Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения 1см. $ 3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то т =и и относительная частота т/и = а/и = 1, т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице. Если событие невозможно, то ш = 0 и, следовательно, относительная частота О/и =О, т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю. Для любого события О -т(а и, следовательно, относительная частота 0(т/и~~1, т. е.
статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Для существования статистической вероятности события А требуется: а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, на и 0,39; 0,41 и т.
д. $ 8. Геометрические вероятности Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Пусть отрезок 1 составляет часть отрезка /.. На отрезок Ь наудачу поставлена точка. Это означает выполне- 27 ние следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка Е, вероятность попадания точки на отрезок ( пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка Е. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок 1 определяется равенством Р = Длина!/Длина Е. Пример 1.
На отрезок ОА длины Е числовой оси Ох наудачу поставлена точка В (к). Найти вероятность того, что меньший нз отрезков ОВ и ВА имеет длину, ббльшую Етз. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой асн. Р е ш е н и е. Разобьем отрезок ОА точкамн С и Р иа 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В (х) попадет на отрезок СР длины Е)З.
Исксмая вероятность Р = (/.1'3)/Е = 1/3. Пусть плоская фигура й составляет часть плоской фигуры 6. На фигуру 6 наудачу брошена точка. Зто означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры 6, вероятность попадания брошенной точки на фигуру д пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно 6, ни от формы д. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру й" определяется равенством Р = Площадь ВТПлощадь 6. Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 1О см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади втой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.
Решен не. Площадь кольца (фигуры й) В =п(10з — 5з) =75и. Площадь большого круга (фигуры О) Зо=и10*= 100зт. Искомая вероятность Р = 75л/(100п) = 0,75. Пример 3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов раиновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнзлизатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше г' (1 < Т). Найти вероятность того, что снгнализатор сработает за время Т, если каждое из устройств пошлет па одному сигналу. Р е ш е н н е.
Обозначим моменты поступления снгналоа первого и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: Оч-х~Т, Оч уч-Т. Вве- У Ф дем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе Т 4 двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата ОТАТ (рис. 1).
Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру О, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов на. отупления сигналов, О Г Т Снгнализатор срабатывает, если разность между моментамн поступления си- рие. 1 гиэлов меньше Г, т. е. если у — х < Г при у)х их — у<(прил)у,илн,чтотоже, (з) (зч) у < х+г прн у > х, )( > х — г при у < х.
Р = Пл. д/Пл. О =(Тз — (Т вЂ” 1)з)/Тт = (1 (2Т вЂ” 1)У Тз. Замечание 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через шез, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область и — часть области б, равна Р = глез д/шез О. 3 а и е ч а и и е 2.
В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области б равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, ие является невозможным. Неравенство (ь) выполняется для тек точек фигуры 6, которые лежат выше прямой у=х н ниже прямой у=к+1, неравенство (еч) имеет место для точек, расположенных ниже прямой у=.х н выше прямой у=х — 1. Как видно нз рис, 1, все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (з) н (ч з), принадлежат заштрихованному шестиугольнику.
Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру л, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени х и у. Искомая вероятность Задачи 1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, нз ннх 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти веровтность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. р=О,!. 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков. От в.
р = 0.5. 3. Участники жеребьевки тянут из юцика жетоны с нокерами от 1 дв 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона ие содержит цифры 5. Отв. р=0,8!. 4. В мешочке иыеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях иаждого кубика написана одна пз следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, чю на вынутых по одному и расположенных «в одну лнннюэ кубиков можно будет прочесть слово «спорт».
Отв. р 1/120. 5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна нз следующих букв: а, т, и, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что иа четырех, вынутых по одной н расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос». Оиы. р=1/А««= !/360. О. Куб, все грани которого окрашены, распилеи на тысячу кубиков одинакового размера. которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; а) три. Отв.
а) 0.384; б) 0,096; в) 0,008. 7. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, чго вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль. Отв. а) 2/9; б) 4/9. 8, В замке на общей оси пять дисков.
Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть. Отв. р= !/6». 9. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того. что две определенные книги окажутся поставленными рядом. Отв.
р= ?.2!.6!/8! = 1/4. 10. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю и две книги — по 3 рубля. Найтн вероятность того. что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Отв. р-Сю Сз/С,'« = ! /3. 11.
В партии из !00 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? Отв. ю=0,05. !2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Най!и число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Отв. 102 попадания. 13. На отрезок ОА длины Ь числовой оси Ох наудачу поставлена точка В (х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем Е/3. Прекполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и ие зависит от его расположения на числовой оси. Отв.
р= 2/3. !4. Внутрь круга радиуса В наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадлния точки в квадрат пропорцнональиа площади квадрата и ие зависит от его расположения относительно круга. Ошв. р* 2/и. !6. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов). У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
