Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 40
Текст из файла (страница 40)
приложение 2) находим! 1,96. Подставив я=80, ш=0,2, /=1,96 в формулы (ечэ) и (ььее), получим соответственно рг=0,128, рз=0,299. Итак, искомый доверительный интервал 0,128 < р < 0,299. Замечание 1. При больших значениях и (порядка сотен) слагаемые Гз/(2я) и (Г/(2п))э очень малы и множитель л/(/э+я) э 1, поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала р — <ъ з — 'ь" Р ~~$ЙΠ— й ° Замечание 2, Чтобы избежать расчетов концов доверительных интервалов, можно использовать табл. 28 книги Янко Я. Математико-статистические таблицы. М..
Госстэтнздат, 1961. $21. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения Можно доказать, что начальные и центральные вмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических 226 моментов того же порядка. На этом основан метод моментов, предложенный К. Пирсоном. Достоинство метода— сравнительная его простота. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в при равнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. А.
Оценка одного параметра. Пусть задан вид плотности распределения ~(х, 6), определяемой одним неизвестным параметром 6. Требуется найти точечную оценку параметра О. Для оценки одного параметра достаточно иметь одно у равнение относительно этого параметра. Следуя методу моментов, приравняем, например, начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: эт = М,. Учитывая, что т, = М (Х) (см. гл. Ч111, й 10), М, = х, (см.
гл, ХЧ11, у 2), получим М (Х) = х,. (в) Математическое ожидание М(Х), как видно из соотношения М(Х)= ) х((х; О)г(х=ф(О), есть функция от О, поэтому (а) можно рассматривать как уравнение с одним неизвестным 6. Решив это уравнение относительно параметра О, тем самым найдем его точечную оценку О', которая является функцией от выборочной средней, следовательно, и от вариант выборки: 6'=ф (х„х„.. „х„). Пример 1. Найти методом моментов по выборке «ь «а, .... «„ точечную опенку неизвестного параметра ь показательного распределения, плотность распределения которого Г(«)=Хе-" (« а 0). Решение. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному змпирическому моменту первого порядка: тт=Мг.
Учитывая, что тг М(Х), М,=«в, получим М (Х) =«в. Приняв во внимание, что математическое оягидаиие показательного распределения равно 1/Х (см. гл. ХП1, й 3), имеем 1гд « . 15* Яйу Отсюда Л = 1/х,. Итак, яскомая точечная оценка параметра Л показательного распределеняя равна величине, обратной выборочной средней: =)~хв. Б. Оценка двух параметров. Пусть задан вид плотности распределения 1 (х; 8„6,), определяемой неизвестными параметрами 6, и 6,.
Для отыскания д в у х и а р а м е т р о в необходимы два уравнения относительно этих параметров. Следуя методу моментов, приравняем, например, начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка н центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка: тд = М„)дд = тз. Учитывая, что тд=М (Х), р, = В(Х) (см. гл. Ч111, 4 10), М,=х„т,= О, (см. гл. Х'Ч11, $ 2), получим М (Х) =х„ В (Х) = О,.
(аз) д(х) е-(х-е)'дзен огйц Ре дне н не. Прнравняем начальные теоретнческне н змпнрнческне моменты первого порядка, а также центральные н змпнрнческне моменты второго порядка: тд = Мь рз «дз. зчнтывая, что тд=М(Х), рз=Р(Х), Мд=хз, лдз=Р„получнм М(Х)=хв, Р(Х) Рв. Математическое ожидание и дисперсия есть функции от О, н О„поэтому (вз) можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными О, и 8,. Решив эту систему относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки О; и 8;.
Эти оценки являются функциями от вариант выборки: О;=дрд(х„х„..., х ), 6; = дрз (х„ х„ ..., х„). ддрнмер й. Найти методом моментов по выборке х„ х„ ..., х точечные оценки нензвестных параметров а н о нормального рас- пределення Приняв во внимание, что математическое ожидание нормального распределения равно параметру а, дисперсиа равна оэ (см.
