Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 42
Текст из файла (страница 42)
а«=(хз/Рз) — 1; Р'=Рв/хв. 17. Найтн методом наибольшего правдоподобия по выборке хы х, ..., х„точечную оценку ненввестного параметра () гамма-распределення, еслн параметр сз известен. У к а з а н н е. Йспользовать плотность гамма-распределення, приведенную в задаче !6. Отв. р'=ха/(а+1). Глава семнадцатая МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫ Х ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ 9 1. Условные варианты Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т.
е. в виде вариационного ряда. Равноотстоящилги называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью Ь. 237 Условмылем называют варианты, определяемые равенством иг = (х, — С)/Ь, где С вЂ” ложный нуль (иовое начало отсчета); л — шаг, т. е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба). Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными. Покажем, чтоеслн вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом Ь, то условные варианты есть ц е л ы е ч и с л а. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например х .
Тогда кг — к, кг+ (1 — 1) л — [к1+ (гл — 1) Ь) 7 Ь вЂ” [ — нг Так как 1 и т — целые числа, то их разность [ — гп = и,— также целое число. Замечание 1. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту). 3 а меча н не 2. Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.
Пример. Найти условные варианты статистического распределения: варианты... 23.6 28.6 33,6 38,6 43.6 частоты ... 5 20 50 15 10 Р е ш е н н е. Выберем в качестве ложного нуля варианту 33,6 (вта варианта расположена в середине вариационного ряда). Найдем шаг: й = 28.6 — 23,6 = 5. Найдем условную варианту: и, = (к, — С)дг (23,6 — 33.6)г5 = — 2.
Аналогично получим: и,= — 1, ив=о, не=1, ив=2. Мы видим, что условные варианты — небольшие целые числа. Рааунеется. оперировать с ними проще, чем с первоначальнымн вариантами. $2. Обычные, начальные и центральные ампнрнческие моменты Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться змпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствую- 238 ших теоретических моментов (см.
гл. У111, $10). В отличие от теоретических эмпирические моменты вычисляют по данным наблюдений. Обычным эмпирическим моментом порядка й называют среднее значение й-х степеней разностей х,— С: М„' = (~ч~~п; (х; — С)ь)(п, где х; — наблюдаемая варианта, и,— частота варианты, и = ~~',п~ — объем выборки, С вЂ” произвольное постоянное число (ложный нуль). Начальным эмпирическим моментом порядка й называют обычный момент порядка й при С=О М„= (~~~,'п~х~ь)/и. В частности, М, = (~п,хД(п = х„ т.
е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней. Центральным эмпирическим моментом порядка й называют обычный момент порядка й при С =х, ть = (~~~',и; (х~ — хь)")(и. В частности, т, = (.'Яп, (х, — х,)ь)~п = Оь, (ь) т. е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии. Легко выразить центральные моменты через обычные (рекомендуем читателю сделать это самостоятельно): т, = М; — (М;)', (ьь) т, = М; — ЗМ,'М,'+ 2 (М;) а, та = Ма 4МвМ(+ 6Ма (М1)~ 3 (М1)4. ф 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным Вычисление центральных моментов требует довольно громоздких вычислений.
Чтобы упростить расчеты, заменяют первоначальные варианты условными. Условным эмпирическим моментом порядка й называют начальный момент порядка Й, вычисленный для усИ9 ловных вариант: ~~~~ ~а ий Х~гч ( а ) л В В частности, ь ) 1ГХ"'"~ Отсюда х,=М;й+С. Таким образом, для того чтобы найти выборочную среднюю, достаточно вычислить условный момент первого порядка, умножить его на Ь и к результату прибавить ложный нуль С. Выразим обычные моменты через условные: л; (ху — С)" м' а И а Ж Отсюда М'=М'й . Таким образом, для того чтобы найти обычный момент порядка Й, достаточно условный момент того же порядка умножить на йа. Найдя же обычные моменты, легко найти центральные моменты по равенствам (ьа) и (ам~) предыдущего параграфа.
