Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Т )=(То .. 1~-1 12 1», ..., Т„) (12 повторен); (30) з (Ге.. ° ° "~+Э=(Го . ° Гь Тьтм, Т„.ьт) (т,~, опУЩен). Сиипяициа,«оное множество Š— это контравариантный функтор из м> в категорию множеств; аналогичны определения симплициальной группы, симплициального многообразия и т, д. Можно описать Е, задав последовательность множеств Егь Е„Е„...
с отображениями грани ьь: Е.- Е. 1 и вырождения зб Е„- Е„~, при 0 «= ь < и, удовлетворяющих соотношениям, которых мы не будем здесь повторять. Косииплициальное множество — это ковариантный функтор из 1г); он описывается последовательностью множеств Ее, Е', Ее, ... с отображениями грани»Т'; Е"-'- Е" и вырождения з': Е ~'- Е' при 0 = 1< и. 2.2. Пусть Х вЂ” дифференцируемое многообразие, скажем, класса С . Классическая конструкция ставит в соответствие Х симплицнальное множество С. (Х), которое в степени и состоит из множества С„(Х) непрерывных отображений Аи в Х (сингулярных симплексов).
Мы используем геометрический вариант кобар-конструкции; косимплициальное многообразие М (Х) состоит из многообразий М" (Х) = Х"+' и операторов аи и з', определяемых формулами (29) н (30) соответственно. Для днфференцируемого многообразия У обозначим через аа(у) пространство внешних дифференциальных р-форм на у, а через ь(: аа(У)- ао+'(У) — внешний дифференциал. Возвращаясь к многообразию Х, свяжем с ним бикомплекс С (в «четвертом квадранте») с С ' "=а (Х"" ) при яч) О, и ) О.
Два дифференциала — это, с одной стороны, внешний дифференциал ь(, отображающий С ' " = а (Х" ) в С ~ ' "=а + (Х"~ ), а с другой — комбинаторный диф ференциал б нз С ' " = а'" (Х"'") в С"' "+' = а" (Х" ) П. Картье « »н(йч) „(через(йь)*р обозначен обрат« переводяшии 1ь в й б з п и отображении йь изХ«ь в Х ~ ).
Обозначим через ны о раз 1ь при Г ассоциированный комплекс. Элемент из à — э тельность 1ь =(1ьь, 1ьь ...), гДе 1ь„— диффеРенциальнаЯ фоРма степени и+ р на + Х"+'; его дифференциал — это последовательность т=(т„чо ...) из Г», описываемая формулой «»-~ , = йр + Е ( — 1)"+ ь (й')' 1ь ь-о (31) Этот комплекс называется комплексом Чена. Если я и 6 — две дифференциальные формы на Х, обозначим через а* и фор. р ф му и'а л и 3 на Х-", где и, и пь — проекции Х' на Х. Аналогично определяется аХ 6)«, у на Х' и т. д.
КомпР (Х) — дифференциальная градуированная алт яется гебра; бар-коиструкция, примененная к а'(Х), отождествля с подкомплексом Г', образованным последовательностями, в которых каждое р«р . а лагается в конечную сумму мономов вида яо Х ... р, 'я +ь приче м р обращается в нуль для достаточно больших и. 2.3..Пространство УХ путей в Х состоит из С"-отображений у: = (, 1]-Р Х. Хоть это и ие многообразие, но касательный к УХ в и ти у вектор можно определить как С -подъем $ пути у в ка- У Х ( ными словами, Ц1) — касательный и вектор к Х в точке у(1)). Поэтому определено касательное некто нос пространство к УХ в у. Значит, внешняя дифференциальна УХ вЂ” это антисимметрическая полилииейная п ост анства Пусть 5 — дифференцируемое многообразие, а ф — отображение класса С из 5 ХУ в Х; свяжем с ним отображение Ф из 5 в УХ, заданное формулой Ф(е) (1) = ьр(е, 1).
Легко понять, что что ы — форма (слабого) класса С, если все формы вида Ф"ьо б дут класса С . Теперь можно определить комплекс де Рама а (УХ) так, что Ф': а (УХ)- а'(5) всегда будет совместимо с дифференциалом. случае р =О мы получаем определение функции '( б о) ласса С на УХ; ее дифференциал в . В частном случае р = — элемент из ' ела ог к ф нкционала а'(УХ) есть не что иное, как вариация бР(т, ч) фу г"( ) в смысле вариациоиного исчисления.