гл. Х11, $2), имеем: а=х„о =Р,. з й Итак, искомые точечные оценки параметров нормального распределения: аэ=хэ, ов= )/Рэ. 3 а м е ч а н и е 1. Для оценок неизвестных параметров можно приравнивать не только сами моменты, но и функции от моментов. В частности, этим путем получают состоятельные оценки характеристик распределений, которые являются функциями теоретических моментов.
Например, асимметрия теоретического распределения (см. гл. Х11, 9 9) АВ=Рз/оэ=Р /()гР )э есть функция от цснтральных моментов второго н третьего порядков. Заменив эти теоретические моменты соответствующими эмпирическими моментамн, получим точечную оценку асимметрии Аз = гаэ/( г/ щэ)э. 3 а меч ание 2. Учитывая, что г~ щэ —— )гР,=оэ, последнюю формулу можно записать в виде Ав = глз/оээ Далее эта оценка будет принята в качестве определения асимметрии эмпирического распределения (см.
гл. ХЪ11, 9 9). $22. Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие методы точечной оценки неизвестных параметров распределения. К ним относится метод наибольшего правдоподобия, предложенный Р. Фишером. А. Дискретные случайные величины. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х„х„..., х . Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр 8, которым определяется этот закон. требуется найти его точечную оценку. Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение х,(1=1, 2, ..., а), через р(.,:, 8).
Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х называют функцию аргумента 8: /. (х„ х„ ..., х„; 8) = р (х,; 8) р (х,; 8) ... р (х„; В), где х„х„..., х„— фиксированные числа. В качестве точечной оценки параметра 8 принимают такое его значение 0' = О'(х,„х„..., х ), при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценку 0 называют оценкой наибольшего правдоподобия. Функции Ь и 1пЬ достигают максимума при одном и том же значении 8, поэтому вместо отыскания максимума функции (. ищут (что удобнее) максимум функции )пЬ. Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию 1пЬ. Как известно, точку максимума функции 1п.(, аргумента 8 можно искать, например, так: 1) найти производную— В )п(.. 2) приравнять производную нулю и найти критическую точку — корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия); Вз1п 1.
3) найти вторую производную — „,; если вторая производная прн 8=0' отрицательна, то 0' — точка максимума. Найденную точку максимума О' принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра 8. Метод наибольшего правдоподобия имеет ряд достоинств: оценки наибольшего правдоподобия, вообще говоря, состоятельны (но они могут быть смещенными), распределены асимптотически нормально (при больших значениях и приближенно нормальны) и имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками; если для оцениваемого параметра 0 существует эффективная оценка О', то уравнение правдоподобия имеет единственное решение 0', этот метод наиболее полно использует данные выборки об оцениваемом параметре, поэтому он особенно полезен в случае малых выборок.
Недостаток метода состоит в том, что он часто требует сложных вычислений. Заме ча н не 1. Функция правдоподобия — функция от аргу. мента 0; оценка наибольшего правдоподобия — функция от независимых аргументов кь кз...,, к„. Замечание 3. Оценка наибольшего правдоподобия не всегда совпадает с оценкой, найденной методом моментов. Пример 1.
Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра к распределения Пуассона А Рм (Х= к,)= к,! где ш — число произведенных испытаний, кг — число появлений события в ьм (! 1, г, ..., л) опыте (опыт состоит из т испытаний). 230 Решение. Составам функцию правдоподсбня, учнтывая, что е-): д. = р (х,; )д) р (х,; Х) ... р (хдб Ц— л* - д*. - дл*.,-" ад! * ха1 '' х„! хд!ха! ..
х„! Найдем логарнфмнческую функцию правдоподобна: 1п Е = (~~~ х,) 1п )д — пХ вЂ” !п (х,'хз! ... х„!). Найдем первую производную по )д: б!и[ Х" — ~ — = — — и. Напашем уравненне правдоподобна, для чего прнравняем пер. вую производную нулю: (~~у~~ х,,(Х) — л = О. Найдем критвческую точку, для чего решим полученное уравнение относнтельно Х: д=чд х;/л=х . Найдем вторую пронзводную по )д: и~ Ы 2';г д~в Легко видеть, что при д=*х вторая производная отрицательна; следовательно, )д= ха — точка макснмума н, значит, в качестве оценкн наибольшого правдоподобия параметра Х распределения Пуассояа надо принять выборочную среднкво )де=а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
