Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Отображение а»у,(д) — гомоморфизм из 6 (С) в мультиплнкативную группу (Сл/1'+')" конечномерной алгебры над С; образ у, — унипотентная аффниная алгебраическая группа 0,(С). Так как каждый элемент из 6,(С) имеет вид 1+ и, где и из У/1'"' (и поэтому нильпотентен), то корректно определены экспоненциальное и логарифмическое отображения. Поэтому существует такая подалгебра Ли и, алгебры Сл/У'+' (со скобкой [и, о) = ио — ои), что экспонента отождествляет й, с 6,(С); ясно, что й,— это алгебра Ли комплексной группы Ли 0,(С). В действительности 6, можно рассматривать как ') Здесь появляются еуннпотентные монодромии» нв наавання статьи. Обобщенные нкобионы, унвлотентные монодромии 75 П. )Гартье 74 групповую схему над О, откуда получается рациональная форма о 6; алгебры Ли 6 с 6,=С Зодь Группа 6 (С) — проективный предел групп 6,(С), а ее ал- ' гебра Ли 6 — предел 6,.
Обозначим через Г'л:»Г'л~ ... убывающий центральный ряд для группы л, а через Г'6:» :» Гнб:» ...— для группы 6 =6 (С); обозначим также через Г'6:»Г'6:» ... убывающий центральный ряд алгебры Ли 6 . Имеются изоморфизмы 6,(С)=6„/Г'''6, 6,=6 /Г' '6, Г6 /Г 6 =(Гьп/Г'+п)ЗхС=Гд /Г д Положим 6,(Е) =-л/Г'"1л. Существует естественный гомомор- физм из 6,(Е) в 6,(С), ядро которого — конечная подгруппа 6,(г), а образ — дискретная подгруппа в 6,(С).
В частности, 6,(г',) = Н, (Х; Е), а 6,(С) =Н,(Х; С). 4.4. Опишем явно связи между группами 6. и итерированными интегралами, полученные Челом и Столлингсом. Отметим в Х точку а. Определим следующий вариант комп- лекса Чена Г. Обозначим через И" (Х) для любого целого числа п) О подмногообразие а КХ" Ка многообразия М (Х)= =Х""; получаем симплициальное многообразие М,(Х). Комп- лекс Г,' — фактор комплекса Г; при целом р)О элемент из Го — это последовательность ()ь„)ь >„в котоРой )ь, — днффеРен- циальная форма степени и+р на ак',Х" к',а.
Дифференциал ь(+б из Г," в Гооэ' уже описан формулой (3!) из равд. 2.2. Обозначим через В,Г," для целого з) О подпространство Гоь образованное последовательностями ()ь„)„ь с )ь„= О при и ) з Получается подкомплекс В,Г, в Г,. Итак, пространство Н (Г,) о фильтровано образами В,Н (Г,) групп когомологий Н (В,Г,). Теперь итерированнььй интеграл определяет при любом з~О изоморфизм из В,Но(Г,) на У",(л). 4.5. Вернемся к случаю гладкого алгебраического многообразия Х; будем считать, что оно дано в виде Х',1), как и в равд.
3.4,. где дивизор Е) имеет нормальные пересечения. Говорят, что дифференциальная форма степени и имеет логарифмические особенности, если она лежит в йрь„а" (Х). Во введенных выше обозначениях элемент р=(рь)ьь ...) из Г," имеет логарифмические особенности, если )ь„есть конечная сумма форм вида 1к',ьо,Х ... ...,'к,ь»,к', 1, где ь»ь ..., ь»„имеют логарифмические особенности. Так мы получаем подкомплекс Г; „в Г;. Этот комп- .лекс можно еще и профильтровать подкомплексами В,Г; П Д Г; „= В,Г; „.
Переходя к когомологиям, получаем пространство Но (Г; „), фильтрованное образами когомологий .Но(В,Г; „), обозначаемыми В,Н'(Г; „). Доказательство Чена и Столлингса преобразуется так, чтобы доказать, что итерированный интеграл определяет изоморфизм из В,Но (Г; „) на У, (л) ') 4.6. Полученный результат — ключевой для определения смешанной структурьч Ходжа на л = л1(Х, а). Сначала она была построена Морганом (1)2) с использованием методов рациональных гомотопий, развитых им вместе с Сулливаном; метод итерированных интегралов принадлежит Хейну (РЗ]. При целом п ) О многообразие Х" — дополнение к дивизору с нормальными пересечениями в Х". Значит, на дифференциальных формах класса С на Х" можно определить фильтрацию Ходжа и весовую фильтрацию.
Из них последовательно получаются фильтрации Р и ьт' на Г; „, на В,Г, „, на Н'(Г, „) и на В,Н'(Г; „). Приняв во внимание изоморфнзм из предыдущего раздела, приходим к определению смешанной структуры Ходжа на У,(л). Наконец, перенесем, как в равд. 4.2, эти фильтрации Р и ЯУ на сопряженное к У,(л) пространство Сл//ь+' с помощью двойственности, затем индуцируем их на подпространстве 6, из Сл//ь.ь'. Итак, на алгебре Ли 6, комплексной нильпотентной группы Ли 0,(С) построена смешанная структура' Ходжа. 4.7. Фильтрации Р и Ж' на д, совместимы со скобкой Ли (в очевидном смысле). Поэтому их можно перенести с алгебр Ли на группы.
