Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Глава одиннадцатая ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В (. Определение плотности распределения Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределении или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной Функцией). Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию ((х) — перву1о производную от функции распределения г (х): 1(х) = г' (х). Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима. В 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Вычисление основано на следукицей теореме. Теорема. Вероятность того, что непрерьгвная случайная величина Х примет значение, принадлеясащее интервалу (о, О), равна определенному интегралу от плотности 116 распределения, взятому в пределах от а до Ь: ь Р(а < Х < Ь) = ~ /(х)с(х. Доказательство. Используем соотношение (в»). (см. гл, Х, ф 2) Р (а ( Х < Ь) = Р (Ь) — Р (а). По формуле Ньютона — Лейбница, ь ь Р (Ь) — Е (а) = ) Р' (х) с(х = ~ / (х) Йх. Таким образом, ь Р(а<Х < Ь) ) /(х)дх. е Так как Р(а< Х < Ь)=Р(а < Х < Ь), то оконча- тельно получим ь Р (а < Х < Ь) = ~ / (х) дх.
(н) е Геометрически полученный результат можно истолко- вать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), равна площади криволинейной трапеции, ограни- ченной осью Ох, кривой распределения /(х) и прямыми х=а и х=Ь. 3 а м е ч а н и е. В частности, если /(х) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то О Р( — а<Х<а)=РЦХ(<а) 2)/(х)ах. о Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х ( О при хам О, /(х)= 2х при 0 < к~1, 0 при х >!.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет зна- чение, принадлежащее интервалу (0,6; 1). Решен не. Искомая вероятность 1 Р (0,6 < Х < 1) =2 ~ кек=кт (е,е 1 — О 26=0,76. о,а 117 $3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения Зная плотность распределения ) (х), можно найти функцию распределения Р(х) по формуле к Р (х) = ~ ( (х)е(х. Действительно,мы обозначили через Р(х) вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х, т.
е. Р (х) = Р (Х < х). Очевидно, неравенство Х < х можно записать в виде двойного неравенства — оо < Х < х, следовательно, Р (х) = Р ( — оо < Х < х). (н) Полагая в формуле (и) (см. $2) а= — оо, Ь=х, имеем Р( — оо < Х < х)= ~ 7(х)е(х. Наконец, заменив Р( — оо < Х < х) на Р(х), в силу (е), окончательно получим Р (х) = ) ) (х) Их. ОЭ О при ) (к) = !((Ь вЂ” а) при О при ка а, а(км Ь, к > Ь. Построить график найденной функции Ре шеи не. Воспользуемся формулой Р(к)= ) т (к) ак. !!8 Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения.
Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно: ~ (х) = Г' (х). Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения: Если х~а, то 1" (х)=0, следовательно, г" (х)=0. Если а < хе,ь, то 1 (х) = 1ЕЬ вЂ” о) „следовательно, СЮ а х 1 х — о е (х) = ~ 1 (х) ах = ~ 0 ах+ ! — ах=— ,1Ь вЂ” о Ь вЂ” о и и а Если х >Ь, то ох Г Ь вЂ” а Е (х) = ) 0 е(х+ — + О Нх = — = 1. ,1 Ь вЂ” и ~ Ь вЂ” и ь е Итак, искомая функция распределения 0 при хм-а, г (х)= (х — а)/(Ь вЂ” а) прп о < х сЬ, 1 при х>Ь. График этой функции изображен иа рис. 4.
й 4. Свойства плотности распределения С в о й с т в о 1. Плотность расп ределения — неотрицательная функцият 1 (х) 3э О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция распределения — неубывающая функция, следовательно, ее производная р'(х) =) (х) — функция неотрицательная. г(") Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распреде- х ления, расположены либо е а над осью Ох, либо на этой Рис.
