Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Значения функции распределения удовлетворяю!и двойному неравенству 0:- Р (х, у) < 1. Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность — всегда неотрицательное число, не превышающее единицу. С в о й с т в о 2. Р (х, у) есть неубываюи(ая функиия по каждолгу аргументу, т.
с. Р(х„у) = Р(х„у), если х, > х,; Р (х, у,) =» Р (х, у,), если у, » у„. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что Р (х, у) — неубывающая функция по аргументу х. Событие, состоящее в том, что составляющая Х примет значение, меньшее х„ и при этом составляющая У < у, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) Х примет значение, меньшее х„и при этом г'" < у с вероятностью Р (Х < х„)' < у); 2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству х, < Х < х„и при этом 1 < у с вероятностью Р (х, < (~ Х < ха), У < у).
1Б9 По теореме сложения, Р(Х<х„У<у)=Р(Х<х„У<у)+ Р(х,(Х <х„У<у). Отсюда Р (Х < х„У < у) — Р (Х < х„1'< у) = Р (х, ( Х < х„У < у), или Е (х„у) — Е (х„у) = Р (х, < Х < х„У < у).
Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому Е(х,, у) — Е(х„у)) О, или Е(х„у)) Е (хо у)„ что и требовалось доказать. Свойство становится наглядно ясным, если воспользовзться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (х; у) (рис. 13). При возрастании х правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в «новый» квадрант, очевидно, не может уменьшиться. Аналогично доказывается, что Е (х, у) есть неубывающая функция по аргументу у.
С во й с т в о 3. Имеют место предельные соотношенияг 1) Е' ( — ою, у) = О, 2) Е (х, — ою) —. О, 3) Е( — ью, — оо)=О, 4) Е(ью, ою)=1. Локазательство. 1) Е( — оо, у) есть вероятность события Х < — ою и У (у; но такое событие невозлюжно (поскольку невозможно событие Х < — ью), следовательно, вероятность этого события равна нулю.
Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при х — — сю правая граница бесконечного квадранта (рис. 13) неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю. 2) Событие 1 < — оо невозможно, поэтому Е (х, — оо) = О. 3) Событие Х ( — ою и У ( — ою невозможно, поэтому Е( — оо, — оо) = О. 4) Событие Х < ью и У ( ью достоверно, следовательно, вероятность этого события Е(«ю, юо) = 1. Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при х — ою и у оь бесконечный квадрант (рис. 13) превращается во всю плоскость хОу и, следовательно, попадание случайной точки (Х; У) в эту плоскость есть достоверное событие.
160 Свойство 4. а) При у оо функция распределения системы становится функцией распределения составлщащей Х: Р(х, оо)=Р,(х). б) При х=оо функция распределения системы спюнавится функцией распределения составляющей У: Р (, у) = Р, (у). Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Так как событие У < оо достоверно, то Р (х, оо) определяет вероятность события Х < х, т. е. представляет собой функцию распределения составляющей Х. б) Доказывается аналогично. й 5, Вероятность попадания случайной точки в полуполосу Используя функцию распределения системы случайных величин Х и У, легко найти вероятность того, что в ез льтате испыта- 1 Р у ния случайная точка попадает в полуполосу х, < Х < <х, и 1' < у (рис. 14,а) или в полуполосу Х<х и у,<Г<у, (рис.
14, б). Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (х,; у) вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (х„' у) (рис. 14, а), получим Р (х, < Х < х„)' < у) = = Р(х„у) — Р(х„у). Аналогично имеем Р (Х < х, у, - )' < у,) = = Р(х, у,) — Р(х, у,). Рис. 14 Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов. ц — 27зО 161 й 6. [вероятность попадания случайной точки н прямоугольник Рассмотрим прямоугольник АВС(У со сторонами, параллельными координатным осям (рис.
