Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 36
Текст из файла (страница 36)
3 а м е ч а н н е. Мы предполагали выборку повторной. Однако полученные выводы прнменнмы н для бесповторной выборки, если ее объем значительно меньше объема генеральной совокупности. Зто положенне часто нспользуется на практнке. й 6. Групповая н общая средняе Допустим, что все значения количественного признака Х совокупности, безразлично-генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.
Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе. Теперь целесообразно ввести специальный термин для средней всей совокупности. Оби(ей средней х называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности. Зная групповые средние и объемы групп„можно найти общую среднюю: оби(ая средняя равна средней арифмапичесной групповых средних, взвешенной по объемам групп. Опуская доказательство, приведем иллюстрирующий пример. Прямер. Найти общую среднюю совокупностн, состоящей нз ь ~е. дующнх двух групп: Группа ........
первая вторая Значение признака... 1 В 1 5 Частота ......., 1О 15 20 30 Объем......... 10+ 15=25 20+30=50 Р е ш ен н е. Найдем групповые средние: «д — — (10.1+15 5)/25=4; «з = (20. 1 + 30 5)150 = 3,4. Найдем общую среднюю по групповым средним: «=(25.4+50 3,4)/(25+50)=3,6. 3 а м е ч а н н е. Для упрощения расчета общей средней совокупностн большого об1 ема целесообразно разбить ее на несколько групп, найгн групповые среднне н по ннм общую среднюю.
ф 7. Отклонение от общей средней и его свойство Р ассмотрим совокупность, безразлично — генеральную или выборочную, значений количественного признака Х объема а: значения признака частоты При атом ~~~, 'п, = и, Далее для удобства записи знак суммы чч заменен знаком,~,, ~=! Найдем общую среднюю: х =- (~, 'п,х1)/и. «1 хв ''' «» и, п, ...
и„ Отсюда ~'п,х;=ах. (») Заметим, что поскольку х — постоянная величина, то ;Яп,х = х~п,=пх. (»») Отклонением называют разность х,— х между значе- нием признака н общей средней. Теорема. Сумма произведений отклонений на соответ- ствующие частоты равна нулю; ~~~~ ~а, (х, — х) = О. Доказател ьство.
Учитывая (») и (»»), получим ,~„п, (х, — х) =',Р п;х, — ",~ п,х = их — их = О. С л е д с т в и е. Среднее значение отклонения равно нулю. Действительно„ (~,' ие(х, — х))/~~ а, =- О/а = О, Пример. дано распределение количественного признака Х: х, 1 2 3 л, 10 4 б Убедиться, что сумма произведений отклонений иа соответствующие частоты равна нулю. Р е ш е и н е. Найдем общую среднюю: х =(10 1+4 2+6.3)120=1,8, Найдем сумму произведений отклонений на соответствующие частоты' ,%, и; (х, — х) = 1О (1 — 1,8) + 4 (2 — 1,8) + б (3 — 1,8) = 8 — 8 = О. 204 $ 8.
Генеральная дисперсия Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику †генеральн дисперсию. Генеральной дисперсией Р„ называют среднее арифметическое квадратов отклоненйй значений признака генеральной совокупности от их среднего значения х„. Если все значения х, х„..., хм признака генеральной совокупности объема Ф различны, то ун о,-~К о,— *,~ ))к !=1 Если же значения признака х„х„..., х, имеют соответственно частоты Ф„Ую ..., Ф», причем Ф, + + Фэ+ .. +Ф»=Ф, то / » о,-Я м,~„:,,г))», с ! т. е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую1цим частотам. Пример.
Генеральная совокупность задана таблицей распределения х! 2 4 5 6 М! 8 9 10 3 Найти генеральную дисперсию. Решен не. Найдем генеральную среднюю (см. й 3): 8.2+9 4+!О 5+3 6 120 8+9+ О+3 30 Найдем генеральную дисперсию; (уев 8 (2 — 4)з+9 (4 — 4)»+10 (5 — 4)з+3 (6 — 4)з ЗΠ— 54)30 1,8.
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением. Генеральным средним квадратическим отклонением (сгпандарогом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии: о,=г" Р„. й 9. Выборочная дисперсия Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения х„вводят сводную характе- ристику — выборочную дисперсию. Выборочной дисперсией,0, называют среднее арифме- тическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения х,.
