Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

+В (х„) л / л"- По условию дисперсии всех случайных величии ограничены постоянным числом С, т. е. имеют место неравенства: 0 (Х,) (С; Р (Х,) (С; ...; В (Х„) «..С, позтому (0(Х,)+П(Х,)+... +В(Х„))/а*((С+С+...-+С)/а» = = аС/а' = С/а. Итак, ~) ~ х1+х«+ ° ° ° +х» ) ~ с л / л Подставляя правую часть («ля) в неравенство (««) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем ,~ ~ х,+х,+...+х„ м(х1)+м(х»)+...+м(х„)) ~ с Отсюда, переходя к пределу при а оо, получим , /)х,+х,+...+х„ »» м (х )+м (х,)+...

+м (х„) ~ ) > л Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать , /)х,+х,+...+х„ л м (х1) + м (х») +... + м (х») ~ л Теорема доказана. Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания.

На практике часто бывает, что сл)- чайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что диспер. син зтих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева. Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величии через а; в рассматриваемом случае сред- 105 нее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая. Если Х„Х„..., Х„,...

— попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии зтих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число е ) О, вероятность неравенства х +х +...+х„ 1 и будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство $4. Сущность теоремы Чебышева Сущность доказанной теоремы такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (М (Х) + М (Х) +...

+ М (Х„))/и (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало. Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждан из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое. Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется зто тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедли- вость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью. $5. Значение теоремы Чебышева для практики Приведем примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильнымг Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева (ее частный случай). Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины Х„Х„..., Х„.

К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если: 1) они попарно независимы, 2) имеют одно и то же математическое ожидание, 3) дисперсии их равномерно ограничены. Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения произведены без систематических (одного знака) ошибок.

В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру а. Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерении. Хотя прн этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено. Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева: при достаточно большом п вероятность неравенства ~(Х,+ Х,+...

+Х„)/и — а~ < е как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако ошибочно думать, что, увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точнасти, Дело в том, что сам прибор дает показания лишь шт с точностью ~ а; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит а том, что по сравнительно иеболыпой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями. В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе.

И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико. Уже из приведенных примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение. й 6. Теорема Бернулли Пусть производится и независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события7 Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 17!3 г.), которая получила название «закона больших чисель и положила начало теории вероятностей как науке.

Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П. Л. Чебышевым в 1346 г. Теорема Бернулли. Если в каждом из и независимых испьвпаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний досттпочно велико.

Другими словами, если е — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы 108 имеет место равенство !пп Р(! игрг — р) < е) = 1, Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Х, дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через Х,— во втором, ..., Մ— в и-м испытангш. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и О (событие не появилось) с вероятностью 1 — р ==- д.

Можно лн применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются Действительно, попарная независимость величин Х„Х„..., Х„следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины Хг (г = 1, 2,..., и) равна произведению рг? *'; так как р+г? =1, то произведение рг? не превышает **г !/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С= !А. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем 1гт Р ( ~ (Х, + Х, +... + Х „) ~и — а ! < е) = 1. Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величии Х, (т.

е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события (см. гл. ч'И, $ 2, пример 2), получим 1пп Р()(Х, !- Х,-+... +Хе)/и — р ~ < е) = 1. Остается показать, что дробь (Х,+Х,+... +Х„)ггг равна относительной частоте игуи появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин Х„ Х„... Х„при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следо- *' Это следует яз 4 о гл. ИП, если прннять л=!. х ч Известно, что пронзведенне двух сомножителей, сумма которых есть велнчнна постоянная, имеет нанболынее значение прн равенстве сомножнтелей. Здесь сумма рг-4-ог= 1, т.

е. постоянна, поэтаму орв р, =яг гт2 произведение р,лг имеет наноольшее значение н Равно !1Ф. !09 вательно, сумма Х,+Х,+... +Х„равна числу гп появлений события в и нсйытаннях, а значит, (Хт+ Хз+ + Х )/и — гп/и Учитывая ьто равенство, окончательно получим 1нп Р((т/и — р(< е)=1. «-+ ь~ Заме чан не. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р; другими словами, из теореиы Бернулли не вытекает равенство 1пп (ш/л)=р. В твое -> м реме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытаннн. Таким образом, сходимость относительной частоты ш/п к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа.

Характеристики

Список файлов книги