Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 23
Текст из файла (страница 23)
гл. Х1, у 2) Р (с < )т < с~) = ~ ( (г) Ыг = ~ ! Иг = б — с. Далее случайная величина )с используется неоднократно (см. гл. Х Х!). Найдем плотность равномерного распределения г'(х), считая, что все возможные зкачеиия случайной величины заключены в интервале (а, Ь), на котором функция ((х) сохраняет постоянные значения: По условию, Х не принимает значений вне интервала (а, Ь), позтому ! (х) 0 при х < а и х > Ь. Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, Ь), то должно выполняться соотношение Задачи 1. Случайная величина задана плотностью распределения 0 прн х ч- — и!2, 1(х»= асоэх ирн — и/2 < х~п/2, 0 прн х > и/2.
Найти коэффициент а. Оаза, а = 1/2. 2. Случайная величина задана плотностью распределения 0 при хам О. ! (х) = (Мп х)/2 при 0 < к:ч и, 0 прк х>п. Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того„что в резуль- тате пспытаиия случайная величина примет значение, заключенное в интервале (О, и/4». 0 при х~О, Оага. Р(х)= (1 — созх)»2 при 0 < х~п, 1 прн х>п.
В. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 прн ха О, Г(х) = х прн 0 С хе-1, 1 при х> !. Найти плотность распределения. Оам. г'(х)= ! в интервале (О, 1); вне этого интервала г(х)=0. 4, Случайная величина Х задана функцией распределения 0 прн х=О, Р(х) = (! — созх)/2 при 0 < х~и, 1 при х>п. Оазв. 1(х)=(мих)/2 в интервале (О, и); вне этого интервала /(х)=0. Глава двенадцатая НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ й 1. Числовые характеристики непрерывных случайных вели~ив Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания.
Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения ! (х). Допустим, что все возможные 124 значения Х принадлежат отрезку [а, Ь1. Разобьем этот отрезок иа и частичных отрезков длиной Ах„Ах„..., Ьх„ н выберем в каждом из них произвольную точку х, ( =1, 2, ..., и). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений х, на вероятности попадания их в интервал съх; (напомним, что произведение ( (х) Лх приближенно равно вероятности попадания Х в интервал Ах): ~ч~', х;~ (х,) йх,.
Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный ь интеграл ) х((х)йх. а Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, Ь1, называют определенный интеграл ь М (Х) =) х~(х)йх. Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то М (Х) = ) х~ (х) йх. Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е.
существует интеграл ) (х)г(х)с(х. Если бы — Ф это требование ие выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к †, а верхнего †+со. По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [а, Ь|, то В(Х) = — ) [х — М (ХЯ'~ (х) ах; И если возможные значения принадлежат всей оси х, то Ф .() (Х) = ) (х — М (Х)) х ~ (х) г(х. 3 а м е ч а н в е 1.
Можно доказать. что свойства математического ожвдання н днсперснн дискретных велнчнн сохраняются н дла непрерывных велнчнн. Замечав не 2. Легко получить для вычнсленнк двсперснн более удобные формулы: ь В (Х) = $ хеГ (х) бх — (М (Х))е, е Ь(Х)= ) «еУ(х)ох — (М(Х))е. Ф (ее) Првмер 1.
Найти математнческое ожнданне в дисперсию случай- ной велнчнны Х, заданной функпней распределення !' О прн хе-О, Р(х)= х прн О<ха 1, 1 прн х> 1. Решевне. Найдем плотность распределеннш ( 0 прн х~О, /(х) =г'(х)= ! прн 0 < х < !. 0 прн х >!. Найдем математвческое ожнданне по формуле (э): ! 1 м~х)-1*.!.~ т21=!х. о Найдем дксперсню по формуле (ее): 1 ! Прнмер 2. Найтн математическое ожнданне н днсперсню непрерывной случайной велнчнны Х, распределенной равномерно е ннтервале (а, Ь).
