Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для кахгдой камеры вероятность того, что она вкл~очена в данный момент, равна р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А). Отв. 0,936. 5. Чему равна вероятность того, что при брасанни трех игральных костей 6 очков появится хата бы на одной из костей (событие А)? Отв. 9172!6. 6. Предприятие изготовляет 95»» изделий стандартных, причем из них 86»А — первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на атом предприятии, окажется первого сорта. Отв. 0,817. 7.
Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и тай же стороной. Найти вероятности следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний. Отв, а) 15/16", б) 2/3. 8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра.
Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза. Отв. а) 3/5! 6) 3/5! в) 3(10. 9. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз? Отв.
и ~2. 10. Три злектрическне лампочки последовательна включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорнт, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжейин тока в цепи ие будет. Отв. 0,936. 11. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых нспытаннях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытанни (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна н та же).
Ожв. 0,5. 12. Трв команды Аю Ам Аз спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы: при встрече А, с В,— 0,8; Аз с Вз — 0,4; Аз с Вз — 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее? Ошв. Общества А (Рл = 0,544 > 1(2). 13.
Вероятность поражения цели первым стрелком прн одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком — 0,5. Найти нероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком. Ого. 0,44. 14. Из последовательности чисел 1, 2, ..., л наудачу одно за другим выбираются два числа. Найти вероятность того, чго одно нз них меньше целого положительного числа й, а другое больше й. где 1<й<п.
Ожв. [2 [а — !) (л — й)У[в(п — 1)). У к аз а н и е. Сделать допущения: а) первое число <й, а второе > М б) первое число > й, а второе < й. ь15. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна О,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
Ояы. а) 0,243; б) 0,0729. Глава четвертая СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ф 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий. Два события называют совместными, если появление одного нз них не исключает появления другого в одном и том же испытании. пример 1. А — появление четырех очков прн бросании игральной кости;  †появлен четного числа очков. События А н В— совместные. Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий н вероятность их совместного появления.
Как найти вероятность события А+В, состоящего в том, что )зоявится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема. Вероятность появления хотя бы однова из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместноео появления: Р (А+ В) = Р (А)+ Р (В) — Р (АВ). Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: АВ, АВ или АВ.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий, Р (А т В) = Р (АВ) + Р (АВ) + Р (АВ). («) Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(А) =Р(АВ)+Р(АВ). Отсюда Р (АВ) = Р (А) — Р (АВ). (»») Аналогично имеем Р(В)= Р(АВ)+ Р(АВ). Отсюда Р (АВ) = Р (В) — Р (АВ).
(«»«) Подставив (»») и («»«) в («), окончательно получим Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ), (и«»») Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимымн. Лля независимых событий Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (А) Р (В); для зависимых событий Р (А + В) = Р (А) ' - Р (В) — Р (А) Рл (В).
3 а меча н не 2. Если события А и В несовместны, то их совмегцение есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ) =О. Формула (»ч»а) для несовместных событий принимает вид Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (»»») справедлива как для совместных, так и для несовместных событий. Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: рз — — 0,7; ра — — 0,8, Найти 4 — 2730 вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Ре шеи не. Вероятность попадания в цель каждым нз орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попаданне первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А) Р (В) =0,7 0,8=0,58. Искомая вероятность Р (А+ В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ) = 0,7+ 0,8 — 0,56 = 0,94. 3 а меч а н не 3. Тзк как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = !— — атее (см. гл.
111, й 5). В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы: ет= ! — рт= ! — 07=0,3; дз= ! — рз= ! — 0,8=0,2. Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна Р = 1 — втчз= ! — 0,3 0.2=0,94. Как н следовало ожидать, получен тот же результат. й 2. Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий „„'..., В„, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Рв, (А), Рв,(А), ° ° ., Рв„(А) события А.
Как найти вероятность события А? Ответ иа этот вопрос дает следующая теорема. Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий „„..., В„, образующих полную группу, равна сумме йройзвгдений вероятностей каждого из этих собьипий на соответствующую условную вероятность события А: Р (А) = Р (Вт) Рв, (А)+ Р (Вз) Рв,(А)+ ... + Р (В„) Рв„(А).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности». Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий „„..., В„. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В,А, В,А, ..., В А. Пользуясь 50 для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р (А) = Р (В,А) + Р (В,А) +... + Р (В„А). (в) Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(В,А) = Р(В,) Рв,(А) Р(В*А) = Р(В») Рв,(А)' ° ° ° 1 Р (В А) = Р(В») Рв (А).
Подставив правые части втих равенств в соотношение (в), получим формулу полной вероятности Р (А) = Р (В,) Рв, (А) + Р (В,) Ра, (А) + ° ° ° ...+Р(В.)Р (А). Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго — 0.9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная. Решен не.
Обозначим через А событие евзвлеченная деталь стаида ртка». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событяе В»), либо нз второго (событие В»). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р (В 1/2. еровтность того, что деталь вынута вз второго набора, Р (В 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