Подытожим достигнутое: а) для каждого иелого з -» О построена аффинная групповая схема 6, над полем Я; Ь) построена возрастающая последовательность (67„6,)„ групповььх подсхем в 6,; с) группа 6,(С) комплексных точек из 6, — односвязная нильпотентная комплексная группа Ли; поэтому экслоненциальное отображение осуществляет изоморфизм комплексного аналитического многообразия 6, на 6,(С); д) факторгруппа 6,(с,) группы ль(Х; а) ло подгруппе Г'е'л,(Х; а) — нильлотентная конечно порожденная группа; она ') Отметин, что Н (Го)=77 (Ро оХ)=(функции на пь(йа а,"~'))= = (функции на кь (Х, о)).
— 7)ром. еврее. Обобгценные якобианы, унаяогентяыг монодромаа 77 78 77. Картье отображается в 6 (С) гоморфизмом с конечным ядром и дискретным образом; е) построена убьгвающая последовательность (РР6,) з, ком-, плексных подгрупп Ли в 6,(С). Группа пг (Х; а) снабжена смешанной структурой Ходжа именно в этом смысле. То же можно сделать н со старшими гомотопическими группами п;(Х; а) — с теми упрощениями, что это коммутативные группы конечного типа, и потому к ннм применимы определения Делиня нз равд. 3.5; зто сделано н Морганом [02], и Хейном [Р2[, у каждого своим методом.
Укажем также, что Хейн и Цукер [Р5[ дали характеризацию. смешанной структуры Ходжа на пг(Х;а) на языке «вариаций смешанных структур Ходжа». Это тема важна для изучения «модулей». 4.8. Общее определение многообразий Альбанезг дано Хейном и Цукером в [Р5[. Положим А!Ь, (Х) = 6, Д)6,(С)/Рвб, (С). Заметим, что комплексное аналитическое многообразие 6,(С)/Роб,(С) односвязно, а фактор группы 6,(гг)=я/Г' п. по ее (конечной) подгруппе кручения действует свободно и строго на 6,(С)/Рвб,(С). Если Х вЂ” гладкое проективное многообразие, то многообразие А!Ь(Х), определенное в равд.
4.2, получается как частный случай при з = 1. Положение сильно упрощается в случае, когда все голоморфные дифференциальные 1-формы на Х нулевые (й'(Х) = 0); так получается, например, если Х вЂ” дополнение в проективном пространстве Ра(С) к гиперповерхности с нормальными пересечениями (случай, подробно изученный Аомото и Коно [О1, О4,. 661 ). Предположим, что, действительно, ьг'(Х) =О. Тогда Ро6,=0, откуда А1Ь,(Х) = 6,(У)16,(С). Нам нужно описать алгебру Лн й,. Обозначим Ы(Х!ой6) пространство йа(Х)П %"в аа(Х) голоморфных дифференциальных форм степени р на Х с логарифмическими особенностями вдоль О. Этн формы замкнуты, откуда получаем гомоморфизм с: а (Х!ойВ) Н (Х, С), который биектнвен при р = 1 и ииъективеи при р = 2.
Внешнее произведение форм определяет линейное отображение б, из: /' вй' (Х 1од 6) в вгв (Х !оп 6); отождествив сопряженное к. й'(Х !од 1)) пространство с Нг = Н~(Х, С ), получаем, что сопря- женное к бв отображение переводит ьав(Х1ойГг)' ВЛвНг., обозначим его образ через Нв. Рассмотрим свободную алгебру Ли .У(Н1), построенную по векторному пространству Н~., она естественно градуирована подпространствами Ы,(Н,); имеем У,(Н,)=0, Ы,(Н,)=Н,, У,(Н',)=ЛН,. Теперь й, отождествляется с фактором .У(Н1) по идеалу, порожденному йв+ Ж+г(Н1). Так как Н1 и й'(Х!ой6) двойственны, в й'(Х!ой0)8 Н, имеется каноническая дифференциальная форма. Ее можно интерпретировать как голоморфиую дифференциальную форму с коэффициентами в алгебре Ли й„причем 8, вложена в ассоциативную алгебру Ся//'+'. Тогда в, удовлетворяет условию интегрируемости дв, + вв А в,= 0 благодаря определению Яв.
Теперь можно начать привычную игру: а) рассмотреть универсальную накрывающую Х многообразия Х относительно а; Ь) если у †пу в Х с началом а и концом 8, вычислить параллельный перенос с помощью ряда 1/,(у) = ~~ ~ в, ... в,; н~о т с) условие интегрируемости г(в, + в,л в,= 0 гарантирует, что Н,(у) зависит лишь от соответствующей точки из Х, откуда получаем голоморфное отображение (/, из Х в Сп//г+'1 г() отображение г/г принимает значения в 6,(С) иопределяет (переходам к факторам) голоморфное отображение и, из Х в его многообразие Альбанезе А!Ь,(Х)= 6,(г.) 6,(С). По поводу конструкции в общем случае, когда Я'(Х) — не нуль, отошлем к работе Хейна и Цукера [Р5[. 4.9. Предоставляем читателю изучить в качестве иллюстрации случай Х=Р'(С) и восстановить в этом частном случае конструкции равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
