Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ЗОЗ4 Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 1ОО ч, приближенно равна 0,14. 3 а м е ч а н н е. Если отказы элементов в случайные моменты времени образуют простейший поток, то вероятность того, что за время длительностью Г не наступит ни одного отказа (см. гл.
111, 4 6), Р, (0) = е что согласуется с равенством (е), поскольку Х в обеих формулах имеет одни и тот же смысл (постоянная интенсивность отказов). 153 й 6. Характеристическое свойство показательного закона надежности Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью 1 не зависит от времени преди~ествуюи4ей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени 1 (при заданной интенсивности отказов Х). Для доказательства свойства введем обозначения событий: А †безотказн работа элемента на интервале (О, 1,) длительностью 1,.„  †безотказн работа на интервале (1„ 1, + 1) длительностью 1.
Тогда А †безотказн работа йа интервале (О, 1,+ 1) длительностью 1,+ 1. Найдем вероятности этих событий по формуле (ь) (см. $ 5): Р (А) = е-ме, Р (В) = е-м Р (АВ) е-ь в эо — е-кое-м Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале (1„ 1,+ 1) при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале (О, 1,) (см. гл. 111, $ 2): Р (АВ) е ы'е Рл (В)= Р(А — — ~, — — е ~'.
е Полученная формула не содержит („а содержит только 1. Это и означает, что время работы на предшествующем интервале не сказывается на величине вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит ~олька от длины последующего интервала, что и требовалось доказать. Полученный результат можно сформулировать несколько иначе. СРавнив веРоЯтности Р (В) = е-м и Рл (В)=е-~', заключаем: условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью 1, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности. 1з4 Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента чв прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы чв ближайшем будущем». 3 а м е ч а н н е.
Можно доказать, что рассматрнваемым свойством обладает т о л ь к а показательное распределение. Поэтому если на пракгнке язучаемая случайная велнчнна этны свойством обладает, то она распределена по показательному закову. Напрнмер, прн допущеннн, что метеориты распределены равномерно в пространстве н во времени, вероятяость попадания метеорита в космнческнй корабаь не завнснт от того, попадали нлн не попадаля мстеорнты в корабль до начала рассматрнваемого янтервала времена.
Следовательно, случайяые моменты времена попадания ыетеорнтов в космический корабль распределены по показательному закону. Звдвчн 1. Написать функцню распредслення Р (х) н плотность вероятностя ) (х) непрерывной случайной велнчнны Х, распределенной по показательному закону с параметром я=5. Ошв. /(х) =5е-з" прн «» 0; )(х)=0 прн х < 0; Р(х) =1 — е-ь«. 2. Непрерывкая случайная велнчнна Х распределена по показательному закону: ((х) =5е-з" прн х»0, ((х)=0 прн х < О. Найти вероятность того, что в результате нспытання Х попадет в янтервал (0,4, 1). Олы. Р (0,4 < Х < 1) =0,13.
3. Непрерывная случайная аелнчнна Х распределена по показательному закону Г'(«)=4е-з" (х > О). Найти математическое ожнданне, среднее квадратическое отклонение н днсперсню Х. Оиы. М(Х) =о(Х) =0,25; О (Х) =-0,0625. 4. Время безотказной работы элемента распределено по показатеаьному закону ((1)=0 0! е-эдп(1 > 0)„где г — время, ч. Найтн вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч. О . Л(100)=о,зт.
Глава четыриаднатая СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН $1. Понятие о системе нескольких случайных велвчин До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, — дискретная одномерная величина; рас- 155 стояние от орудия до места падения снаряда — непрерывная одномерная случайная величина. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, ..., л числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, ..., л-мерными. Будем обозначать через (Х, 1') двумерную случайную величину.
Каждую из величин Х и )' называют составляющей (компонентой); обе величины Х и )', рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично л-мерную величину можно рассматривать как систелту л случайных величин. Например, трехмерная величина (Х, )', 2) определяет систему трех случайных величин Х, )' и Л. Пример. Станок-автомат штампует стальные платка. Если контролнруемымн размерами нвляются длина Х н ширина г, то имеем двумерную случайную величину (Х, УК еслн же контролнруется н высота Е, то имеем трехмерную велнчнну (Х, К, Е).