Если все значения х„х„..., х признака выборки объема и различны, то / е о. = Я [»,— «.) )1, ! ! Если же значения признака х„х„..., х„имеют со« ответственно частоты п„п„..., йа, буричем и,+и,+ ... +п„=п, то .- (х., *,--*. ))., '«,1 1 т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую- щим частотам. Прамер. Выборочная совокупность аадана таблипей распре- деления к! 1 2 3 4 и, 20 15 10 5 Найти выборочную дисперсию.
Ре ш е н не. Найдем выборочную среднюю (см. 4 4): 20.1+15 2+!О 3+5 4 100 20 -1- 15+ 10+ 5 50 Найдем выборочную дисперсию: 20 (1 — 2)е+ 15 (2 — 2)а+ 10 (3 — 2)»+5 (4 — 2)а «)в = 50 = 50!50 = 1. Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна- чений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристи- кой — средним квадратическим отклонением. Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень нз выбороч- ной дисперсии: а, = $/О,.
$10. Формула для вычисления дисперсии Вычисление дисперсии, безразлично — выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему. Теорема. Дисперсия розна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: с) = х' — (х)». Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость теоремы вытекает из преобразований: ~~>~л! (х! — х)» ~~~~ ~и, (х» — 2«1х+ (х)» 1« л л Х лехс —,,~ Ял !хи —,Я~ л! — — 2х — +~х1» — =х' — 2х х+ ~х1» л л л = х* — (хЯ».
Итак, а= » — 1х)», где х (~~~~ п,х,)/и, х* = (,'Яп,х,*)уп. Пример. Найти дисперсию по данному раслредааенню х! ! 2 3 4 л1 20 15 10 5 Ре щенке. Найдем общую среднюю: 20 1+15.2+10.3+5 4 100 20+ 15+ 10+ 5 50 Найдем среднюю квадратов значений признака х' — 5. 20 1»+15.2'+10 3'+5 4' Нскомаи дисперсии Р = «» — (х)» = 5 — 2» = 1. ф 11. Групповая, внутрнгрупповая,межгрупповая н общая дисперсии Допустил!, Что всЕ значения количественного признака Х совокупности, безразлично — генеральной или выборочной, разбиты на й групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю (см.
ф б) и дисперсию значений при- 207 знака, принадлежащих группе, относительно групповой средней. Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней е)/„р = (,'р, 'л/ (хг — х/)е)/л//, где лг — частота значения х;; / — номер группы; х/ — групповая средняя группы ); М/ — — ~л,— объем группы /. Пример 1. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей яа следующих двух групп: Первая группа Вторая группа хг лг Хг Л/ 2 1 3 2 4 7 8 3 5 2 Д/г = ~~лг = 1О Д/е — — ~~л;=5 Р е ш е н н е. Найдем групповые средние: хг=(~лгх;)/~„лг — — (1 2+7 4+2 5)/10=4; хе=(2 3+3 8)/5=6.
Найдем искомые групповые дисперсии: ))г =(,~~л/(хг — хг)е)//Уг= =(1. (2 — 4)е+7. (4 — 4)е+2. (5 — 4)е)/10=0 6; П,„р=(г (3 — 6)е+3. (8 — 6) )/5=6. Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую. Внуглриерулловой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп: р = (Я /1/(/')(гр)/Л где М/ — объем группы /; л= ~ й// — объем всей сово! купности. Прямер 2. Найти внутригрупповую дисперсию по данным примера 1. Ре ше н не. Искомая внутригрупповая дисперсия равна Венгр = (Д/г/)1гр+ Д/ейетр)/л = (1О 0.6+ 5.
6)/15 = 12/5. Зная групповые средине и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней. Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней: ,(у„, „р — — (~))/ (х/ — х)з)/н, где х/ — групповая средняя группы /'; й// — объем группы /; х — общая средняя; и = Д', й// — объем всей совокупности.
г=! Пример 3. Найти межгрупповую дисперсию по мера 1. Решение. Найдем общую среднюю: ~~ пгх! 1 2 1 7, 4 1- 2. 5+ 2. 3+ 3. 8 ~ч~~ п/ !5 Используя вычисленные выше величины «з= 4, искомую межгрупповую дисперсию: уз (хз — х) з+ уе (хз — х)з ~.~мммгр— л 1О (4 — 14/3)*+ 5 (6 — 14/3)е 8 9 данным при- 14 3 хз=б, найдем 3 а меча н и е. Найденная общая дисперсия равна сумме внугригрупповой к межгрупповой дисперсий: ))ебш = 148/451 Венгр+ г)мема р — !2/5+8/9 = 1 48/45 В следующем параграфе будет доказано, что такая закономерность справедлнва длн любой совокупности. 14 — 2730 Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
