Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поэтому можносчитать, чтоНс=Н (Х, С) — это и-я группа ко- гомологий комплекса де Рама а (Х). Имеется убывающая по- следовательность подкомплексов а' (Х) = Раа' (Х) =э Р'а' (Х) =~ ... ~ Р»а' (Х) =э Р»~'а' (Х) =э .... Обозначим через Р»Нс образ в Нвс и-й группы когомологнй подкомплекса Р»а'(Х) комплекса а'(Х); тогда имеется убываю- щая последовательность подпространств Нс=Р Нс-эР Нс-э -эР'Нс-э ~ Р~~''Нс -э ... ~ Р Нс -э Рн ' Нс = О, которая называется фильтрацией Ходжа когомологий многооб- разия Х. Но из леммы Дольбо легко следует, что д-я группа когомоло- гий комплекса Р»а'(Х)/Р»~ а'(Х) отождествляется с Н«(Х, Я») (когомологиями пучка Я»). Из фильтрации комплекса а'(Х) подкомплексами Р»а (Х) выводится спектральная последова- тельность Е»Р "=Н«(Х, Я») =»Н»+«(Х; С).
3.3. Предположим, что Х вЂ” проективное многообразие, а потому компактно. Из теории Ходжа гармонических форм следует, что упомянутая спектральная последовательность вырождается на уровне Еь Иначе говоря, обозначим через Н» «(Х, ч.,) (или про- '\ В аептестаеииом смысле. — Прим. перев. т) Если и — комплексное число (или фуякпия, или форма), то через б обоачачается комплексно сопряженное к и. сто Н» «) подпространство в Н~с~«, образованное классами когомологий, представленными формами из а'«. Можно отождествить Н» «с Н«(Х, Я»). Более того, выполнены соотношения (40) Нс = ()-) Н»' «, »-~-«и (41) Р»Нс= Я Н ' г~» (42) Н«'»= Йм" при р+ в = и. Делинь выразил эти свойства словами «фильтрация Ходжа определяет сгруклгуру Ходжа веса и на Нс».
Из предыдущих формул выводится равенство (43) Н» " »=Р»Нс ПР" »Нп поэтому разложение Нс в сумму Н»'' однозначно определяется фильтрацией Ходжа. 3.4. Большое достижение Делиня (Е2) относится к случаю не- компактных алгебраических многообразий. Предположим, что Х вЂ” дополнение к дивизору 0 с нормальными пересечениями в гладком проективном многообразии Х. В нескольких интересных случаях Х возникает естественно; для произвольного Х его существование следует из теоремы Хиронаки о разрешении особенностей.
Поясним предположение о нормальных пересечениях: существует убывающая последовательность Ха:» Х, ~ ....:» Хв алгебраических подмногообразий в Х, где Хс — — Х, Х, =1», Хт имеет комплексную размерность й — 1 и, кроме того, во всех точках Х, ", Х,, = Х, можно найти такую локальную голоморфную систему координат гь ..., гв на Х, что 0 в окрестности х задается уравнением г~ ... г, = О. Для вычисления когомологий многообразия Х используется спектральная последовательность Лере включения Х в Х. Для этого необходимо рассмотреть пучок Н«1'„С иа Х: слой этого пучка в точке х из Х есть индуктивный предел групп Н«(ХД У, ч.,'), где У пробегает открытые окрестности точки х в Х.
Эти пучки вычисляются согласно гипотезе о нормальных пересечениях, так как в точке из Х, пара (Х, Х) ведет себя как пара (ч.,'в, С")с', ')«,( в-т) в начале координат в Са. Делинь ввел фильтрацию дифференциальных форм по их весам. Для каждого целого з из промежутка О: з ( и определим подпространство Ф",+,а" (Х) в а" (Х) следующим образом: это дифференциальные формы степени и иа Х, которые в точке х 7! Обобщенные нкобианы, унилотентные монобромии П. Картье 70 из Х, локально записываются как ба~ бар, (44) са= ~~р а 5 л — 'к ...