Двумерную случайную велнчнну (Х, г') геометрически можно потолковать либо как случайную точку М (Х, у') на плоскости (т. е. как точку со случайнымн коордннагамн), либо как случайный вектг р ОМ, Трехмерную случайную велнчнну геометрически можно нстолкоаать как точку М (Х, г', д) в трехмерном пространстве нлн как вектор ОМ.
(1елесообразно различать дискретные (составляюшне этнх величнн днскретны) н непрерывные (составляюшне этих величин непрерывны) многомерные случайные велнчнны. 5 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины Законом распределения дискретной двумерной случайной величины назывнот перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (хо у ) и их вероятностей р(х;, у,)((=-1, 2, ..., л; ) =1, 2, ..., пг).
Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 2). Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец — все возможные значения составляющей 1'. В клетке, стоящей на пересечении «столбца хгю н «строки у ю, указана вероятность р(х;, у ) того. что двумерная случайная величина примет значенйе (хг, у ). Так как события (Х =хо )'= уу) ((= 1, 2, ..., л; 1 = 1, 2, ..., пг) образуют полную группу (см.
гл. 11, ф 2), то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице. Таблица 2 х, хю кя р(хь уй р(х, уд) р(хь ут) р(хл, ут) Ут р(хо у~) р(х,, у)) р[х,, ут) р (хч, у~) у) р(» ° у ) р(х у ) Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (Х=-х,; У вЂ --у,), (Х=х,; )'=у,), ...,(Х=х,; У=у ) несовместны, поэтому вероятность Р(х,) того, что Х примет значение х„по теореме сложения такова: Р(хз) =р(ко у~)+р(хо уз)+...
+Р(х~ ум) Таким образом, вероятность того, что Х примет значение х„равна сумме вероятностей естолбца х,з. В общем случае, для того чтобы найти вероятзюсть Р (Х =х;), надо просуммировать вероятности столбца хр Аналогично сложив вероятности «строки ууз, получим вероятность Р(У= ц). Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной закончм распределения (табл. 3). Ре ш ен и е, Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений Х:Р(хт) =О,!6; Р (х )=0,48; Р (хз) =О 36.
Напишем закон распределения составляющей Х: Х х, хз хз Р 0,(6 0,48 0,36 157 таблппа Контроль: 0.16+0,48+0,36 1. Сложна вероятности по строкам, получим вероятвоств возможпвз значевва 'т' Р(ус1=060; Р(у„1 0,40. Напашем заков распределеняя состазлякваеа 1'. Уз Уз Р 0,60 0,40 К о н т р о л ь: 0,60+0.40 = 1. $ 3.
Функция распределения двумерной случайной величины Рассмотрим двумерную случайную величину (Х, У) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть х, у — пара действи- У тельных чисел. Вероятность события, состошцего в том, 1з:у) что Х примет значение, мень» шее х, и при этом У примет значение, меньшее у, обозх начим через Р(х, у). Если х и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и Р (х, у), т.
е. Р(х, у) есть функция от х Рнс. 13 Функцией распределения двумерной случайной величины (Х, У) называют функцию Р(х, у), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у: Р(х, у)=Р(Х(х, У <у).
Геометрически это равенство можно истолковать так: Р (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (Х, У) 158 попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), рас- положенный левее и ниже этой вершины (рис. 13). Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составлиющая Х двумерной случайной величины (Х, У) примет зна- чение Х < 2 и при этом составляющая г' примет значение г' < 3, если известна функция распределения системы (1 х 1'~ у! и !т Р(х, у) = ~ — агс1н — + — ) ° ( — аго(н — + — ). ~п 2 2) (,п 3 2,)' Р е щ е н и е. По определению функции распределения двумерной случайной величины, Г (х, о) =Р (Х < х, г' < у). Положив х=-2, и=-з, получим искомую вероятность Р (Х < 2, г' < 3) .= Р (2, 3) = ~ — агс!я — + — ) Х /1 2 1т ~п 2 2) 3+2) ( 4 2) ( 4 2) 4 4 !В' 2 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины Свойство 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
