Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством а, = я2,/а0«, где т,— центральный эмпирический момент третьего порядка (см. $ 2). Эксцесс эмпирического распределения определяется ра- венством г,=и,н4 — 3, где 222,— центральный эмпирический момент четвертого порядка. Моменты 2л, и л2, удобно вычислять методом произ- ведений (см. $4), используя формулы («»«) $3. 250 Пример. Найти асимметрию я вксцесс вмпиряческого распределеиия: ввриаита 10 2 Ю 4 Ю 6 10 8 11 0 11 2 !1 4 !1 6 11 8 Ы 0 частота 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1 Решение. Воспользуемся методом произведений.
для чего составим расчетную табл. 10. Поскольку в 4 4 указано, как заполияются столбцы 1 — 5 таблицы, ограничимся краткими пояснеииями: для заполнения столбца 6 удобно перемножать числа каждой строки столбцов 3 и 5; для заполнения столбца 7 удобно перемножать числа каждой строки столбцов 3 и 6. Столбец 8 служит для коитроля вычислений по тождеству: ~ лг (и!+ 1!' ~ лги7+ 4 ~ лги7-(-6 ~~~~я!иг -(-4 ~~ лгиг-!-л.
Контроль: ~я!(и!+1)а=9141; ;%~ п1иг+ 4 ~~Ял~ лгпг +6 ~~~~ягик+ 4 ~~~~ ~и!и!+и = 4079+ 4.609+6 383+ 4 ° 57+ 100 =* 9! 41. Таблица 10 25! Совпадение сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены правильно, В примере $4 для рассматриваемого распределения было най- дено: Мг=0,57; Мз= 3,83; Ое О,!4, следовательно, оз= г' О!4, Найдем условные моменты третьего и четвертого порядка: М з —— (~~~'„а!и7)/л = 609/100 = 6,09: М з = (~~~~ и !и, )/а =4079/100 = 40,79. Найдем центральные эмпирическне моменты третьего и четвертого порядка: т = !и — ЗМ'И'+ 2 (М') ~ Лз = (609 З,0 57,3 83+2.(057)з).0 2з 0 0007.
те=!Мз — 4МгМз+6 (Мт)' Мз — 3 (Мз)~1 Лз = = (40,79 †4 . 0,57 . 6,09 + 6 (0,57)з . 3,83 в 3. (0,57)з) .0.2 = 0,054. Найдем асимметрию и эксцесс: аз = те/пв = ( — О, 0007)/( )/О, 14)з = — 0,01; еа= т,/и,'— З=(0,054/( г'0,14)з — 3= — 0,24. Замечание. В случае малых выборок к оценкам асимметрии и эксцесса следует относиться с осторожностью и определить точность этих оценок (см.: С ми рное Й.
В. и Дунин-Ба рковс к и й И. В. Курс теории вероятностей н математической статистики. М„еНзукаь, 1965, с. 277). Задачи В задачах 1 — 2 даны выборочные варианты н нх частоты. Найти, пользуясь методом произведений, выборочные среднюю и дисперсию. 1. хГ 1ОЗ 105 107 109 11! 113 115 117 119 121 из 4 7 8 1О 25 15 12 1О 4 5 Отз. хз=!1 19. Ов=019. 2. хг 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 и! 6 7 12 15 30 10 8 6 4 2 Оте. хе=90.72 Эз= 17 20.
3. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределеияя х! 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 и! 5 10 17 30 20 12 6 Оте. аз = — 0,0006, е» 0,00004. Глава восемнадцатая ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ $1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины У от одной или нескольких других величин, Рассмотрим сначала зависимость У от одной случайной (или неслучайной) величины Х, а затем от нескольких величин (см.
$ 15). Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью (см. гл. Х11, $10), либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе величины или одна из них подвержены еще действию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин (под «общими» здесь подразумеваются такие факторы, которые воздействуют и на У и на Х). В этом случае возникает статистическая зависимость.
Например, если У зависит от случайных факторов Уо Я„р„р„а Х зависит от случайных факторов Я„Я„У„ то между У и Х имеется статистическая завйсимость, так как среди случайных факторов есть общие, а имен:г,иг,. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной. Приведем пример случайной величины )', которая не связана с величиной Х функционально, а связана корреляционно.
