Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Итак, функцию ~(х, у) можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами Ьх и Ьу) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю. 5 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область Перепишем. соотношение (»») Э 9 так: 1(ь.
Ч) Ьх Ьу= Рлвсо У Отсюда заключаем: произведение (($, П)ЬхЬу есть вероятность попадав ния случайной точки в прямоугольник со сторолх нами Ьх и Ьу. Пусть в плоскости хОу в задана произвольная обРнс. 17 ласть Р. Обозначим собы- тие, состоящее в попадании случайной точки в эту область, так: (Х, )')~Р. Разобьем область Р на и элементарных областей прямыми, параллельными оси Оу, находящимися на расстоянии Ьх одна от другой, и прямыми, параллельными оси Ох, находящимися на расстоянии Ьу одна от другой (рис.
17) (для простоты предполагается, что эти прямые пересекают контур области не более чем в двух точках). Так как 365 события, состоящие в попадании случайной точки в элементарные области, несовместны, то вероятность попадания в область Р приближенно (сумма элементарных областей приближенно равна области Р!) равна сумме вероятностей попаданий точки в элементарные области: и )з ((Х, У")с=Р) ж ~~~~ ~~ ($г, ч)>) Ахну.
Переходя к пределу при Ьх — О и Ьу- О, получим Р ((Х, г') с= Р) = ) ) ~ (х, у) дх ду. (в) ьо> Итак, для того чтобы вычислить вероятность попадания случайной точки (Х; У) в область Р, достаточно найти двойной интеграл по области Р от функции л!>;>! с!Уз>>! ! (х У). Геометрически равенство (а) можно истолковать так: вероятность попадания случайной точки (Х", г) в область „е!ьа> н(Уу:о) х Р равна объему тела, огра; ничеиного сверху поверхноРнс.
18 стью г=) (х, у), основанием которого служит проекции этой поверхности на плоскость хОу. 3 а м е ч а н и е. Подынтегральнае вырансенне /(х, у) Нх>гу называют элементом ве»ояя>нося>н. Как следует нз предыдущего, элемент вероятности определяет вероятность попадания случайной точки в влементарный прямоугольник со сторонами >тх н с>у. Пример. Г!лотиость распределения двумерной случайной величины 1 и'(1+х') (1+у*)' Найти верояткость попадания случайной точки в прямоугольник (рис.
18) с вершинами К(1. 1), Е()~3; 1), М(1; О) и >У()l 3; О). Решение. Искомая вероятность ! Р((Х, У) с-!>)=~ ~ Иха>у= ю> Уз Уз > на,) Г+у~,) !+ха " и' ~ ~,) !+ух о 1 о '1 1 >'и и'> 1 1 и и 1 '= — т ~ — — ~ ° агс!и у ~ = — ° — ° — = —. и ~3 4~ ~ пе 12 4 48' о 5 11.
Свойства двумерной плотности вероятности Сво й ство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: ( (х, у) ) О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами гЪх и Лу есть неотрицательное число; площадь этого прямоугольника— положительное число. Следовательно, отношение этих двух чисел, а значит, и их предел (при Лх О и Ьу 0), который равен ((х, у) (см.
2 9), есть неотрицательное число, т. е. ((х, у)) О. Заметим, что свойство непосредственно следует из того, что г" (х, у) — неубывающая функция своих аргументов ($4). Свойство 2. Двойной несобственный интеграл сбесконечными пределами от двумерной плотности равен единице: Ю Ф ) ((х, у) йхйу= 1. О Ф Доказательство. Бесконечные пределы интегрирования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость хОу; поскольку событие, состоящее в том, что'случайная точка попадет при испытании на плоскость хОу, достоверно, то вероятность этого события (она н определяется двойным несобственным интегралом отдвумерной плотности) равна единице, т. е. Ф Ю ) ~(х, у)г(хг(у=1.
Ф Ф Пример. Задана плотность совместного распределення непрерывной двумерной случайной велнчины (Х, )'): /(х, у)=Ссозх сову в квадрате О~х(я/2, 0(учао/2; вне втого квадрата )(х, у)=0. Найти постоянный параметр С. Решение. Воспользуемся свойством 2, учитывая, что х н у изменяются от 0 до и/2: Ф Ф С ~ ~ созх сову охйу=(. (07 Отсюда е н/а н/а а-~~~ 1 .*ю 1 юе). е е Ваполинв интегрирование, получим искомое значение параметра С=!. $12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины Приняв во внимание соотношения а Р(х, у)= ~ ~ ~(х, у)дхИу (см.
$8), (см. з 4), Р, (х) = Р (х, оо) найдем Е, (х) = ) ) ) (х, у) Нх Иу. Проднфференци рован обе части итого равенства по х, получим -~- — — ~ ~(х, у)Иу, или Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих. Найдем сначала плотность распределения составляющей Х, Обозначим через г,(х) функцию распределения составляющей Х. По определению плотности распределения одномерной случайной величины, Аналогично находится плотность распределения составляющей У: уз(у)= $ Г(х, у)йх. (ев) Итак, плотность распределения одной из составляю- и(их равна несобственному интегралу с бесконечными пре- делами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой соснин!ляюи(ей.
