Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пряэмр 2. В урне нмеются пяетпые шары. Из урны наудачу берут один шар. Иэвлеченяе шара нз урны есть псаытаняе. Пояаленне шара определенного цвета — событве, 5 2. Виды сяучайиых событий События называют несаеэгееглнагми, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Прямер 1. Иэ шапка с д«галямп наудачу нэвлечена деталь, Появаенне стандартной деталв нсключа«т появление нестандартной легаля. Событяя «появнлась стандартная деталь» н «поввялась нестандартная деталь» — несовместные. Прпмер 3. Брошена монета.
Появлевпе «герба» псялючаег появление надпяся. Событяя «появялся герб» я «появялась вадпнсь»вЂ” несовместные. Несколько событий образуют полную группу. если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, 2 — 2730 17 если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испьвпония появится одно и только одно из этих событий. Зтот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.
Пример 3. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно н только одна из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «вынгрмш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал иа оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Зти события образуют полную группу попарно несовместных событий. Пример 4. Стрелок произвел вмстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу. События называют ривновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Пример $.
Появление «герба» н появление надписи при бросании монеты — равиовозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена нз однородного материала, ймеет правильную цилиндрическую форму н наличие чеканки не оказмвает влияния на выпадение той или иной стороны монеты. Пример 6. Появление того илн иного числа очков на брошенной игральной кости †равнавозможн события. Действительно, предпалагаетсв, что игральная кость изготовлена неоднородногоматериала, имеет форму правильного многогранника н наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани. $3. Классическое определение вероятности Вероятность — одно нз основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.
Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения. Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар.
Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Зто число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. !8 Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятйй наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый нз возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием).
Элементарные исходы обозначим через со„в„ э, и т. д. В нашем примере возможны следующие б элементарных исходов: ы,— появился белый шар; в„ы,— появился красный шар; о„в„о,— появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.
В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следукхцие 5 исходов юа»»ээ» ~>е» мь»»»»»' Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит ы„влив„или го„или го„ или а,, В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (вл» е„в„э„ю,); элементарное же событие не подразделяется иа другйе события.
В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом). Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к нх общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 5; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А) =5,'6. Это число н дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти.
Дадим теперь определение вероятности. Вероятногтью события А называют отношение числа благоприятствующнх этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой Р (А) = т/и, где т — число элементарных исходов, благоприятствую»»»з»х А; и — число всех возкюжных элементарных исходов испьп ання. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события росна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т=п, следовательно, Р(А) =т/н = и/и =-1. С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т = О, следовательно, Р(А) = т/и =- О/и = О. Свой ство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулел» и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания.
В этом случае 0 < т < н, значит, 0 < т/и < 1, следовательно, 0<Р(А)<1, Итак, вероятность любогс обытия удовлетворяет двойному неравенству 0< Р(А) < 1. Далее приведены теоремы, которые позвони от по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий. Заме ч а н не. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше. Пусть в результате испытания наступает одно н только одно из событий ы» (»= », 2, ..., л).
События ы; называют элементарными собьиниямн (элементарными искодамн). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех злемен- тарных ссбытий, которые могут появиться в яспытанин, называют пространством злелентарнык соби»лил О, а сами элементарные сабытня — лямками просглраксямп И. Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Щ, элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество О, элементы которого есть всходы, благоприятствующие В, н т.
д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств О. Само О наступает при любом исходе испытания, поэтому Й вЂ” достоверное событие; пустое подмножество пространства Я вЂ” невозможное событие (оно ие наступает ни при каком исходе испытания). Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое иэ ннх содержит только одни элемент !1. Каждому элементарному исходу ыг ставят в соответствие положительное число рг — вероЯтность этого исхоДа, пРичем Я Рг = 1.
По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что нероятность события достоверного равна единице, невозможного — нулю, произвольного — заключена между нулем и единицей. Рассмогрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны.
Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов 6 авиа единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/л. усть событию А благоприятствует гл исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов„благоприятствующих А: Р (А) =1/я+ 1/л+ .. +!)и. Учитывая, что число слагаемых равно т, имеем Р (А) = гп(л. Получено классическое определение вероятности. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события н его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н.
Колмогоровым'1, неопределяемыми понятиями являются элементарное событие н вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность: !. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А: 2. Вероятность достоверного события равна единице: Р (!)) 1. 3. Вероятность наступления хотя бы одного нэ попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.
ю К ел и о г о р о в Д. Н. Основные понятия теория вероятностей. М., »Наука», 1974. й 4. Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можносоставить из элементов, безразлично какой природы, задан. ного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