4 оси. График плотности распределения называют кривой распределения. С войс тв о 2. Несобстпвенный интеграл от плотности распределения в пределах от — оо до оо равен единице: и ) 1 (х) йх=!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Несобственный интеграл ) 1(х)т(х выражает вероятность события, состоящего в и 119 том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( — оо, оо). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице, Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице. Гз частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, Ь), то ) у (х) г(х= 1. а Пример. Плотность распределения случайной аелччнны Х ааданаг а е-»1 е» ' Найти постоянный параметр а. Р е и е н н е.
Плотносзь распределення должна удовлетворять услоеню ) г'(х) гГх -1, поэтому потребуем. чтобы выполнялось равенство гГ» Отсюда гГх е-»+е" Найдем неопределенный интеграл: 1- ггх, г". е» гух = ) — = агс1я е». е-»-(-е»,) ! +е'» Вычнслнм несобственный интеграл: +,.~- ггх . 1' ггх г ох е-»+е»,) е-»-1-е»,,) е-»+е» вЂ” Игп ),, + 1пп 1пп ( — агс1яее)+ Иго (агс1я е )=пу2. ь~-» С м Таким образом, нскомый параметр 1 2 пг'2 п 129 й 5. Вероятностный смысл плотности распределени я Пусть Р(х) — функция распределения непрерывной случайной величины Х. По определению плотности распределения, ((х) =Р'(х), или в иной форме Р (к+ ак) — Р (к) г(х)= нп Ьк -~ О Лх 1(ак уже известно, разность Р (х+ Лх) — Р (х) определяет вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+Ах). Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+Ах), к длине этого интервала (при Лх 0) равен значению плотности распределения в точке х.
По аналогии с определением плотности массы в точке *' целесообразно рассматривать значение функции ((х) в точке х как плотность вероятности в этой точке. Итак, функция ) (х) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е. Р(х+ Лх) — Р (х) ~ ИР (х), или Р (х+ Ьх) — Р (х) — Р' (х) с(х. Так как Р'(х) =г(х) и Ых=Лх, то Р(х+ Ьх) — Р(х) ~ ~(х) Ьх. Вероятностный смысл этого равенства таков; вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+Ьх), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ьх) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Ьх.
ю Если масса непрерывно распределена вдоль осн к по некотоРому закону, напрнмер Р(х), то плотностью р(к) массы в точке х называют предел отношение массы интервала (х, к+Ах) к длине интервала прн Ьк -+О, т. е. р(к) = йш ' + Р (к+ Лх! — р (к) а,о Лк 12! Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+Лх), приближенно равна площади прямоуголь- ГР) ника с основанием Лх и вы- сотой у (х).
с На рис. 5 видно, что пло- 4 щадь заштрихованного пряв моугольника, равная произвег гк1 дению )'(х) Лх, лишь прибли- женно равна площади кривой к «+ак линейной трапеции (истинной Рис. б вероятности, определяемой определенным интегралом к+аз 1 (х) Их). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника АВС.
$6. Закон равномерного распределения вероятностей При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величии. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений. В настоящем параграфе рассматривается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены следующие две главы. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины. Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседнимн целыми делениями, Таким образом, Х имеет равномерное распределение. 122 !(х) <(х=1, нли ~ с,ь= !. Отсюда Ь С= 1( 1 ах = 1( (Ь,) а Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределе- ння О при х~а, у(х)= 1/(Ь вЂ” а) при а < хч- Ь, О прн х > Ь.
График плотности равномерного распределения изображен на рис. 6, а график функции распределения — на рнс. 4. 1 3 а меча ни е. Обозначим че- 3-а рез )( непрерывную случайную величину, распределенную равиомер- ь .х но в интервале (О, !), а через г — ее возможные значения. Ве- рне. й Г ятность попадания величины )с в результате испытания) в интервал (с, И), принадлежащий интервалу (О, 1), равна его длине: Р (с < Р < 4 = б — с. Лействительно, плотность рассматриваемого равномерного рас- пределения ) (г) = 1 у (1 — О) = 1. Следовательно, вероятность попадания случайной величины тс в ин- тервал (с, сО (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
