Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Огсюда следует, что изменение величины пара метра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу -з вдоль оси Ох: вправо, если а 4 тд возрасгпает, и влево, если а убываеп1. 9 По-иному обстоит дело, Рас. 8 если изменяется параметр о (среднее квадратическое отклонение). Как было указано в пРедыдущем параграфе, максимум дифференциальной ункции нормального распределения равен 1/(о $~2п), сюда следует, что с возрастанием а максимальная ординапш нормальной кривой Убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е.
сясимается к оси Ох; при убывании о нормальная кривая становится более «островершиннойь и растягивается в положительном направлении оси Оу. Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и о площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице (см.
гл. Х1, $4, второе свойство плотности распределения). 33! На рис. 8 изображены нормальные кривые при различных значениях о и а =-О. Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра о сказывается на форме нормальной кривой. Заметим, что при а= О и о= 1 нормальную кривую -ы1 ~р(х)= — е 'ч' называют нормированной, г' 2я $5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальиок случайной величины Уже известно, что если случайная величина Х задана плотностью распределения ) (х), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, ()), такова: а Р (и < Х < ~) = ~ ~ (х) йх.
И Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, ))), равна Р(а < Х < а) = ( е-ы-анлввч йх о г'2п 1 а Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную г=(х — а)/о. Отсюда х=ог+а, ах=ойг. Найдем новые пределы интегрирования. Если х= х, то г= (сс — а)/о; если х = р, то г = (р — а)/о. Таким образом, имеем ~В- ич Р(а<Х<В)= ~ е *ч'(ос1г)= о г'2я (а-а>/о о (В-юе — е-*ч' аг+ = ~ е-"ы аг = 9-а]/а (а-а>м 1 е- ч' дг — = ~ е-'ч'Ыг.
)~ 2я $' 2п !32 Пользуясь функцией Лапласа Ф(х)== е-'*/э с(г, 1 )т а~ окончательно получим Р(а<Х<)))=Ф( — ) — Ф(а и). Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и !О. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50). Реш ение.
Воспользуемся формулой (е). По условию, а=10, () =50, а = 30. о= 1О, следовательно, Р(10 < Х < 50)=Ф ( ) — Ф( )=2Ф(2). По таблипе приложения 2 находим Ф (2)=0,4772. Отсюда искомая вероятность Р (10 < Х < 50) =2 0,4772=0,9544. В 6. Вычисление вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа 6, т.
е. требуется найти вероятность осушествления неравенства (Х вЂ” а~ < Ь. Заменим зто неравенство равносильным ему двойным неравенством — 6 < Х вЂ” а < 6, или а — 6 < Х < а+6. Пользуясь формулой (») (см. $ 5), получим Р ( ~ Х вЂ” а ~ < 6) = Р (а — 6 < Х < а+ 6) = [(о+Ь) — о ) ~(о — Ь) — п1 ( Ь ) ( Ь) Приняв во внимание равенство Ф ( — Ьуо) = — Ф (буа) (функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем Р(~ Х вЂ” а ~ < 6)=2Ф(6/а).
В частности, при а=О Р ( ( Х ( < б) = 2Ф (6(о). На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = О, то вероятность принять значение, принадлежашее интервалу ( — б, б), больше у той величины, кото/(в) рая имеет меньшее значение о. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра о (о есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания). я Замечание. Очевидио, соРис.
9 бытия, состоящке в осуществлеиип неравенств ) Х вЂ” а) < б и ) Х вЂ” а) ~ ) б, — противоположиые. Поэтому, если вероятиость осуществления иеравеиства ) Х вЂ” а) < б равиа Р, то вероятиость неравенства ) Х вЂ” а) ) б равна ! — Р. Пример. Случайная величина Х распределена иормальио. Математическое ожидание и средиее квадратическое отклсиеиие Х соответствепио равны 20 и 1О. Найти вероятиссть того. что отклоиеиие по абсолютной величине будет меньше трех. Р е ш е и и е. Воспользуемся формулой Р ( ( Х вЂ” а ( < б) = 2Ф (б/а). По условию, Ь=З, а=20. о=!0.
Следовательно, Р (! Х вЂ” 20 ~ < 3) =2Ф(З/1О) =2Ф(0.3). По таблице приложевия 2 иаходкм Ф(0,3) =О,!!Т9. Искомая вероятиость Р () Х вЂ” 20 ! < 3) = 0,2333. й 7. Правило трех сигм Преобразуем формулу (см. 9 6) Р ( ( Х вЂ” а ~ < б) = 2Ф (б!0), положив б=о(. В итоге получим Р(~Х вЂ” о~ < о()=2Ф((). Если г 3 и, следовательно, о( = Зо, то Р ( ! Х вЂ” а ! < Зо) = 2Ф (3) = 2. 0,49865 = 0,9973, т.
е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратиче- ского отклонения, равна 0,9973. 134 Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения п р е в ы с и т утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027.
Зто означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможнымн. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина раснределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально. $8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике.
Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А, М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному. Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (темоература, колебания прибора, влажность и дрд.
Каждый из этих факторов порождает ничтожную ечастную ошибкуъ. Однако, поскольку число этих факторов очень велико, нх совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибкуь. Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что сунь~ариан ошибка имеет распределение, близкое к нормальному.
Опыт подтверждает справедливость такого заключения. Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма !35 большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному. Пусть Х„Х,, ..., Х„, ...— последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: М (Х„) =а„, 1.)(Хя) =Ьа. Введем обозначения: л а В„= Х, + Х, +... + Х„, А„= ~~~, 'а„, В' = г', Ь'„. ь=! ь=! Обозначим функцию распределения нормированной суммы через Р (х) Р( <х) Говорят, что к последовательности Х„ Х„ ...
применима центральная предельная теорема, если при любом хфункция распределения нормированной суммы при п оо стремится к нормальной функции распределения: я 11шР г а е ~ 1 ~ -*'!я 1(х у йп В частности, если все случайные величины Х„Х„... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Х1(1= 1, 2, ...) конечны и отличны от нуля, А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