к — ', Ц ... 5, Р(" ° ~ 5~ р 5 где формы а.. степени и — э лежат в классе С в окрестрр ... р ности точки х в Х, а система координат гь ..., ги та же, что' и выше. НаКОНЕц, ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ йГееллиС ПОднрОСтранетВО В НС. образованное классами когомологий с представителями из (БУ,+,ал(Х), Весовая фильтрация в Нс — это возрастающая по- следовательность подпространств (45) Ос:(Бт~ис~рул+рисс: ... с:йутл-рИсс %'таис=Но Удобно положить Ф'сис=О при Г < и и йт"рис=Но при 1 > 2п.. Ключевой момент — это то, что пространства )Бтрис зависят только от Х, а ие от вложения Х в гладкое компактное многооб- разие Х. 3.5.
Подытожим ситуацию. Будем писать Н" вместо Н" (Х, л'.)„. аналогично введем Но. а) Нз — коммутативная группа конечного типа; Ь) Но можно отождествить с О Эких, а Нс — с С ЗхНх. Кроме того, на Нс определена фильтрация Ходжа, т. е. убы- вающая последовательность подпространств РРН"„- (при р из л), и весовая фильтрация, т. е. возрастающая последовательность подпространств Чу,и„" (при т из У). Выполнены следующие свойства: с) Существуют такие подпространства ФУ„НО векторного прост- ранства Но над О, что ФР,ис= р,' Эо В",Но (весовая фильтрация определена над полем рациональных чисел); д) положим йг, Нс=УР,Нб1~РУу рий; снабдим это простран- ство фильтрацией, определенной образами подпространств Р«ис П. П иг,ис; тогда Ог~ Нс с этой фильтрацией есть структура Ход- жа веса т в смысле равд. З.З. Именно эти свойства Делинь и выбрал в качестве аксиом смешанной структуртл Ходжа. Ф' л 3.6. Согласно свойству б) из равд.
3.5, пространство Ог, Нс разлагается в прямую сумму подпростраиств НР, е (для р+р7=т). Поэтому размерность й пространства Нс равна )' йр,е, где л л 7т«, — размерность Н, р. В интересующих нас случаях й« =О, кроме как при р(п, с(~п и р+ с>п, Если группа Ог, Нс не равна нулю, то говорят, что вес т входпт в группу когомологий Н"- = Н (Х, С); входить могут только веса и, и+ 1... 2п, Вес и соответствует образу йг Нз гомоморфнзма ограничения из Нл(Х, С) в Н" (Х, С)х Предположим, что Х=Р'(С), а 1)=-(О, оо), т. е. Х=С'. Обозначим через г.( — 1) смешанную структуру Ходжа на Н'(С', С). Выбором в качестве базиса класса когомологий йг/г это пространство отождествляется с 1:, откуда У ( — 1)-=С.
Целочисленные классы когомологий — это целые кратные йг12пгг, откуда следует, что е,( — 1) = (2рй) 'л,. Наконец, в У( — 1) входит только вес 2, йу,г,( 1) =О, йттл,( — 1)с — — С, причем Н',, =С. Другими словамн, е,( — 1) — чистая структура веса 2 типа (1, 1). 4. ОБОБЩЕННЫЕ ЯКОБНЛНЫ 41. Пусть Х вЂ” компактная риманова поверхность рода д. Отметим точку а на Х и базис ссь ..., ае пространства И'(Х) голоморфных 1-форм на Х. Пусть, наконец, Х вЂ” универсальное накрытие Х относительно а.
Определим отображение рра из Х в / 5 5 с*фру 55.(л=(( „., (~): у л— а а с*.„. ((......,(;), °,—, „, р щая через а. Хорошо известно, что Л вЂ” изоморфная г.те дискретная подгруппа в Се. Якобиан У(Х) — это комплексный тор Се/Л, причем можно построить коммутативную диаграмму Х Се Р~ ~Р У Х вЂ” У (Х) аналогичную диаграмме разд.
1.8. 4.2. Можно действовать более общо и более инвариантно, определив многообразие Альбанеэе А1Ь(Х) гладкого проективного алгебраического многообразия Х. Сначала обозначим через р«рл подпространство сопряженного к рт пространства т', ортогональное ср «у, где векторное П. Картье чз Н, = Р 'Н, ~ Р Н,:э Р Н, = О. '1 См.