Пусть У вЂ” урожай зерна, Х вЂ” количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают $ азличиый урожай, т. е. У не является функцией от Х. обьясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и др.). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений, т. е. У связан с Х корреляционной зависимостью. $2. Условные средние В качестве оценок условных математических ожиданий (см. гл. Хгч', р 15) принимают условные средние, которые находят по данным наблюдений (по выборке). Условным средним у„называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений У, соответствующих Х =х.
Например, если при х,= 2 величина ?' приняла значения у, = 5, у,= 6, у,= 10, то условное среднее у„, = (5+ 6+ 10)/3 = 7. Аналогично определяется условное среднее х„. Условным средним хв называют среднее арифметическое наблюдавшихся значенйй Х, соответствующих ?'=у. $ 3. Выборочные уравнения регрессии В гл. Х1Ч, й 15 были введены уравнения регрессии ?' на Х и Х на ?'. М (У ~ х) =1 (х), М (Х ~ у) = «р (у). Условное математическое ожидание М (У ~ х) является функцией от х, следовательно, его оценка, т. е.
условное среднее у„, также функция от х; обозначив зту функцию через 1'(х), получим уравнение Ух=1 (х). Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии У на Х; функцию 1ч(х) называют выборочной регрессией У на Х, а ее график — выборочной линиеи регрессии У на Х. Аналогично уравнение х„«р' (у) называют выборочным уравнением регрессии Х на У; функцию «р' (у) называют выборочной регрессией Х на У, а ее график — выборочной линией регрессии Х на У. Как найти по данным наблюдений параметры функций ~'(х) и «р'(у), если внд их известенР Как оценить силу (тесноту) связи между величинами Х и У и установить, коррелированы ли зти величиныР Ответы на зти вопросы изложены ниже. 254 $4. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по иесгруппнрованным данным Пусть изучается система количественных признаков (Х, г ), В результате и независимых опытов получены п пар чисел (х„у,), (х, у,), ..., (х„, у,).
Найдем по данным наблюдений выборочйое уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии (см. гл. Х1Ч, $20). Для определенности будем искать уравнение у„= йх+Ь регрессии У на Х. Поскольку различные значения х признака Х и соответствующие им значения у признака 1' наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости.
Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так: у=йх+Ь. Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х называют выборочным коэффициентом регрессии 1' на Х и обозначают через р„,; он является оценкой коэффициента регрессии р (см. гл.
Х1Ч, й 20). Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х вида 1'=ре х+Ь. () Подберем параметры ре и Ь так, чтобы точки (х,; у,) (х,; у,), ..., (х„; у„), построенные по данным наблюдейий, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой (э). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность У,— у, (1=1, 2, ..., и), где У,— вычисленная по уравнению (а) ордината, соответствующая наблюдаемому значению х;; у; — наблюдаемая ордината, соответствующая х,. Подберем параметры ре и Ь так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция Г этих из параметров (временно вместо р„„будем писать р): ч Г(р, Ь)- Х (),— у,), 1=! или з г" (р, Ь) = ~~~, '(рх!+Ь вЂ” у,)*.
(= ! Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные: дР— = 2 ~.", (рх! + Ь вЂ” у!) х! = О; др дг ® = 2 ~ (рх; + Ь вЂ” у!) = О. с=! Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно р и Ь"': (~~!„'хз) р+ (~ х) Ь = ~ ху; (~ х) р+ лЬ = ~ч~~ у. («в) Решив эту систему, найдем искомые параметры: р„„= (и ~' ху — „"!,'». ~ч~~ ~у)/(и ч!' х' — (ч!'х)*); Ь = (~,'хз,'Я у — ~ч~', х,'$, 'ху)/(и '!'„хз — (,'%, 'х)з).
(вв) Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на У: х„= р„вх+С, где р „— выборочный коэффициент регрессии Х на У'. Пример. Нзйтв выборочное уравнение прямой линни регресснн )' нз Х по денным п=5 наблюдений: к 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00 у 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25 Решен не. Состзвнм расчетную табл. 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
