Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Приведем наиболее употребительные из них. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же и различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р„= п1, где и! =1 2.3...п. Заметим, что удобно рассматривать 01, полагая, по определению, О! = 1, Пример !. Сколько трехзначных чисел можно составить нз цифр !, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Р вше ни е. Искомое число трехзначных чисел Рз=з!=!.2 3=6 Размеи(ениями называют комбинации, составленные из и различных элементов по т элементов, которые от- личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений А„=п(п — 1) (и — 2) ...
(л — т+1). Прммер 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Решен не. Искомое число сигналов Аз =6 5=30. Сочетаниями называют комбинации, составленные из и различных элементов по т элементов, которые отли- чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний С„- = и!?(т! (, т)!). Пример 3.
Сколькими способами можно выбрать две детали нз ящика, содержашего !О деталей? Роше н не. Искомое число способов С,'з — — !О!/(2! 6!) = 45, Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством Л,'," = РмС„. 3амечаняе. Вмше предполагалось, что все л элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с лаеторелияли вычисляют по другим формулам.
Например, если среди л элементов есть лд элементов одного вида, лз элементов другого вида н т. д., то число перестановок с повторениями Р„(лы лз', ...)=л!((л,! лз!...), где лз+лз+... =л. При решении задач комбинаторики используют следующие правила: Пр а в ил о суммы, Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран и способами, то выбрать либо А, либо В можно т+л способами. Правило произведения.
Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать л способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тл способами. $ Б. Примеры непосредственного вычисления вероятностей Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра. Р е ш е и и е. Обозначим через А событие — набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 1О цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 1О. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует сабытяю А лкшь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствуякцих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (А) = 1(10. Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры раэличнь|, набрал их наудачу.
Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Решение. Обозначим через В событие — яабраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений иэ десяти цифр по две, т. е. Аэ„!0 9=90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Этн исходы несовместны, равновоэможны н образуют полную группу.
Благоприятствует событию В лишь одни всход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо. прнятствующих событию, к числу всех элементарных исходов; Р (В) = 1(90. Пример 3. Указать ошибку ерешенияэ задачи: еБрошеиы две игральные косги. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)э. Решен не. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4. сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благопрннтствует одни исход: общее число исходов равно двум. Слещ вательио, искомая в«роятиость Р (А) =! (2. Ошибка этого решения состоит в том. что рассматриваемые исходы не являются равновозможнымп.
П рав ельное решение. Общее число равновозможных исходов испытания раино 6 6=36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетэтьсн со всеми числами очков другой кости). Среди втих исходов благоприятствуют ссбытию А только 3 всхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в сксбках указаны числа выпавших очков). Ои дователыю, искомая вероятность Р(А) =3/36=1/12.
Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Пайтн вероятность того, что среди шести взятых иаудачт деталей 4 стандартных. Р е ш е н и е. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов. которыми можно извлечь 6 деталей нэ 1О, т. е. числу сочетании из 10 элементов по б этемеитоа (Се„). Определим число исходоо, благоприятствующих интересующему иас с«бытию А (среди и|сети взятьп деталей 4 стандартных). Четыре стапдаргиые детали можно нзнгь нз семи стандартных деталей Сч спот собами; прп этом остальные 6 — 4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 несзапаартиые детали из 1Π— 7.=-3 нестандартных деталей можно С' способами.
Следовательно, число благоиринтствующнх исходов равно С4. С', г' з' Искомая вероятность раппа огнен!енню числа нсходоа, благоарипгствующнх собыюпо, к числу всех элементарных всходов: Р (А) = (Сэ. Сэ))са, = 172. $6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты «)тносительнап частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей. Относительной чпстотой события называют отноглеиие числа испытаний, в которых событие появилось, и общему числу фактически произведенных испытаний.
Таким образом, относительная частота события А определяется формулой йу (А) = лт/л, где пз — число появлений события, я — общее число нспь1- танин. Сопоставляя определения вероятности н относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания пронзводнлнсь в действительности; определение же относительной частоты предполагает, по испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность еычисляяип до опыта, а относилижную часяилпу — после опыага.
Привар 1. Отдел техавчнского контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии вз 60 случайно отобранных деталей. Огню свтельнаа частота поянчеиня иестандарппех деталей %' (А) 3/80. Пример 2. По цели лровзвелн 24 выстрела, причем было зарегястряроваио 19 попаданнй. Относительная частота поражения цеав ИГ (А) 19/24. Длительные наблюденкя показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом нз которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Зто свойство состоит в том, что в различнгкк опьипах опзноситежная частота изменяется мало (тем меконге, чем божии проимедено испыпигний), колеблясь около некоторого постоянного числа.
Оказалось, что зто постоянное число есть вероятность появления события. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности. Подробнее и точнее связь между относительной часто. той и нероятностью будет изложенп далее. Теперь же проиллюстрнруем свойство устойчивости на примерах. Пример 3. По данным шведской статистики, отиосятельиая частота рождениа девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следукяцнми числами (числа расположены в порядке следования месяцее, начиная с января): 0,486; 0,469; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0.491; 0,482; 0,473 Относительная частота колебаегся около числа 0,482, которое можяо припать за приближенное значение вероятности рождения девочек.
Заметим, что статистические данные различных стран даки нрямерно то же значение относительной частоты. Пример 4. Многократно проводились опыты бросаивя монеты, з которых подсчвтыаалв число появления «герба». Результаты вескольквх опытоа приведены а табл. 1. Здесь отвоснтельные частоты незначательно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше чвсло вспытаинй.
Например, прв 4040 испытаниях отклонение рааяо О, 0069, а при 24000 Таблица 1 испытаний — лишь 0,0006. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота начеблется около вероятности. й 7. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытании конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно.
В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. $8) и, конечно, использованием аксноматической вероятности (см. $ 3, замечание). Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможностн элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии.
Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности собьгтия принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то зто число можно принять за статистическую вероятность события.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