Квиллен [тэз). пространство У снабжено убывающей фильтрацией подпространствами Р«У. Таким образом в У' получается убывающая филь-, трация, причем пространство Ог«У'=Р«У'/Р«+Жь двойственно . пространству Огг«У =Р «У/Р «У. Аналогичные соглашения мы примем и относительно возрастающей фильтрации (1«"„У)„ Поэтому можно определить двойственную к смешанной структуре Ходжа структуру. На пространстве Н'(Х,С) фильтрация Ходжа описывается как РаН'(Х, С)=Н'(Х, С), Р'Н'(Х, С)=ьг'(Х), РдН'(Х, С)=0. Поэтому на группе гомологий Н1 — — Н~ (Х, С), двойственной к Н' (Х, С), имеется фильтрация Ходжа Теперь многообразие Альбаиезе определено формулой А1Ь(Х) =Н, (Х, Е)(Н,(Х, С)/РоН, (Х, С); пространство Н, (Х, С)/РвН,(Х, С) отождествляется с сопряженным В'(Х)' к пространству ье'(Х).
Выберем базисную точку а ни Х; обозначим через Х универсальную накрывающую Х. Определим отображение ф, из Х в ье'(Х)' формулой (ф,(г), ю)= = ~ ю при ю из Й'(Х); этот интеграл корректно определен, так Я как с[а =О. Переход к факторам определяет отображение <р, из Х в А1Ь(Х)=Н1(Х, У)",Я'(Х)ь. 4.3, Напомним кое-что из теории Малвцева нилвпотентпвис групп'). Предположим пока, что Х вЂ” дифференцируемое многообразие; отметим точку а и положим л =л~(Х; а). Пусть л конечно порождена — это выполнено в случае комплексного алгебраического многообразия. Пусть Сл — групповая алгебра л с комплексными коэффициентами, образованная конечными суммами '„> аяр.
Сопряженное к Сл пространство отождествляется с пространством У (л) комплексных функций иа л. Пусть У вЂ” двусторонний идеал в Сл, определяемый соотношением Х ая = О, откуда Сл/Х=С; пусть Уо=Сл, Л =1, У» =У Х, ...— степени идеала Х. Для любого целого з ) О обозначим через У,(л) ортогональное дополнение Обобщенные янобооны, унннотентные монодромии л 1' ' в У'(л), т. е. множество таких отображений у из л в С1, что <1, (1 — дв) ... (1 — л,))=О при до, ..., д, я= л. Мы определили возрастающую последовательность Уть(л) подпространств в У (л); обозначим через У (л) ее предел. Если л — это группа л.а, то У,(л) состоит из ограничений на с,н полиномов степени «з на [сн, а У" (л) — пространство полиномиальных функций на л.
В общем случае назовем унипотеитнвси ') линейное представление а: л-~ СтЕ(У), где У вЂ” конечномерное линейное пространство над С, если оператор 1„ — а(д) нильпотентен для любого а я л. Теперь У (л) состоит из коэффициентов унипотеитных представлений л. Как обычно, ~(л)ЗУ (л) отождествляется с подпространством У (лХ л) так, что /1 З/в переходит в функцию (йь ка) /~ (й|) Хт(Ят) Теперь можно показать, что У (л)— подалгебра в У (л) (с умножением (Ця) (д)=/,(д)/а(д)), при чем существует такой гомоморфизм с из У (л) в У (л)З ЗУ (л), что с/(рь йя) =7(д1да) при /~У (л) дь чья из л. Другими словами, У (л) — это биалгебра в смысле Бурбаки (некоторые говорят «алгебра Хопфа»).
Обозначим через 6 (С) множество гомоморфизмов алгебры ~ (л) в С; благодаря копроизведению с, на 6 (С) можно определить умножение, превращающее его в группу. Фактически это множество комплексных точек аффииной групповой схемы 6, определенной над Я; значит, можно рассмотреть и подгруппу 0 ((.)) рациональных точек. При каждом целом з ) О У',(л) — конечномерное векторное пространство функций на 6; двойственное к нему пространство отождествляется с Сл/У'+'. Если а — точка из 6 (С), то отображение / э/(а) из У,(л) в С определяет элемент у,(д) из Сл/У'+'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
