного иг них ни условную еерояаиинэпв другого, вэкисленную в предполоясеяии, чяю первое собыпше )рйе наступило: Р (АВ) =* Р (А) Рл (В). Доказательство. По определению условной вероятности, Рг (В) Р (А В)/Р (А). 36 Отсюда Р(АВ)=Р(А) Р„(В).
(в) Замечание. Применив формулу (») к событию ВА, получым Р (ВА) = Р (В) Ра (А), нли, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, Р (АВ)=Р (В) Рв(А) (»») Сравнивая формулы (») и (»»), заключаем о справедливости ра- венства Р (А) Рл (В) Р (В) Рв (А). ( ) С л е д с т в и е. Вероятность совжестного появления нескольких собьапий равна произведению вероятности одного из них на условньге вероятности всех оспихаьнзгх, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие событияузке появи- лись: Р(А,А,А . ° А„)=Р (А,) Рл,(А,) Рл,л,(А,)...
где Рл,л, и (А„) — вероятность события А„, вычислен- ная в предположении, что события А„А„..., А„, на- ступилн. В частности, для трех событий Р (АВС) = Р (А) Рл (В) Рлв (С). Заметим, что порядок, в котором расположены событии, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым н т. д.
Пример 1. У сборщика имеется 3 коиусиых и 7 зллиптическнх валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков-коиусный, а второй зллиптический. Решение. Вероятность того, что первый валик окажется коыусным (событие А), Р (А) = 3/1О. Вероятность того, что второй валин окажется зллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валек кокусный, т.
е. условыая вероятность Рл (В) =7/9. По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ)=Р (А) Рл (В) =(3/10) (7/9) =7/30. Заметим, что, сохранив обозыачеыиа, легко найдем: Р (В)* 7/10. Рв (А) = 3/9, Р (В) Рв (А) = 7/30, что ыаглядно иллкктри руст справедливостьь равенства (»»»). Првмер 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том. что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найтк вероятность того, что прк первом нспытаннн появится белый шар (событне А), прн втором — черный (событне В) и прн третьем — синий (событне С).
Р е ш е и и е. Вероятность появления белого шара в первом испытании Р (А) = 5/12. Вероятность появлення черного шара во втором испытании. вычисленная в предположеннн, что в первом нспытаннн появился белый шар, т. е. условная вероятность Рл (и) =4Л( Вероятность появленкя синего шара в третьем испытании, вычнсленная в предположении, что в первом нспытаннн появнлся белый шар, а во втором — черный„т. е. условная вероятность Рлв (С) =3/Ю. Искомая вероятность Р (Авс) =Р (А) Ф„(в) Рлв (с) =(5ВВ) (4В Ц.(зВо) =)Да.
$4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его беауслонной вероятности: Р„(В) = Р (В). («) Подставив (е) в соотношение (ееа) предыдущего параграфа, получим Р(А) Р(В) =Р(В) Рв(А). Отсюда Рв (А) = Р (А), т. е, условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события В.
Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; зто означает, что свойство независимости событий взаимно. Для независимых событий теорема умножения Р(АВ)=Р(А) Рл(В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (ии) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (ии) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы. Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7. Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0,7 0,8 = 0,56. Замена н ие 1. Если события А и В независимы, то независимы таиже события А и В, А и В, А и В. Действительно, А = АВ+ АВ. Следовательно, Р (А) = Р (А В) + Р (АВ), или Р (А) = Р (АВ) + Р (А) Р (В). Отсюда Р (А В) = Р (А) (1 — Р (Врп или Р (АВ) = Р (А) Р (В)„ т.
е. события А и В независимы. Независимость событий А и В, А и  — следствие доказанного утверждения. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события АиВ,АиС,ВиС.
Для того чтобы обобщить теорему умножения на не- сколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности. 41 Несколько собьииий называют кезаэисимими в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два нз иих и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события А„А„А, независимы в совокупности, то независимы события А и А, А, и А„А, и А,; А, и А,А„ А и А,А„А, и А,А . Из сказанного следует, что если события независимй в совокупности, то условная вероятность появления любого события нз них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.
В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости. Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один †красный цвет (А), один— в синий цвет (В), один †черный цвет (С) и один †все эти три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет? Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р(А) = 2/4 = 1~2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) =1/2, Р(С) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е.
событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет к асный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? з двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна 1~2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следом- тельно, события А и В независимы.
Аналогично придем к выводу, что события А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы. Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается„нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
