Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Требуетсн оценить истинное значение изме яемой величины с надежностью у=0,95. е ш е и и е. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Позтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверительного интервала х — /т8/ У л < а < х+/тЯ/ ф' н, покрывающего а с заданной надежностью т=0,95. Пользуясь таблицей приложения 3, по у=0,95 и в=9 каходим (т = 2,31. Найдем точность оценки: /т(з/$~п)=2,31 (5/Рг9) =3,85.
Найдем доверительные границы: х — Гтз/ г' в =42,319 — 3,85=38,469; х+/тз/~л =42,319+3,85=46,169. Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой величины заключено в донерительном интервале 38,469 < а < 46,169. ф 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения о нормального распределения Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально.
Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение а по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению з. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр о с заданной надежностью у, Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Р (~ о — 3 ~ < 6) = у, или Р (з — 6 < о < з+ 6) = у.
Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство з — 6<а<а+6 в равносильное неравенство з (1 — 6/з) < о < з (1+ 6/з). Положив 6/з д, получим з (1 — о) < о < 3 (1+ д). 220 Остается найти д. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хик Х =(в~о) )~.:1, где и — объем выборки. Как было указано [см. $ !6, пояснение, соотношение (эээ)), величина Я'(и — 1)~о' распределена по закону )(' с и — 1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через )(.
Плотность распределения )( имеет вид (см. пояснение в конце параграфа) в -х'(в Я(..)=,,","„" 1, . (ээ) у"-'я' г ~" ) ~з) Это распределение не зависит от оцениваемого параметра о, а зависит лишь от объема выборки о. Преобразуем неравенство (э) так, чтобы оно приняло вид Х, < у < )(,. Вероятность этого неравенства (см. гл. Х1, $ 2) равна заданной вероятности у, т. е. ) М(Ь п)(Х=у.
х, Предполагая, что д < 1, перепишем неравенство (э) так: 1 ! ! 8(1+Я) О 5(1 — ч)' — ( — ( —. Умножив все члены неравенства на 5)~л — 1, получим 1+д о 1 — ч нли Ул — ~ ф~ э — 1 — (у ~-~- —. Вероятность того, что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (э) будет осуществлено, равна т~'"-Т/< ~ — м й(Х, п)(Х=у г ~-!д! 4-и Из зтого уравнения можно по заданным я н у найти д. Практически для отыскания д пользуются таблицей при- ложения 4. Вычислив по выборке з и найдя по таблице д, полу- чим искомый доверительный интервал («), покрывающий о с заданной надежностью у, т. е.
интервал з(1 — О) <о< я(1+О) Пример 1. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема я=25 найдено «исправ- ленное» среднее квадратическое отклонение з 0,8. Найти доверитель- ный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение и с надежностью 0.95. Решен'не. По таблице пряложения 4 по данным т 0,95 и и=25 найдем 4 0,32. Искомый донерительный интервал (е) таков: 0.8 (1 — 0,32) < о < 0,8 (1+ 0,32), или 0,544 < о < 1,056. 3 а меча н не. Выше предполагалось, что у < 1. Если д > 1, то неравенство (з) примет вид (учитывая, что о > 0) 0 < и < з (1+4), нли (после преобразований, аналогичных случаю д < 1) У:1/(1+4) < Х < Следовательно, значения д > 1 могут быть найдены из уравнения Й(ь' ")пХ=У У вЂ” ~/Ы+р1 Практически для отыскания значений д > 1, соответствующих различным заданным л и т, пользуются таблицей приложения 4.
Пример 2. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема «=10 найдено «нсправ- ленноез среднее квадратическое отклонение а=0,16. Найти довери- тельный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,999. Решение. По таблице приложения 4 по данным т=0,999 и я=10 найдем у=1,80 (д > Ц.
Искомый доверительный интервал таков: 0 < о < 0,16(1+1,80), или 0 < о < 0,448. По я сне н не. Покажем, что плотность распределе- ния )( имеет вид (еа). Если случайная величина Х распределена по закону у' с /с=я — 1 степенями свободы, то ее плотность рас- пределения (см. гл. Х11, 3 13) к1Ь/з)" те л/з ~ (х) = "~а/, р) или после подстановки й=п — 1 к(" а»а е 1(х) = 21"-'»'г ( — "') 2 Воспользуемся формулой (см. гл. Х11, 9 10) а (У) = 1 1«Р (Ы)11 Р'(У)~, чтобы найти распределение функции Х=гр (Х)=3~ Х (Х>0).
