Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для того чтобы подчеьпкиуть ато различие, вводят понятие есходимости по вероятностиь >. Точнее, различие между указанными видами сходнмостн состоит в следующем: если ш/и стремится при л — ~се к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некоторого и = л/ и для всех последующих значений л неуклонно выполняется неравенство (ш/и — р) < е; если же ш/л стремится по вероятности к р при а — ео, то для отдельных значений л неравенство может не выполняться. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при и — ~ ое относительяая частота стремится по вероятности к р.
Коротко теорему Бернулли записывают так: ш ьер — — -~ р. Л л ч Ф Как видим, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота прн достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности (см. гл. 1, $6 — 7). Задачи 1. Сформулировать н записать теорему Чебышева, используя понятие есходимости по вероятности>. 2, Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что (Х вЂ” М (Х)1 < О,1, если О (Х) =0,001.
Оша. Р~ 0,9. 3. Дано: Р((Х вЂ” М (Х) ( < е) = 0,9; Р(Х) =0,004. Используя неравенство Чебышева, найти е. Оше. 0,2. ш Последовательность случайных величин Хд, Хм ... сходится по вероятности к случайной величине Х, если для любого е > 0 вероятность неравенства ( Մ— Х ( < а при л — ю- оэ стремится к единице, 110 Глава десятая ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ й 1. Определение функции распределения Вспомним, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, Ь).
Можно ли составить перечень всех возможных значений Х? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. О этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины. Пусть х — действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.
е. вероятность события Х < х, обозначим через Р(х). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и Р(х), т. е. Р(х) — функция от х. Функцией распределения называют функцию Р (х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.
Р(х) = р<Х (х). Геометрически это равенство можно истолковать так: Р (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной, 111 $2. Свойства функции распределения Свой ство 1.
Значения функции распределения принадлежат отрезку [О, 1]: 0 «Р (х) «1. Доказател ьство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Свойство 2. Р(х) — неубывающая функция, т.
е. Р (х,) ~ )Р (х,), если х, ) х,. Доказательство. Пусть х, > х,. Событие, состояп1ее в том, что Х примет значение, меньшее х„можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) Х примет значение, меньшее х„с вероятностью Р(Х < х,); 2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству х, «Х < х„с вероятностью Р (х, «» Х < х,). По теореме сложения имеем Р (Х < х,) = Р (Х < х,) + Р (х, «Х < х,). Отсюда Р(Х <х ) — Р(Х < х ) =Р(х,«Х < х ), или Р (х,) — Р (х,) = Р (х, «Х < х,).
(«) Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то Р(х,) — Р(х,)~)О, или Р(х,)~) Р(х,), что и требовалось доказать. Сл едс т в и е 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р (а «Х < Ь) = Р (Ь) — Р (а). (ии) Это важное следствие вытекает из формулы (и), если положить х,=Ь и х,=а.
Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения О при х - — 1; к (к) = к/4-)-1/4 при — 1 ( к~3; 1 при к>3. 112 Найти вероятность того, что в реэультвте испмтеиня Х примет енв- ченне, прннвдлежещее интервалу (О, 2): Р(0 < Х < 2)=Р(2) — Р(0). Р е шеи и е. Твк кек не нитервеле (О, 2), по условию, Р (к) = к/4+ 1/4, Р (2) — Р (О) = (2/4 + 1/4) — (О/4+ 1/4) = 1/2. Итак Р(0 < Х < 2)=1/2. Сл едет в не 2. Вероятность того, что непрерывная случайная ееличина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Действительно, положив в формуле (и«) а = х„Ь =х,+ + скх, имеем Р(хг<Х<к,+Ах)=Р(х,+Лх) Р(х) Устремим Лх к нулю, Так как Х вЂ” непрерывная случайная величина, то функция Р (х) непрерывна. В силу непрерывности Р (х) в точке х, разность Р (х, + ах) — Р (х,) также стремится к нулю; следовательно, Р(Х=х,)=0.
Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств Р(а<Х < Ь)=Р(а < Х < Ь)= =Р(а< Х< Ь)-Р(а<Х<Ь). («««) Например, равенство Р(а < Х <~Ь) =Р(а < Х < Ь) доказывается так: Р (а < Х < Ь) =Р (а < Х < Ь) + Р (Х = Ь) = Р (а < Х < Ь). Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот фак полностью соответствует требованиям практи.вских задач.
Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером. Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р (Х = х,) означает, что событие Х = х, невозможно (если, конечйо, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно в — 7зо 113 примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х,. Свойство 3.
Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, Ь), то: 1) Р(х) =О при х .а; 2) Р(х)=! при х~~Ь. До к аз а тел ьст в о. 1) Пусть х,(а. Тогда событие Х < х, невозможно (так как значений, меньших х„величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю. 2) Пусть ха) )Ь. Тогда событие Х < х, достоверно (так как все возможные значения Х меньше х,) и, следовательно, вероятность его равна единице. Следствие.
Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: Иш Р(х)=О; 1!т Р(х)=1. й 3. График функции распределения Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. График расположен в полосе, ограниченной прямыми у = О, у = 1 (первое свойство).
При возрастании х в интервале (а, Ь), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство). Рис. 2 При х:- а ординаты графика равны нулю; при х) Ь ординаты графика равны единице (третье свойство). График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рнс. 2. 3 а и е ч а н н е. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.
Убедимся в этом иа примере. И4 Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения Х 1 4 8 р 03 01 06 Найти функцию распределения и вычертить ее график. Решение. Если х~ !, то Р(х)=0 (третье свойство). Если 1 < а~4, то Р(х) = =0,3. Действнтельйо, Х может г(в) принять значение 1 с вероятностью 0,3.
1 Если 4 < х ~ 8, то Р(х) = 0,4. Действптельйо, если хг удовлетворяет неравенству 4 < < хгн,.8, то Р(хг) равно вероятности события Х < хы кото- о рос может быть осупгествлено, когда Х примет значение 1 (ве- рне. 3 Г ятиость етого события равна ,3) или значение 4 (вероятность етого события равна 0,1). Поскольку зги два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х < хз равна сумин вероятностей 0,3+0,1=0,4. Если х > 8, то Р(х)=1. Действительно, событие Х ° 8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.
Итак, функция распределения аналитически может быть запн- сана так: 0 при а~1, 03 при 1 < х~4, 0,4 при 4 < х~8, 1 при х>8. График втой функции приведен на рис. 3. Задачи !. Случайная величина Х задана функцией распределения /О при х~ — 1, Р(х) = х/3+1/3 при — ! < хв 2, 1 при х > 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет зна- чение, заключенное в ийтервале (О, 1). Оаы.
!/3. 2. Случайная величина Х задана функцией распределения (О при хва2, Р(х) = (х/2) — 1 при 2 < хв 4, 1 прн х>4. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет зна- чение, заключенное в интервале (2, 3). Отв. 1/2. Зч 118 3. Дискретная случайная величина Х задана закоиом распрсделения Х 2 6 1О Р 0,5 0,4 0,1 Построить график фуикпии распределения этой величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
