Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ф Однако если отыскание функции д(у) является затруднительным, то можно непосредственно найти математическое ожидание функции ~р(Х) по формуле Ю М ~<р (Х)1 = ) ~р (х) ( (х) с[х. Ф В частности, если возможные значения Х принадлежат интервалу (а, Ь), то ь М [~р (Х)! = $ <р (х) ~ (х) с[х. (ам) а Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (и), если заменить суммирование интегрированием, а вероятность — элементом вероятности ((х) гзх. Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения ! (х)= з1п х в интервале (О, и/2); вие етого янтервала ! ~х) =О. Найти математическое ожидание функции У ~р(Х)=Х .
Решение. Воспользуемся формулой (еч). По условию, !(х) = — в(их, <р(х)=хз, а=-о, Ь=п[2. Следовательно, и/3 М [ф (Х)] = ) хз в!п хох. о Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидание М [Ха[=я — 2. 142 й 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и У соответствует одно возможное значение случайной величины Л, то Л называют функцией двух случайных аргументов Х и У: р (Х, )'). Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Л = Х+ У по известным распределениям слагаемых.
Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х вЂ погрешнос показаний измерительного прибора (распределена нормально), У— погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача — найти закон распределения суммы погрешностей Я=- Х+У. 1.
Пусть Х и У вЂ” дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Л=--Х+ У, надо найти все возможные значения л и их вероятности. Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями: Х 1 2 У 3 4 р 0,4 0,6 р 0,2 0,8 Составить распределение случайной величины 2=Х+ Г. Р е гп е н и е. Возможные значения 2 есть суммы каждого возможного значения Х со всеми возможными значениями у: гг=14-3=4; ге=1+4=5' ге=2+3=5; гз 2+4=6, Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы 2=4, достаточно, чтобы величина Х приняла значение кз= 1 и величина У вЂ” значение у, = 3. Верея~ности этих возможных значений, как следует нз данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2. Аргументы Х и г' независимы, поэтому события Х= ! и У 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.
е. вероятность события 2=!+3=4) по теореме умножения равна 0,4 0,2=0,08. Аналогично найдем: Р (а= 1+ 4 =5) =0 4.0 8 =0 32; Р (3=2+ 3=5) =0 6 0,2 =0,!2; Р (3=2+4= — 6) =0,6 0,8=-0,48. 143 либо с помощью равносильного равенства М й(г) = ) гд(г — у)г (у)иу, (н-в) где )„(а — плотности распределения аргументов. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то д(г) находят по формуле г д(г) = ) (д(х)~,(г — х)йх, а (внв) либо по равносильной формуле у (г) = ) ~д (г — у) ~д (у) йу. е Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.
Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например„если Х и У вЂ” независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и диспер- 144 Напишем искомое распределение, сложив ппедварнтельно веронтности несовместных событий г=ам г=г (0,32+0,!2=0,44): а 4 5 6 р 008 044 048 дд он троп дс 0,08+0,44+0,48= П 2.
Пусть Х и У вЂ” непрерывные случайные в е л и ч и н ы. Доказано: если Х и У независимы, то плотность распределения д(г) суммы Л = Х+ У (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале ( — оо, оо) одной формулой) может быть найдена с помощью равенства ОР д (г) = ~ ~, (х) ~, (г — х) йх (н) Ф снами, соответственно равными ц, = 3, ая = 4, О, = 1, О, = 0,5, то композиция этих велйчин (т. е.
плотность вероятности суммы Л= Х+У) также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а=3+4=7; В=1+ +0,5 = 1,5. Пример 2. Независимые случайные величины Х н У заданы плотностями распределений: ((л) е-юз (ОвСл < оз). 3 1(у)= — е вы (О~у < го). 4 Найти композицию зтик законов, т. е. плотность распределения случайной величины Я=Х+У. Р е ш е н и е.
Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (*ав) т аи-~ы о.р-ч~ -11 — -*"11 — -в-*"') *- в у (' е-тм "е-ю~з д» е-тм (1 е-ытз) 12 Заметим, что здесь г=-О, так как Я=Х+У и, по условию, возможные значения Х и У неотрицательны. Рекомендуем читателю для контроли убедиться, что ) я(т)Из=1. о В следующих далее параграфах кратко описаны распределения, связанные с нормальным, которые будут использованы при изложении математической статистики.
й 13. Распределение «хи квадрат» Пусть Х;(1= 1, 2, ..., и) — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожи. дание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице. Тогда сумма квадратов этих величин ч Х'= ХХ; 1Π— 2730 145 распределена по закону у» («хи квадрат») с Й=п степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например „~~ Х; = пХ, то число степеней свободы Й=п — 1.
Плотность этого распределения 0 при х<0, рр» -*г ~ — р >р, р' 'г гр»> гр где Г(х) = ) 1" 'е 'Ж вЂ” гамма-функция; в частности, о Г (и + 1) = и!, Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром — числом степеней свободы я. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. ф 14. Распределение Стьюдента Пусть Š— нормальная случайная величина„причем М (Л) =О, о(Л) = 1, а )р' — независимая от Л величина, которая распределена по закону )(' с Й степенями свободы. Тогда величина г Т== у'1уа имеет распределение, которое называют 1-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В.
Госсета), с р«степенями свободы. Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с А степенями свободы, деленной на )«, распределено по закону Стьюдента с й степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл.
ХЧ1, й 16). 146 ф 15. распределение Р Фишера — Снедеиора Если 0 и У вЂ” независимые случайные величины, распределенные по закону )(э со степенями свободы Й, и Й„ то величина р У% *г'1'Дэ (в) имеет распределение, которое называют распределением Р Фишера — Снедекора со степенями свободы )гэ и )гэ (иногда его обозначают через У*). Плотность этого распределения К (х) = 0 при х(0, „1а,-э)Гэ С, 1„+а>~э пРн «~0, (й,+й,х) + * э где г (~ + ) йа 1э й .1* 2 1 г э Св '(д 12) Г( )1чы видим, что распределение г' определяется двумя параметрами — числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл.
Х1Х, $8). Задачн 1. Найти матемагнческое ожнданне я днсперсню случайной величины Х, зная ее плотность распределения: а) /(х)= прн — 1 < х < 1, 7(х)=0 прн остальных п УТ вЂ” х' зяаченнях х; 1 б) 1(х)= — прн и — 1ы э~а+1, 1(х)=0 прн остальных эна- 2! ченнях х. Отв.
а) М(Х)=0, В(Х)=112; б) М(Х)=а, О(Х)=1э/3. 2. Случайная' велячнна Х распределена нормально. Математнческое ожнданне н среднее квадратнческое отклоневне этой величины соответственно равны 6 я 2. Найти вероятность того, что з результате испытания Х примет значеняе, заключенное в ннтервале (4,8). Отв. 0,6826. 3, Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратяческое отклонение этой велнчнны равно 0,4. Найтн вероятность того, что отклоненне случайной велнчнны от ее математического ожидания по абсолютной велячнне будет меньше 0,3. Отв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