15). Пусть уравнения сторон таковы: Х = х„Х = х„г' = у, и 1' = у,. У Найдем вероятность попадания случайной точки (Х; ) ) вэ т пр угольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ с х вертикальной штриховкой (зта вероятность равна Р (х„у,) — Р (хрф ур)) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу Ср/ с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна Р (х„ур) — Р (х„у,)): ! Рнс. 16 1 (х, ~ Х < х„у, ~ )' <, у,) = [Р (х„у,) — Р (х„у,)]— — [г' (х„у,) — Р (х„у,)1. (») Р (х, у) = Ми х в1п р (О л; х ° л/2, О »С р в и/2).
Р е га е н н е. Положив хр — — и/6, хр —— л/2, рр =и(4 рр =л(3 в формуле (е), получнм Р (л(6 < Х < л/2, л/4 < 1' < л/3) = [Р (и/2, и/3)— — Р (рр/6, и/3)1 — [Р (гг/2. л/4) — Р (л/б, л/4Н = = [сап (л/2) в1п (и/3) - в1 и (л/6) в1 п (л/3)1 — [в(п (рг/2) а1 п (и/4)- — в(п (л/6) в1п (и/4)1=[) 3(2- У 3/4] — [[г 2/2 — )Г 2(41= *=(у' 3 — в~2)/4=0 08 162 Прнмер. Найти вероятность попадання случайной точки (Х; У) в прямоугольник, ограннченный прямыми х=л/б, х=л/2, р=л/4. р=л/3, если невестка функцня распределения $7, Плотноеть совместного распределени я вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности) Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения.
Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функции распределения Р(х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка. Плотностью совместного распределения вероятностей 1 (х, у) двумерной непрерывной случайной величины (Х, )") называют вторую смешанную частную производную от функции распределения: дзу(», у) 1(х, У)= Геометрически зту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Пример. Найти плотность совместного распределения 1(к, у) системы случайных величин (Х, 'г) по известной функции распределения ]г(х, у)=з]п ха]п у (О~к~м12, О~у~п12). Р е ш е н и е, По определению плотности совместного распределения, дзр 1(х у) = дк ду Найдем частную производную по х от функции распределения: дг — = соз х Мп у. дк Найдем от полученного результата частную производную по у, н итоге получим искомую плотность совместного распределения: дзу 1 (к.
У) = ~ — = соз х сов у (О аС к С и/2, О ~ у зк п12). кду й В. Нахождение функции распределения сястемы по известной плотности распределения Зная плотность совместного распределения 1 (х, у), Можно найти функцию распределения Р(х, у) по формуле з к Р (х, у) = ) ) 1 (х, у) ]]х с(у, что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х, У).
Пример. Найти фуницню распределения двумерной случайной величины по данной плотности совместного распределения 1 па (!+ха» (1+уа) ° Решение. Воспользуемся формулой у к У (х, у) = ~ ~ /(х, у) «(х ву. — Ф вЂ” Ф 1 - ~а, а--чг ага--а. г(х,у)= — ~ — З ~ — бу= иа .» '» 1+у,) !+ха) =-~ ~ — й ~аго1я х+ — ) 4у=* ~ — агс1К х+ — ) — а =и 3 !+у ~ 2 ) н,) 1+уа ЮЭ аа ~! 1 ~ ~ — агс1я х-»- — ) ~ — агс1иу+ — ».
~и 2) ~н 2). й Э. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности Вероятность попадания случайной точки (Х; ак) в прямоугольник АВС0 (рис. !Б) равна (см. 2 6) Р (х, < Х < х„у, < )" < у,) = [Р (х„у,) — Р (х„у,)1— — [Р (х„у,) — Р (х„у,Ц. Обозначив для краткости левую часть равенства через Рласр и применив к правой части теорему Лагранжа. получим Р....=Р и Ч)ь.йу, где х,< $ <х„Ьх=х,— х,; у, <т» <у„Ьу=уа — у,.
или с д ) Рлвсо (»») Приняв во внимание, что произведение ЬхЬу равно площади прямоугольника АВСР, заключаем: ~($, ~)) есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник АВСР к площади этого прямоугольника, Пере дем теперь в ра- г, ††„-, †, воз »„ „и венстве (»») к пределу при Ьх О и Ьу О. Тогда ц л $ — х, П у и, следова- Рнс. !6 тельно, 1($, и) )(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
