Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Картье 58 морфно Х, то оно является комплексным аналитическим много- образием размерности 1, поэтому на нем существуют две голо- морфные функции 1!'ь главные ветви 0» ° з которых совпадают' т гт! (8)т (на Я) с иь (где !г=1,2). Положим(7(г)=.~ ). В этой си'!.гт,(д)) туации существует такое линейное представление М: Г- ОЕ«(С), что (8) 0(уй)=М(у)0(й) (йенХ, у~Г). Так как à — свободная группа, то представление М определяется по матрицам М(уо) и М(у!), т. е. не по чему иному, как по Мо и М!. Монодромия у Римана выражалась соотношением (8), откуда и возник термин представление монодромиями на М.
Нетрудно связать мостом точки зрения Куммера и Римана. Различные «ветви» иь,„функций иь определяются формулой и (г) и (г) где ген !2, а уев Г. Условия согласования выводятся из соотно- шений (6) и (6): (1О) и (Г+ оО) =итт,(à — !О) ДлЯ Г~ 7о; (11) и . (à — ьО) = и» в (Г + ьО) для ! ~ 7!, Таким образом, гипергеометрическая функция и, (г) =Р(а, Ь; с; г) многозначна; но ее ветви, как и ветви функций г или !опг, есть линейные комбинации конечного числа функций. Такие функции называют конечно определенными, 1.4. Предыдущие результаты можно обобщить на все линейные дифференциальные уравнения с рациональными коэффициен- тами. Как известно любому студенту, линейное дифференциаль- ное уравнение сводится к системе первого порядка, которую мы запишем в виде (12) ЮР (г) = )1(г) Р (г).
Неизвестное здесь — это столбец Р,(г) Р (г) = Р (г) решений, а к(г) — квадратная матрица порядка и, рационально зависящая от г. Регулярный по Фуксу случай отвечает дифференциальной форме Я(г)дг с полюсами первого порядка (в том числе в оо). Пусть а!, ..., аь — конечные полюсы, а А!, ...,А,— такие постоянные матрицы, что !г(г) — А;/(» — а!) не имеет по- Х(Г) =Х(го) + ~ А(з)Х(з) дз; (! 4) оно решается итерациями: положим Х, (Г) = Х (Г ) и при и ~ О ! (15) Х „! (Г) = Х (Го) + $ А (з) Х„(з) де; ь, предел Х(!) функций Х„(г) существует и удовлетворяет уравне- нию (14). Более явно, решение находится в виде Х(г!) = =П(Г!,Го)Х(Г«); матрица 0(Г! Го) дается рядом Дайсона (16) О(Г„Го) = ~~ ~ ... ~ А(з„) ...
А(з,)дз! ... Ыз„, ь,"ь О где и-кратный интеграл берется по области Го (з «с ., «з ( (Г вал о ! ° ° зь 1.6. Лаппо-Данилевский дал аналогичную формулу в комплексном случае [Аб]. Для инвариантности рассмотрим комплексное аналитическое многообразие Х размерности 1 и универсальное накрытие Гл Х-ьХ многообразия Х.
Пусть о! =(оь!;) — матрица размера и,'ьо', л из голоморфных дифференциальных форм на Х Дифференциальное уравнение принимает вид (17) йР=оь Р. люса в г = ар Положим Х = С",(а„..., а»). Фундаментальная группа Г пространства Х свободна и имеет образующие у!, ..., ум где у; соответствует дуге, обходящей а; в положительном направлении. В представлении монодромиями М(у;) о«1л — 1 имеет вид О!е !О! (обобщение случая п=!, в котором получаются функции г'). Прямая задача — явное вычисление матриц М(у,), как в случае гипергеометрической функции. Обратная задача, известная как задача Римана в Гильберта, нли 21-я проблема Гильберта — показать, что любое линейное представление группы Г есть представление монодромиями регулярного в смысле Фукса уравнения вида (!2).
Она решена Д. Биркгофом и Плеймелем, а также в более общем виде Делинем в (Е!]. 1.5. Рассмотрим теперь систему линейных дифференциальных уравнений в вещественной области вида (13) дх (г)/дг = А (г) х (1). Процедура Пикара состоит в переписывании (13) в виде интегрального уравнения 6! Обобщенные ннобиины, унинотентные монодромии П. Картье Если го и г1 — две точки из Х, а а — голоморфная дифференцие1 альная форма на Х, то корректно определен интеграл ~ а. Итет «1 ~а ...
а,=~ал ° 1, (18) где функция ) на Х задается формулой е (19) )(г)=~а„, ... а,. Более явно, выберем путь у: (Ь„Ь,)-ьХ с концами г, и г, положим у'ае = а, (1) е(т. Тогда е~ (20) ) а„... а,=~ ... ') а„(з„) ... а,(з,)йз, ... йз„, где область интегрирования та же, что и в формуле Дайсона.
