Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 33
Текст из файла (страница 33)
у=!О, у=!5, функцня /(х, у) сохраняет постоянное значение, а вне этого прямо- угольннка она раааа нулю. Найти: а) плотность /(х, у) совместного распределеняя; б) функцню распределення системы. 10,1 внутрн прямоугольника, 0 вне прямоугольника; б) Р(х ) (х-4)(У-10) 10 7. Плотность совместного распределения енстемы двух случайных велнчнн /(х, у)= з з .
Найти: а) велнчнну С: б) функ- С цню распределения системы. /! х !~/1 у 1~ Опы. а) С* б/из; б) Р(х, у)=~ — агс!ц — + — /! ~ — атс!й — + — /1. ~и 2 2/~и 3 2/' й. Двумерная случайкая величина задана плотностью совмест- ного распределения /(х, у)= — е-~ *-ззз-ззз. 3 3 и Найти условные законы распределення составляющнх. ° -(*--") 3, ° Ояы. ф(х(у)=* — е ф (х ! у) == е - ы+ ад'.
У'и )/ и ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Глава пятнадцатая ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД й 1. Задачи матеэвгтнчаской статистики Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных— результатов наблюдений.
Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки отятистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов, Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся: а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, внд которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.; б) проверка статистических гипотез о виде нензвест» ного распределения или о величине параметров распределения, внд которого известен.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора н обработки статистических данных для получения научных и практических выводов, 187 $2.
Краткая историческая справка Математическая статистика возникла (ХУ!1 в.) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина Х1Х вЂ” начало ХХ в.) обязано, в первую очередь, П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову, А. М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К.
Пирсону и др. В ХХ в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В. И. Романовский, Е. Е. Слуцкий, А. Н. Колмогоров, Н. В. Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными. й 3. Генеральная и выборочная совокупности Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого к а ч е с т в е ни о г о или к о л и ч е с т в е н н о г о п р и з н а к а, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, т.
е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов н подвергают их изучению.
Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов втой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 де- 168 талей, то объем генеральной совокупности Ф = 1000, а объем выборки л = 100, 3 а и е ч а и и е. Часто генеральнаа совокупность содержат конечное число объектов.
Однако если ато число достаточно велико, го иногда в целях упрощения вычнслениа, илн для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит нв бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральноК совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается иа результатах обработки данных выборки. й 4.
Повторная и бесповториая выборки. Репреаента тинная выборка При поставлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, ои может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности.
Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть релрезентшпивной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, 189 когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
ф 5. Способы отбора На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида: 1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор. 2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно разлячными способами. Например, для извлечения л объектов из генеральной совокупности объема У поступают так: выписывают номера от 1 до Ф на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е.
карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают и раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема и. Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел»„ в которых числа расположены в случайном порядке.
Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число М, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.
190 Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.
Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно .колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен. Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически»делят настолько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то о«бнрают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.
Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцамн. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных, Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.
Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты. $ й. ч'татистическое распределение выборки Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х, наблюдалось и, раз, х,— и, раз, ха — ла раз и,"д',п,=н — объем выборки. Наблюдаемые значения х; называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,— еариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, з их отношения к объему выборки л,/н = ур,— относительными частотами.
Статистическим распределением еьгборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Заметим,что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике †соответств между наблюдаемыми вариантами и их частотамн, или относительными частотами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