Отсюда обратная функция х='Ф (Х) =Ха и ар' (х) = 2х. Так как Х > О, то ~ ар' (у) 1 = 2Х, следовательно, ( а)гя а»' е-х'/а а(х)=Р~Й(хН И'(х)1= "„...„, 2х. 21"-'»а г ~"=1) 2 ) Выполнив злементарные преобразования и изменив обозначения (п(х), заменим на 1« (х, и)), окончательно получим а -х"а 11(х. ) = 2(а-а»а Г (~' 1) $19. Оценка точности измерений В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения о случайных ошибок измерений. Для оценки о используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение з. Поскольку обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточиых измерений), то теория, изложенная в предыдущем параграфе, применима для оценки точности измерений.
Пример. По 15 равноточным измерениям найдено «нсправленнаеа среднее квадратическое отклонение «=0,12. Найти точность измерений с надежностью 0,99. Ре ше н ие. Точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением а случайных ошибок, поэтому задача сводится к отысканию доверительного иктервала (е), покрывакяпего а с заданной надежностью 0,99 (см. $18).
223 По таблице приложения 4 по 7=0,99 н я=15 найдем 4=0,73. Искомый доверительный интервал 0,12 (1 — 0,73) < о < 0,12 (1+0,73), нли 0,03 < о < 0,21. 9 20. Оценка вероятности (бнномнального распределения) по относительной частоте Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки. А.
Точечная оценка. В качестве точечной оценки неизвестной вероятности р принимают относительную частоту йг" = т/и, где т — число появлений события А; и — число испытаний *'. Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожидание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М(т)=пр (см. гл. Ч11, 2 5), получим М (%7) = М ~т/п] = М (т)~п = пр/и = р. Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что х)(т)=прд (см. гл. Ч11, 2 6): О (йр) = 1) '(т7п] = 1) (т)~пз = прг()пз = рд/и, Отсюда среднее квадратическое отклонение, ои,— — Ргй((гг) =]~грфл.
Б. Интервальная оценка. Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте. Напомним, что ранее (см. гл. Х11, 9 6) была выведена формула, позволяющая найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения не превысит положительного числа 6: Р (~ Х вЂ” а ( < 6) = 2Ф (6/о), ю Напомним, что случайные величины обозначают прописными, а их возможные значения — строчными буквами. В различных опытах число гл появлений события будет изменяться и поэтому является случайной величавой М. Однако, поскольку через М уже обозначено математическое ожидание, мы сохраним для случайного числа появлений события обозначение гп. где Х вЂ” нормальная случайная величина с математическим ожиданием М (Х) = а.
Если и достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенна нормально, причем, как показано в п. А, М (Ю) = р. Таким образом, заменив в соотношении (а) случайную величину Х и ее математическое ожидание а соответственно случайной величиной Ю и ее математическим ожиданием Р, получим приближенное (так как относительная частота распределена приближенно нормально) равенство Р () Иг — р '! < В) = 2Ф (6/оц,).
(ч!!) Приступим к построению доверительного интервала (р„р,), который с надежностью у покрывает оцениваемый параметр р, для чего используем рассуждения, с помощью которых был построен доверительный интервал в гл. ХУ1, $15. Потребуем, чтобы с надежностью у выполнялось соотношение (ая): Р() Мà — р'! < 6) =2Ф(61о) =у, Заменив оц, через Урд/к (см.
п. А), получим Р (~ ур — р ~ < 6) = 2Ф (6 |Г )Ь~~ц) = 2Ф (г) = т, где 1=6~'п~~ру. Отсюда 6=1) 'р®л и, следовательно, Р () И7 — р ~ < 1 Д рд(п) = 2Ф (1) = у, Таким образом, с надежностью т выполняется неравенство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину %7 заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой и! и подставим 1 — р вместо д): ! — ~!<гГФп — ~й Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим зто неравенство относительно р. Допустим, что в) Р. Тогда — < !'7о='е Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р: Е(/з/и) + 1)3 рэ — 2 ~и + ((э/лЦ р+ шз ( О, Дискриминант трехчлена положительный, поэтому его корни действительные и различные: меньший корень больший корень л Г /з ш(1 — в) / г 1з1 р = — ~ 1и+ — +1 Ге+я ~ 2л л 12л/ 3' + ~ — ~ ~. (»»»в) Итак, искомый доверительный интервал р,(р(р„ где р, и р, находят по формулам (»в») и (»»»»), При выводе мы предположили„что ги > р; тот же результат получим при гп(р.
Пример. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероатностью р появлениа события А и каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценка вероятности р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз. Решен не. По условию, я=80, гл 16, т=0,95. Найдем относительную частоту появления события А: ге = а/я = 16/80=0,2. Найдем Г из соотношения Ф (Г)=т/2=0,95/2=0,475; яо таблице функции Лапласа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