17 Обобщеннне якобеонн, унонотентнне но« зрении 2.4. Отерированный интеграл — это гомоморфи м у изм комплекса Чена Г' в комплекс де Рама пространства УХ. Для любого целого и ) О рассмотрим отображен Ь ения „ из Х в Х , переводящее (у,1ь ..., 1,) в точку (у(О), у(1,), ..., у(1,), у(1)) многообразия М"(Х) = Х"ьь. Слегка обобщив подход из равд. 2.3, можно определить днффе енциальные формы на УХАЛ«.
Будем считать известной процедуру частичного интегрирования (или взятия прямого образа), сопоставляющую дифференциальной форме Л степени и+ р на 5ХЛ' р-форму Ь= ~ Л на 5. Так как в УХ можно отобра« жать (настоящие) многообразия 5„эта процедура обобщается на дифференциальные формы на УХХ Л". П усть теперь р=(ро, рь ...) — элемент из Го. Для каждого и ) О на УХк,Л" определена дифференциальная форма Ь„р, степени и+ р. Положим 1(р) = ~ ~ Ь„')ь; если ряд сходится, «>о л« то это — р-форма на УХ. Если элемент т=е1р+Л1ь из Го»' определен по формуле (31), то Ы(р) = »'(т). Более привычен следующий вариант: зададим п дифференциальных форм яь ..., я„степени 1 на Х и положим 1ь„=1Х )»',я~К ... Хя«)»',1, а р =О при тФп.
Мы получаем элемент и из Го; У(и) будет функцией класса С на УХ, значение которой в у Чен обозначал ~ а, ... а„. Ясно, что итерированные и нтегралы из разд. 1.6 — частный случай этой конструкции. т 2.3. Фиксируем две точки а и Ь на Х. Обозначим че У, Х п ост а м через «, ь оп е р ранство путей с началом а и концом Ь. Предшествую р деления можно модифицировать, получив комплекс Чена вующие Г; ь и итерированвый интеграл У«ь: Г; ь- а'(У, ьХ). Фундаментальная теорема Чена (С11 утверждает, что когомологии комплекса Г; ь совпадают с сингулярноеми когомологиями пространства путей У, ьХ, по крайней мере если Х вЂ” компактное односвязное многообразие.
В частности, при а =Ь получаются когомологии пространства петель многообразия Х. 2.6. Другая область приложений касается 'определения многозначных функций через итерированные интегралы. Если а и Ь— две точки из Х, то обозначим через П,ьХ множество линейно связных компонент пространства У,,ьХ; в частности, П...Х— это фундаментальная группа п~(Х, а) пространства Х. На самом деле можно определить факторпространство ПХ пространства З втрое«е О, Картье.
йр = ~~' ььцр при 1 (~! ~~бь. ! ! Параллельный перенос выражается формулой (35) П(у) = ) ~ьь... ьь (и множителей ьь), »~О т где у — произвольный путь (обобщение равд. 1.6). Другими словамн, отображение у «.П(у)=(Пц(у)) нз т-Х в ( ) задано посредством формулы ЕУц —— 1 (ььц), где ььц (ььц, о ььц „...) — элемент из Гь, пРичем (Зб) Йц, „= Е, 1Хььн, Хьь! !.Х . Хьь! .Х1. Условие интегрируемостн системы (34) записывается клас- сически в виде ь(ьь — ььл а= О, нли, точнее, (37) 4(иц г' ьь/ь б ььь! = О. ь-! (34) эьХ, накрывающее ХХХ со слоем Пы ьХ над точкой (а, Ь) из Х)(Х (группонд Пуанкаре Х).
Отметив на Х точку а, можно реализовать Х вЂ” универсальное накрытие Х вЂ” как подмногообразие в ПХ, точнее, объединение П,,ьХ, где Ь пробегает Пусть теперь и =(рь, 1ы, ...) — элемент из Гь; иными словами, р„— дифференциальная форма степени и на Хиьь. Тогда 1(р)— функция на УХ; она опускается до функции г на ПХ тогда и только тогда, когда ее ограничение на т, ьХ локально постоянно прн фиксированных а и Ь. В дифференциальной форме это описйвается как система уравнений » (32) аьь + л ( — 1) (а')" р„,=О.