В итоге получим удобные для вычислений формулы, выражающие центральные моменты через условные: гл — 1М' (М~)й7~а (юа) т, = (М," — ЗМ;М;-)-2 (М;)э1 Ьэ, гл = [М' — 4М;М'+бм;(М",Р— З (М;)4~Ь~. В частности, в силу (яа) н соотношения (а) предыдущего параграфа получим формулу для вычисления выборочной дисперсии по условным моментам первого и второго порядков В,=(М; — (М;)*1 й .
(юнна) Техника вычислений центральных моментов по условным описана далее. ф 4. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии Метод произведений дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящимн вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересуюшие нас начальные и центральные змпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так: 1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке; 2) во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки л) помещают в нижнюю клетку столбца; 3) в третий столбец записывают условные варианты из=(хг — С)/Ь, причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают Ь равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут О; в клетках над нулем пишут последовательно — 1, — 2, — 3 и т.
д., а под нулем — 1, 2, 3 и т. д.; 4) умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения а;и, в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму,'5',п;и, помещают в нижнюю клетку столбца; 5) умноитают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения пгиз в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму ~я~, 'аги,' помещают в нижнюю клетку столбца; 6) умножают частоты иа квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения пг(из+1)з в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, нх сумму ,'Ял;(иг+1)з помещают в нижнюю клетку столбца. 3 а м е ч а н н е 1. Целесообразно отдельно складывать отрнцательные числа четвертого столбца (нх сумму Ат запвсываазт в клетку строки, содержащей ложный нуль) н отдельно положительные 241 16 2730 числа (их сумму А, записывают в предпоследнюю клетку столбца); тогда ~л;иг Аг+А .
э 3 а м е ч а и и е 2. Прн вычислении пронэведеинА «гиг пятого столбца целесообразно числа лгиг четвертого столбца умножать на иг, Замечание 3. Шестой столбец служит для контроля вычислений: если сумма 'Ялг(и!+1)е окажется равиоА сумме ~~~'и!из!+ + 2~~~~~лгиг~-л (как и должно быть в соотиетствин с тождеством 1 лг (и; + 1)э= ч!' лги!+2~~~~ лгиг+ л), то вычисления проведены равнльно. После того как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, вычисляют условные моменты: М; = (,'Я лги!)7л, М3 = (~~~3 ~л,ме)/л.
Наконец, вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам (в) и (авва) 9 3: х Мзй+ С, О, = ~М; — (М;)з~ )гз. Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дясперсню следующего статистического распределеивя: варианты 10,2 10,4 10,6 !0,6 ! 1,0 11,2 11,4 11,6 ! 1,6 12,0 частоты 2 3 6 13 25 20 12 1О 6 1 Решение. Составим расчетную таблицу, длв чего: 1) запишем варианты в первыА столбец; 2) запишем частоты во второА столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца; 3) в качестве ложного нуля выбереи варианту 11,0 (эта варианта расположена примерно в середияе варкацнониого ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащеА выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно — 1, — 2, — 3, — 4, а под нулем — 1, 2, 3, 4, 5; 4) произведеняя частот иа условяые варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму ( — 46) отрицательных и отдельно сумму (103) положительных чисел: сложив зтя числа, их сумму (57) помещаем в нижнюю клетку столбца; 5) произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (333) помещаем в нижнюю клетк столбца; произведения частот иа квадраты условных вариант, увелкченных иа единицу, запишем в шестой контрольиыА столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.
В ятоге получим расчетную табл. 7. К о и т р о л гс ~~>~ ~ягй!+ 2~~~~ ~лги!+ л = 363-1-2. 57-(-100 = 597. ;~, лг (и!+1)з 697. Вычисления произведены правильно. Таблица 7 Вычислим условные моменты первого и второго порядков: М~ = (~ и!и,)lп = 57! !00 = 0,57; Ме = (~а~~ и; и1)/и = 383/100 = 3,83.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