Это означает, что дифференциальное уравнение аг =таР решается с помощью формулы р(г~) = у(гь ге)р(го), где матрица У(гп ге) дается формулой е1 (~ (го ге) = „) ~ ео ... ео л~ь е '(а множителей ео), где определение (20) обобшено на матрич- ные функции. 1.7. Унипотентный случай — это случай, когда ряд (21) имеет только конечное число ненулевых слагаемых. Вот типичный пример: (Оа, 0 0 а, «о = 0 а„ ,о 0 рированный интеграл ~ а ... ао где аы ..., а„— голоморфные; дифференциальные формы иа Х (или на Х), определяется рекуррентно как Соответствующая матрица У определяется условиями (23) и» вЂ” — 0 при 1)1, ии — — 1, и»(г,, гь) = ~ ае...
а;, при е'(!. е0 (24) ~а, ... а =~ ~а, ... ат (~ат, ... а„; 1-о е, его можно также доказать разбиением области интегрирования. 1.8, Интересен случай, когда Х вЂ дополнен в 1.' конечного подмножества (аы ..., а„), причем ее; = с(г/(г — а;) . Функция а, ... а„голоморфна на универсальной накрывающей прои странства Х; это — полилогарнфм й(г~а» ..., а ), рассмотренный уже Лаппо-Данилевским. Он лежит в основе разложения в ряд «восстановимыхь функций Экаля; аналитическое продолжение полилогарифма и его монодромия исследовались Блохом и Рамакришнаном, а более полно — Дюпоном (НЦ. Объясним их методы на примере дилогарифма.
Рассмотрим матрицу из дифференциальных форм 0 аз/г 0 оь = 0 О йг/(1 — г) 0 0 0 (25) Определим иа рассеченной плоскости ье (см. разд. 1.1) матрицу 1 1од г 1.1, (г) и (г) = 0 1 )оп 1/(1 — г) 0 0 1 (26) удовлетворяющую уравнению йи = еои. У логарифма берется главная ветвь, а дилогарнфм 1.1,(г) определяется аналитическим продолжением ряда ~ г"~не, сходящегося при )г~(1. Обое~1 значим через ст(О) комплексную группу Ли матриц вида с ! а Ь| о ! е ), а через 6(л,) — ее подгруппу, определенную как о о Уравнение резольвенты й'(гмго)= У(гь г~)0(гы го) можно пе- ' реписать как фундаментальное соотношение П.
Картье 62 Обобщенные якобиииы, унинотентные монодромии 63 г(Ц К(2),, О ! у(ц). следуя обозначениям Делиия, мы положили О О 1 7 (р) =(2пь)аг.. В обозначениях равд. 1.3 существует коммутатнвная диаграмма Х вЂ” «6(С) Х вЂ” 6 (С)16 (У) где 6 и У голоморфны, а и — главная ветвь 6 ° з функции У. Монодромия дилогарифма полностью описывается этой диаграммой; представление монодромиями становится гомоморфизмом М: Г-ь.
6(С) с образом 6(г,). Эта конструкция обобщена Паршиным [СЗ]. Рассмотрим С как векторное пространство над С; обозначим через Л ~ОС внешние степени этого векторного пространства. Опре- 2 делим отображение»р из 6(С) в ЛоС как 1 а Ь (27)»р 0 1 С =(2ж) '(2Ь вЂ” аС) А1 — (2п1) 'аЛ(2ж) 'С. 0 0 1 Это отображение спускается на фактор 6(С)/6(е,) как отображение Ф из него в ЛОС; отображение Ф ь У из С '~ [О, 1] в ЛОС было определено Блохом. Волее явно, значение Ф в точке гя(2 есть (28) Ф(У(г)) = = (2ж) (1.!2 (г) — 112 (1 — г)) л 1 — (2ж) ' !оп г А (2ж) ' 1оп —, Идея перехода к Ф использовалась в общем виде Дюпоном в [Н1]. 2. СВЯЗЬ С ИТЕРИРОВАННЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 2.!.
Систематически итерированные интегралы были развиты Ченом; синтетическое изложение этой темы он дал в [С2]. Описание, данное здесь, содержит большое количество новых моментов, причем использует в основном симплициальные методы. Напомним кое-что из симплициальной теории.
Для каждого целого и ) 0 реализуем симплекс йа как множество точек из Р"; удовлетворяющих неравенствам 0 < й « ... 1„< 1; удобно ввести избыточные координаты 1о= О, Т„»а — — 1 и вложить сим- плекс 22а в )«и«2. Вершины симплекса — это точки е;=(О'»-', 1"+'-') с 1+ 1 координатами, равными нулю, и с и+1 — ! координатами, равными единице (здесь ь пробегает множество [л] целых чисел (О, 1, ..., и)).
Объектами категории йр являются множества [п], а морфизмами — (нестрого) возрастающие отображения. Отображение»р ИЗ [пь] В [П] ОПрЕдЕЛяЕт аффИННОЕ ОтОбражЕНИЕ ф ИЗ ьь"' В йи, переводящее вершину е; в вершину етп«В частности, для ь из [п] имеются отображение грани б': [и — 1]- [и] и отображение вырождения о': [и+ 1]-»-[и]. Отображения ь('=б» из й"-' в Л" и з' = о' из оиь' в оя описываются так: (29)»1 (Гь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