! 1 В случае когда необходимо сосчитать дифференциал ь(т, формулы (3!) и (32) можно скомбинировать: д7(1»)=! (ч), где (33) ч.=( — 1)" [аг) р., — [Ы"') р.. Зафиксировав точку а на Х, функцию г" можно ограничить до функции Р на Х вЂ” универсальной накрывающей Х.
Это будет многозначнол !руин!(ия на Х, соответствуюи(ая р. 2.7. Настало время вернуться к монодромии. Пусть ьь=(кч!)— матрица размера т)(т из дифференциальных 1-форм на Х. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений ь(т = ььР или, более явно, Обобщенные лкобиииы, уиииотентные яонодримии Для того чтобы матрица П(у) для пути с фиксированными концами а и Ь зависела только от класса гомотопии [у] пути у, необходимо и достаточно, чтобы формы П!!т удовлетворяли условию (32).
Простое вычисление показывает, что это эквивалентно условию интегрируемости (37). Если оно выполнено, то после выбора фиксированной точки а представление монодромиями М: я,(Х, а)- 67. (С) дается формулой М([у])= П(у), 2.8. Введем алгебру АР=С(Т!, ..., ТР) полиномов от некоммутируюших переменных Т!, ..., Тр. Наименьшее векторное подпространство А„содержащее переменные Т!, ..., Т, и стабильное относительно скобки [и, о] = ио — ои, называется свободной алгеброй Ли Ы .
Существует гомоморфизм алгебр с: А» — ~- А Э А, характеризуемый свойством с(Т;) = Т; Э 1+ 1 Э Тн причем 2' состоит из элементов и нз АР со свойством с(и)= = и Э 1+ 1 Э и. Рассмотрим также алгебру Ар=1:((Т!, „, Тр) т формальных рядов от Тъ ..., Т, и замыкание ьс алгебры Ли .йр в А; л!р характеризуется аналогично Ы (обо всем этом см. Бурбаки [А2, гл. 2]). Пусть а!, ..., а — дифференциальные 1-формы на Х, и пусть ьь = Т!а, + ... + Т,ар. Возвращаясь к формуле параллельного переноса (35), мы приходим к определению формального ряда ьы — Г г (1,,...,).т ! >ь !г ..., ь„ь,т суть 1-формы на Х Дли каждого пути у выполнено условие «перетасовывания» 3~! '"" 3" "Иы+.=~ ~Р,<,! "Рь<,„,, где о пробегает множество тех перестановок из 5 „„, которые возрастают на интервалах [1, ьп] и [пь+ 1„т+ и].
Геометрически это отвечает разбиению А )(А" на симплексы, Этого уже достаточно для обоснования соотношения с(П(у) ) =1/(у) Э(7(у), обозначающего, что ряд 1оп П(у) лежит в алгебре Ли Уь (об этом см. [С4]). 3. ИИТЕРЛЮДИЯ! ТЕОРИЯ ХОДЖА ЗА. Начнем с нескольких обозначений. Пусть Х вЂ” гладкое (т. е. без особых точек) комплексное алгебраическое многообразие, а й — его комплексная размерность. Введем различные пространства дифференциальных форм: П.
Картье Обобщенные ннобианы, унипотентныв монодромии а" (Х) — дифференциальные формы степени и') класса С; Я" (Х) — голоморфиые дифференциальные формы степени и Р»а (Х) — формы, локально разложимые в конечную сумму форм вида ил 5, где а голоморфна степени р, а 3 есть С- форма степени п — р; а» «(Х) — формы, локально разложимые в сумму членов )алр, где 1 С -функция, и голоморфна степени р, а 1) голоморфна степени да). Естественно, Х можно заменить на любое его открытое под- множество, поэтому определены пучки а", Я", Р»а", а» «, Если бг' — один из этих пучков (за исключением Я"), то Н'(Х, ~) = О при любом целом 1) О. 3.2. Для таких пространств, как Х„существуют тождества между сингулярными когомологиями и когомологиями Чеха и де Рама.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