Пример. Двумерная случайная величина (Х, 1') задана плот- ностью совместного распределения / 1/(бп) при хз/9+уз/4 < 1, О при кз/9+уз/4 > 1. Найти плотности распределения составляюшик Х и !'. Р е ш е и н е. Найдем плотность распределения составлявшей Х по формуле (е): яУ3 коз 1 (к)= — г! ФУ= —, г! оУ= — У 9 — хз. бп бп,) 9п $$ч, хпв о Итак, ) 2 У9 — «Ч(9л) при (к) < 3, О при )к),ь 3. Аналогично, используя формулу (ье), найдем плотность распре- деления составляюшей У: у 4 — уз/(2п) прн !у! < 2, О при )у!~2.
Рекомендуем читателю для контроля самостоятельно убедиться в том, что найдепнме функции удовлетворяюг соотношениям /з(к) Фх=! и ) / (у) лу 1. % 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретнык сиучайнык величии Известно, что если события А и В зависимы, то условная вероятность события В отличается от его безусловной вероятности. В этом случае (см. гл. И), 2 2) Р„(В) = Р (АВУ Р (А). (») 169 Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.
Для того чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, введем понятие условного распределения. Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (Х, 1'). Пусть возможные значения составляющих таковы: х„х„..., х„; у„у„..., у . Допустим, что в результате испытания величина 1' приняла значение У=у,; при атом Х примет одно из своих возможных значений: х„или х„..., или х„.
Обозначим условную вероятность того, что Х примет, например, значение х, при условии, что )' = у„через р(х, ~у,). Эта вероятность, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности р (х,). В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так: р (х, ~ д7) ((= 1, 2, ..., п; 1= 1, 2, ..., тп). Условным распределением составляющей Х при 3'=у7 называют совокупность условных вероятностей р(х,1д7), р(х,~у7), ..., р(х„1у), вычисленных в предположении, что событие )'=у7 (1 имеет одно и то же значение при всех значениях Х) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей 1'. Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно, пользуясь формулой (и), вычислить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения Х в предположении, что событие г =у, уже произошло, может быть найден по формуле р (х~ ~ у,) = ~ — 'У') (1 = 1, 2, ..., и). р (у|1 В общем случае условные законы распределения составляющей Х определяются соотношением р(х; ~у7) = р(хь у~)/р(у,).
(а и) Аналогично находят условные законы распределения составляющей У: р(у7~хр) =р(х,, у7)/р(х;). (иии) 3 а и е ч а н н е. Сумма вероятностей условною распределения равна единице. Действительно, так как при фиксированном у7 имеем 170 [см. $2) д р (хо у/) = р (у/). то д=! и и Х р(х!) у/)=;Р;д Р( ! У/)/РЬ/)=РЬ/)/р Ь/)=' д=! Е= ! Аналогично доказывается, что при фиксированном х! ~ РЬ/(хд=( /= ! Это свойство условных распределений используют для контроля вычислений. Пример.
Дискретная двумерная случайная величина задана табл. 4. Таблица 4 Найти условный закон распределения составляющей Х прн условии, что составляющая !' приняла значение у,. Р е ш е н и е. Искомый аакон определяется совокупностью следующих условных вероятностей: р (хд ) уд), р (хз (уд), р (хз(уд). Воспользовавшись формулой (з) и приняв во внимание, что РЬд)=0.60 (см. 4 2, пример), имеем: Р (хд (Уд)=Р (хд, Уд)/Р (Уд)=0,10/О 60= !/6; Р (хз ) Уд) =Р (хз Уд)/Р Ьд) =0,30/0.60= 1/2; Р ("з! Уд) = Р (хз Уд)/Р (Уд) = 0,20/0,60 = 1/3. Сложив для контроля найденные условные вероятности, убедимся, что нх сумма равна единице, как и должно быть„в соответствии с замечанием, помещенным выше: 1/6+1/2+1/3=!. й 14, Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин Пусть (Х, з') — непрерывная двумерная случайная величина.
Условной плотностью др (х ~ у) распределения составляющих Х при данном значении У=у называют отно- 171 шение плотности совместного распределения ((х, у) системы (Х, У) к плотности распределения (з(у) составляющей У: ~Р (х ( У) = 1 (х, УИз (У). (») Подчеркнем, что отличие условной плотности гр(х(у) от безусловной плотности ~, (х) состоит в том, что функция гр(х)у) дает распределение Х при условии, что составляющая У приняла значение У = у; функция же 1, (х) дает распределение Х независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая 1'.
Аналогично определяется условная плотность составляющей У при данном значении Х =х: ф (у ~ х) = 1 (х, у)у~, (х). (»») Если известна плотность совместного распределения )'(х, у), то условные плотности составляющих могут быть найдены в силу (») и (»») (см. $ 12) по формулам: 1р(х1у)=1(х, у)/ $ 1(х, у)с(х, (»»») 'ф(у)х)=~(х, у)/ $ у(х, у)г(у. (»»»») — Ф Запишем формулы (») и (»») в виде У (х, У) = )з (У) <Р (х ( У), 1 (х, У) = (, (х) ф (У ( Х). Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.
Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами: «р (х ) у) ) О, ') ~р (х ( у) г(х = 1; зр (у ~ х) ~ О, ~ ф (у( х) г(у = 1, Ф Пример. двумерная случайная величина (Х, у) задана плотностью совместного распределения 1/(пгз) прн аз+ уз < гз, 0 при к*+уз > г'. " =( 172 Найти условные законы распределения вероятностей составляющнх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