Р е ш е н н е. Найдем математяческое ожнданве Х по формуле (э), учнтмвая, что плотность равномерного распределення Г(х) =1/(Ь вЂ” а) !26 Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством о (Х) = ~'(У (Х). (см. гл. Х1, $ 6): М (Х) =~ а/(х) ох= — ~ хох. 1 Ь вЂ” а Выполнив элементарные выкладки, получим М (Х) =(а+Ь)/2. Найдем дисперсию Х по формуле (зь): Р (Х) = ~ хз/ (х) ох — [ М (Х) [з = — ! хз ох — ~ — ~ Ь вЂ” ао ~ 2 Выполнив элементарные выкладки, получим Р (Х) = (Ь вЂ” и)з/12.
3 а меч а и не 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины й, распределенной равномерно в интервале (О, !), т. е. если а=о, Ь=1, как следует из примера 2, соответственно равны М (/!) =!/2, Р(й)= !Р2. Зтот же результат мы получилн в примере 1 по заданной функции распределения случайной величины Я. $ 2. Нормальное распределение Оормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью / (х) — е-(к-а1~/2о~ 1 о г'2к Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и о, Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.
Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, а — среднее квадратическое отклонение нормального распределения. а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины, М(Х) = ~ х/(х) дх= — ~ хе-!х-а!чзо'Ых. 1 о $~2п Введем новую переменную г=(х — а)/о. Отсюда х= ох+а, Их=ода.
Приняв во внимание, что новые пределы инте- грирования равны старым, получим М (Х) = ) (ог+ а) е-"вв с)г = Ф ОР = оге-'че дг+ — ) е-*'1в !(г. г а уБ,) ~Ы Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых р ( т р Путною ! -'ч'Ш =$2 ). Итак, М(Х) =а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а. б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М(Х)=а, имеем Ф а)(Х) = ) (Х вЂ” а)вЕ-М-а1'/Яо*ДХ ! о р'мя Введем новую переменную г =(х — а)уо. Отсюда х — а = ог, с)х=а!)г. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим оа О (Х) = — ( г ге-"1в дг.
уы Интегрируя по частям, положив и =- г, сЬ = ге-епв дг, найдем В(Х) =о'. Следовательно, о (Х) = р'")'.) (Х) = )/ он = о. Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру о. 3 а м е ч а и н е 1. Общим называют нормааьиое распределение с пронввольнымн параметрамн а н о (о > О).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрамн а=о и о=1. Например, если Х вЂ” нормальная величина с параметрами и и о, то '11=*!Х вЂ” а)1а — нормированная нормальная величина, причем М (У)=0, о(У)=*1, 120 й 3. Нормальная кривая График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию у 1 е- М- а>'Л з аз] аз2н методами дифференциального исчисления. 1, Очевидно, функция определена на всей оси х. Рис.
7 2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох. 3 Предел функции при неограниченном возрастании х 1по абсолютной величине) равен нулю: 1пп у=О, т. е. ~к! а* ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика. 4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную: х — а е-м-з)алзвч аз Р"2,» Легко видеть, что у'=О при х=а, у' > О прн х(а, у' (О при х) а. Следовательно, при х=а функция имеет максимум, равный 1/(о аз»).
5. Разность х — а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х=а. 6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную: е ~ -м-мзлзазз ~ 1 1» а1 ~ аз ]/'2н 1. а' Легко видеть, что при х а+о и х=а — а вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно 17(а Р'2п е)). Таким образом, точки графика (а — о, 1/(а)/2пе)) и (а+о, 1/(о$'2пе)) являются точками перегиба.
Иа рис. 7 изображена нормальная кривая при а=1 и о=2. й 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и а. Известно, что графики функций ~(х) и 1(х — а) имеют одинаковую форму; сдвинув график 1(х) в положительном направлении оси х на а единиц масштаба при а > О или в отрицательном направлении при а ( О, получим график 1(х — а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
