Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(«) Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х вЂ” М (Х). Центральным моментом порядка й случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х вЂ” М (Х))»: р,=м((Х вЂ” М(Х)) 1. В частности, р,=М(Х вЂ” М(Х)1=О, (««) )»»=М1(Х вЂ” М(Х)) 1 »1(Х), («««) Легко выводятся соотношения, связывающие пачальные и центральные моменты. Например, сравнивая («) и («««), получим И»=те Нетрудно, исходя из определения центрального мо- мента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы: 1»е =та — Зт»ч,+ 2те, )»« = не — 4 туг, + бтет*, — ЗФ Моменты более высоких порядков применяются редко.
3 а м е ч а н н е. Моменты, рассмотренные здесь, называют ямореа«нчесннмв. В отличие от теоретнческнх моментов, моменты, которые вычнсляются по данным наблюденна, называют »маари««снимя. Определення ампнрнческнх моментов даны далее (см. гл. Х'тн, $2). 7» 99 1. Известны дисперсии двух независимых случайных величии: Р(Х)=4, Р()') =3. Найти дисперсию суммы этих величин, Огле.
7. 2. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) Х вЂ” 1; б) — 2Х; в) ЗХ+6. Ошв. а) 5; б) 20; в) 45. 3. Случайная величина Х принимает только два значения: +С н — С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины. Оаэв. С'. 4. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения Х 0,1 2 10 20 р 0,4 0,2 0,15 0,25 Олы. 67,6404. 5. Случайная величниа Х может принимать дза возможных значения: «х с вероятностью 0,3 и «а с вероятностью 0,7, причем «з > «,.
Найти «з н «а, зная, что М(Х) 2,7 и Р(Х)=0,2!. Отв. «э=2, «з=З. В. Найти дисперсию случайной величины Х вЂ” числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М (Х) =0,3. У к а з а н н е. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события А в двух независимых испытаниях. Ояэв. 0,48. 7. Испытывается устройство, состоящее нз четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р, = 0,3; рз=0,4; рз=0,5; рз=0,6. Найти математическое ожидание н дисперсию числа отказавших приборов. Ожв.
1,8; 0,94. В. Найти дисперсию случайной величины Х вЂ чис появлений события в !00 независимых испытаниях, в каждом нз которых вероятность наступления события равна 0,7. Ожв. 2!. 9. Дисперсия случайной величины Р(Х)=6,25. Найти среднее квадратическое отклонение о(Х). Отв. 2,5.
1О. Случайная величина задана законом распределения Х 2 4 8 р О! 05 04 Найти среднее квадратическое отклонение этой величины. Ожв. 2,2. 11. Дисперсия каждой нз 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин. Отв. 4. !2. Среднее квадратическое отклонение каждой из !6 одинаково спределенных взаимно независимых случайных величии равно !О.
айти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величии. Опы. 2,5, 100 Глава девятая ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ф 1. Предварительные замечания Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин' почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений.
Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.
ф 2. Неравенство Чебышева Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин. Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную таблицей распределения: Х х, х, ... х„ Р Р1 Рэ ° ° ° Р» Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического 101 ожидания не превышает по абсолютной величине поло- жительного числа е. Если е достаточно мало, то мы оце- ним, таким образом, вероятность того, что Х примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П.
Л. Чебышев доказал неравенство, позволяю- щее дать интересующую нас оценку. Нера венс тв о Ч ебыше в а. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положитель- ного числа е, не меньше, чем 1 — Р(Х)/е*: Р(~Х вЂ” М(Х) ~ < е)~ 1 — Р(Х)/в'. Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств ~Х вЂ” М (Х) ~ < е и1Х вЂ” М (ХЦ) е, противоположны, то сумма их вероятностей равна еди- нице, т, е, Р ( ~ Х вЂ” М (Х) ~ < е)+ Р ( ~ Х вЂ” М (Х) ()~ е) = 1. Отсюда интересующая нас вероятность Р(~Х вЂ” М(Х)~ е)=1 — Р(~Х вЂ” М(Х)(,З-е).
(ч) Таким образом, задача сводится к вычислению вероят- ности Р (~ Х вЂ” М(Х) 1,: е). Напишем выражение дисперсии случайной величины Х: Р(Х) =1х,— М(ХЦ'р,+(х,— М (Х)1*р,+... ... +1х,— М (Х)1*р„. Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых ~х; — М(Х)~<а (для оставшихся слагаемых ~х — М (Х) ~~ь е), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся счи- тать для определенности, что отброшено я первых сла- гаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таб- лице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке).
Таким образом, Р(Х) ) ~хе+,— М (Х)~' рь+,+(х„+,— М (Х))'рь+,+... ... + 1х„— М (Х Я' р„. Заметим, что обе части неравенства ~х~ — М(Х)~~)е () =й+1, 4+2, ..., и) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство ~х,— в М (Х) ~*~ )е'. Воспользуемся этим замечанием и, замейяя в оставшейся сумме каждый из множителей ~х~ — М(Х)~* числом е' (прн этом неравенство может лишь усилиться), !02 получим Р(Х)) г'(р„,+ра,+...
+р„). По теореме сложения, сумма вероятностей ра+,+ра„+... ... +р„есть вероятность того, что Х примет одно, безразлично какое, из значений х„„, хь„, ..., х„, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству ~ ху — М (Х) ~ = е. Отсюда следует, что сумма р,«,+ ра,э-(-... ... +р„выражает вероятность Р ( ( Х вЂ” М (Х) ()~ в). Это соображение позволяет переписать неравенство (««) так: Р(Х)=)э гэ Р(! Х вЂ” М (Х) !Рве), Р (1Х вЂ” М (Х) 1~ в): Р (Х)/еэ. или («««) Подставляя («««) в («), окончательно получим Р(~ Х вЂ” М (Х) ~ < в) ~ )1 — Р(Х))еэ, $ 3.
Теорема Чебышева Теорема Чебышева. Если Х„Х„..., Х„, ...— попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С)„то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства !' ' Х +Х +...+Х„М(Х,)+М(Хэ)+...+М(Х„)~ л л будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. что и требовалось доказать. 3 а ме ч а н не.
Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение. поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если Р(Х) > вз и, следовательно, Р(Х)/аэ > ), то ! — Р (Х)/ез < О; таким образом, в этом случае неравенство Чебынива указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и беэ того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числам. Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенсзвом для вывода теоремы Чебышева.
Другими словами, в условиях теоремы ,~~х,+х,+... +х„ и ж м(х,)+м(х,)-„... +м(х„) ~ ) л Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин р (~ 1+хе.+-...+х„м (х1+хе+... +х„) ~ ~ ) ( "' ) х,+х,+...+х,~ )1 е" или, учитывая соотношение (э) ,(~х,+х,+...+х„ л м(х,)+м(х)+...+м(х„)~ ) л (х,-~х,+... +х ) л е (е«) Пользуясь свойствами дисперсии (постояиный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его $04 Х=(Х,+Х,+...
+Х )~п. Найдем математическое ожидание Х. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим „( х,+х,+... +х„~ м (х,)+м (х.)+... +м (х ) л / л Применяя к величине Х неравенство Чебышева, имеем в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим ~ х1+х«+... + х»~ В (х1)+В (х ) ' ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
