Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пример 2. Найти методом наибольшего правдоподобна оценку параметра р бнномнального распределения р. (й) =С"р" (! — р)" ', если в и, независнмык испытаниях событне А появнлось х,=тд раз н в и, незавнсямых испытаниях событие А появилось х,=тз раз. Р е ш е н н е. Составим функцию правдоподобна, учитывая, что О=р: (. = Р (тд) Р (т ) =СвддС""рм'"'"' (! — р)(!"д+"'д !""+""!1. Лд лд 3 «д ид Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: 1п(.=1п(С'„"'С„° )+(т,+т,) 1пр+[(п,+я,) — (т,+тд)) !п[1 — р). Найдем первую пронзводную по р: д(!п (. т,+т, (л,+яа) — (тд+т,) 1 — р Напишем уравнение правдоподобна, дая чего првравняем парную производную нулю' тд+ тз Р Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно р: р = (е, -1- ез)/(л, + л,), Найдем вторую производную по р: па 1и Ь е„+ ез (л, + л,) — (е, + е,) Врз — >в + (1 р)э Легко убедиться, что при р=(ез+ез)((лз+лз) вторая производная отрицательна; следовательно, р=(ег+ез)((лз+лз) — точка максимума и, значит, ее надо прннять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности р биномнальпого распределения: рв = (ег + е,)/(л, + л,).
Б. Непрерывные случайные величины. Пусть Х вЂ” не- прерывная я случайная величина, которая в ре- зультате и испытаний приняла значения х„х„..., х„. Допустим, что вид плотности распределения )". (х) задан, но не известен параметр О, которым определяется зта функция. Функцией правдоподобия непрерывной случайной вели- чины Х называют функцию аргумента О: т.(х„ х„ ..., х„; О) = ~ (х,; О) ~ (х,; О) ...
~ (х„; О), где х„х„..., х„— фиксированные числа. Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного па- раметра распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной величины. Пример 3. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра Л показательного распределения ((х)=Ле ~ (О < х < со), есан в результате л испытаний случайная величина Х, распределен- ная по показательному закону, приняла значения хт, хз, ..., х„. Р е ш е н и е. Составим функцию правдоподобия, учитывая, что В=Л: Ь=~(х,; Л)Г(хз; Л) ...
((х„; Л)=(Ле )(Ле ~') ... (Ле ™~). Отсюда , ),ве-Х~С Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: 1и Ь = л1 п Л вЂ” Л ~", хь Найдем первую производную по Л: о(п Е л -ж--Х вЂ” Х."ь Напишем уравненке правдоподобия, для чего приравияем первую производную нулю: (л/Л) — ~~за х! = О. Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравненяе относительно Л: Л = л/ ~~~~ ~х! = ! Я ~~>~ ~х /л) = 1/х .
Найдем вторую производную по Л: »(з )п/ л »!Лз Лз ' Легко видеть, что при Л = !/хв вторая производная отрицательна; следовательно, Л= 1/хе †точ максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобяя параметра Л показательного распределения надо принять величину, обратную выборочной средней: Л = !/хз. 3 а м е ч а и и е. Есля плотность распределения /(х) непрерывной случайной величины Х определяется двуми нензвестнымн пзраметрамн В» н Вз, то функция правдоподобия является функцией двух независимых аргументов 6» и Оз: Х.=/(х»', Вы Вз) /(хз! Вы Вз) ...
/(хьч Вм 6 ), где х, х...,, х„— наблюдавшиеся значения Х. Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отысканив ее макси- < мума составляют и решают систему Пример 4. Найти методом наибольшего правдоподобия оценки параметров а и и нормального распределения /(х) е-!х-а! /за о У2л если в результаге л испытаний величина Х приняла значения х», хз, ..., х»е Решен не.
Составим функцию правдоподобия, учитывая, что В,=а и В,=о: й==е ! ' 1/ =е ...у 1 — х -а ° за' ! -(хз а)з/зо' о г" 2л о )Гйл -(х„-а)з/эа' ...)( е Отсюда 1 -(~~!~~(х;-а)з/за» па ( т/ йл)а Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: 1 )~~~ !х! — а)з 1п С вЂ” л 1п а+! п ( ~Г2п) 2а' Найдем частные производные по а и по а: д1п Ь,Я~л! — "а д )п Ь п ~(к! — а)' да оз ' до о+ оз Приравняв частные производные нулю и решив полученную систему двух уравнений относительно а и а', получим: а =,я к 1 ~ л = хз; о' = (~я~' (х! - х,)з) ~я = О,.
Итак, искомые оценки наибольшего правдоподобия: ае =хе; ее= У Е)~. Заметим, что первая оценка несмещенная, а вторая смещенная. 9 23. Другие характеристики аариациоиного ряда Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них, Модой М, называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для ряда варианта.... 1 4 7 9 частота . . . . 5 1 20 6 мода равна 7.
Медианой гя, называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т. е. и = 2Ф+ 1, то т, = ха+,! при четном ц= 2Й медиана гл, = (х„+ ха „)/2. Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда 2 3 5 6 7 9 медиана равна (5+6)/2 5,5. Раэмахом варьирования )т называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами: )с=хм,„— х !„. Например, для ряда 1 3 4 5 6 1О размах равен 10 — 1 =9.
Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариацнонного ряда. Средам абсолязо!мым отклонением 8 называют среднее арифметическое абсолютных отклонений: О = (,'~' и, ~ х, — х, !)/~~, 'и,. Например, для ряда х, 1 3 6 16 пс 4 10 6 1 имеем 4 1+10.3+5 6+1 16 80 4. хв — 4+ 10+5+1 20— 1 — 4 !+ Ш 3 — 41+5 6 — 41+1 ° Ш вЂ” 4 ~ 20 в Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики рассеяния вариационного ряда. Коэффициенстсом вариации У называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней: У=о,/хв 100%. Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот нз рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше.
Коэффициент вариации— безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность, например если варианты одного ряда выражены в сантиметрах, а другого — в граммах. 3 а м е ч а н н е. Ваше предполагалось, что вариапионный ряд составлен по данным выборки, позтому все описанные характеристики называют выбороелыни; если вариаиионный ряд составлен по данным генеральной совокупности, то характеристики называют генеравьлынн. Задачи 1.
Найти групповые средние совокупности, состоящей нз двух групп: первая группа... лс 0,1 0,4 0,6 лс 3 2 5 вторая группа... кс 0,1 0,3 0,4 лс 10 4 6 Олы. хз — — 0,41; хе=0,23. 2. Найти общую среднюю по данным задачи 1 двумя способамн: а) объединить обе группы в одну совокупность; б) использовать найденные в задаче 1 групповые средние. Опы. «=0,29. 3. Дано распределение статистической совокупности: хг 1 4 5 а! 6 !1 3 Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.
4. Дано распределение статистической совокупности: хг 4 7 10 15 «1 10 15 20 5 Найти дисперсию совокупности: а) исходя из определения дисперсии; б) пользуясь формулой Р=хз — )х)з. Олгв. О=9,84. 5. Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсия совокупности, состоящей из трех групп: первая группа . .. хг ! 2 8 «1 ЗО !5 5 вторая группа . . . хг ! 6 лг 1О 15 третья группа .. .
хг 3 8 л! 20 5 "«вю р= 4.6! Риемгр= 1! Розин=6 6 6. Найти виутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из двух групп: первая группа . .. хг 2 7 лг 6 4 вторая группа... хг 2 7 л! 2 8 Оагв. Рвегр=5; Рмемгр=1; Робщ=б. 7. Найти выборочную и исправленную дисперсии взриационного ряда, составленного по данным выборкам: варианта...
1 2 5 8 9 частота... 3 4 6 4 3 Ощв: от=8,4; з'=8,84. В задачах 8 — 9 даны среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально распределенного признака. Найти доверительные китервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью. 8. о=2, хе=5,40, а 10, 7=0,95. Ощв. 4,16 < а < 6,64.
9. о=3, х,=20,12, л=25, 7=0,99. Оам. 18,57 < а < 21,67. 10. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно 2. У к а з а н и е. См. замечание 2, 4 15. Ог«в. л= 385.
В задачах 11 — 12 даны еисправленноеэ среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем малой выборки нормально распределенного признака. Найти, пользуясь распределением Стью- денга, довернтельные ннтераалы для оценки нензвестного математнческого ожндання с заданной надежностью. 11.
в = 1,5, «з —— ! 6,8, л = 12, у = О 95. Отв. 15,85 < а < 17,75. 12. «=2,4, хз — !4,2, л=9, 7=0,99. Отв. 11,512 < а < 16,888. 13. По данным 16 независимых равноточных измерений фнзнческой велнчнны найдены х =23,16! я «=0,400, Требуется оценить истинное значенне а нзмеряемой величины н точность нзмереннй о с надежностью 0,95.
Олы. 22,948 < а < 23,374; 0,224 < а < 0,576. 14. Найти доверительный ннтервал для оценкн нензвестной вероятностн р бнномнального распределения с надежностью 0,95, еслн в 60 нспытаннях событие появнлось 18 раз. Отв. 0,200 < р < 0,424. 15. Найтн мегодом моментов точечную оценку вксцесса Е» = тв/пв — 3 теоРетического РаспРеделениЯ. Отв. ел=та/ов — 3 18, Найти методом моментов точечные оценки параметров ж н Р гамма-распределення /(х)= „взГ хне «/Р(а > — 1, () >О, х-вО). У к а за н не. Сделать подстановку р=х/р н. используя гамма- функцию Г (л) = ~ х -'е"хбх, найтн сначала М (Х) *(а+!) (), о Р (Х) =(е+ Ц ()з, а затем приравнять М (Х) хз, Р (Х) =Рз. Отв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
