Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для ш есть два возможных выбора, а именно юо и — ш„соответствующих двум возможным ориентациям Т (или Е). Заменив «треугольник» на «симплекс», а «многоугольник» на «политоп», можно повторить определения 1 и 2 из п. 1.2. В случае и =3 Сидлер [18] показал, что две этих эквивалентности не совпадают; на произвольную размерность этот результат обобщили Зилев ([20], [21]) и Хадвнгер [5]. !.4. Третья проблема Гильберта н инвариант Дена Поскольку все изометрии евклидова пространства имеют детерминант -/-1, то ио свойству с) объемов два конгруэнтных политопа имеют одинаковые объемы. Поэтому два эквивалентных политопа имеют один и тот же объем.
Третью проблему Гильберта можно уточнить так: Эквивалентны ли два полигона рав- А / В ных объемов? /1 / 1 На этот вопрос при и = 2 ответ будет положительным (Бойяи, около с 1832 г., см. п. 1.2). В размерности 3 важный результат / 1 Евклида (ХП. 7) гласит, что три пира- / миды АВСА', ВСА'В', А'В'С'С, состав- / 1/ ляющие вместе треугольную призму / 1/ АВСА'В'С' имеют равный объем (ср. с плоским случаем из 1.
4 «Начал» Евклида). Для доказательства достаточно показать равенство объемов двух тетраэдров АВС0 и АВСР' при условии, что прямая РР' параллельна плоскости АВС, а С это следует из ХП. 5 «Начал» Евклида. Однако последний результат потребовал (как от Евклида, так и от Лежандра, например) ') применения метода исчерпания, т. е. бесконечно и ) Замечательно, что невзирая ва заметное отличие точек зреиия, а также географическую и культурную отдаленность, у Евклида в ХН.З и у Лю Хузй !автора китайского труда !И века) уцотреблеиа одна и та же конструкция (см.
статью Вагнера (О. В. и/айве/) в Нпйот)а Ма!пела!1са, 8 (1979), р. !64 †1). П. Картье кратно повторяющегося разбиения и применения аксиомы Архимеда. Ден показал, что в случае и = 3 можно найти два неэквивалентнык полиэдра равного объема. В общем случае будем говорить, что для политопов определен инвариант 1, принимающий значения в некоторой коммутативной группе Г, если каждому политопу Р ставится в соответствие некоторый элемент этой группы 1(Р), причем а) Если Р и Р' — два полигона, то 1 (Р П Р) + 1 (Р ()Р) = 1 (Р) + 1 (Р'). Ь) Если политов Р вырожденный, то!(Р)=0. с) Если Р и Р' — два полигона, для которогк при некотором выборе элемента д группы 6 (перемещений) Р' = йР, то !(Р) =1(Р) Немедленно получаем, что 1(Р) =1(Р'), если два политопа Р и Р' эквивалентны.
В размерности 3 Ден построил инвариант В следующим образом: обозначим группу углов между прямыми на плоскости ') через Л н положимГ=РфЛ; если Р— полиэдр с ребрами Еь ..., 1.„то г В (Р) = Е ) Е, ) З 6;, где )ь;) — длина отрезка Ео а 6; — двугранный угол, образованный двумя примыкающими к Е, гранями полиэдра Р. Доказательство аддитивности инварианта Дена сводится к элементарному случаю разбиения тетраэдра Р=АВСВ на два: Роэбпение многогранников Р' =АВС1 и Р" =АВВ1. Ребро СВ разбивается на два: С1 и 1В, двугранные углы при них равны 6, откуда ~СВ~ = )С1(+ + (1В! и (СВ!Зб=(С1)З6+)1.В) З 6. Ребро А — общее для трех тетраэдров; углы при нем равны 61 в Р, бе в Р' и бэ в Р"; так как 61 = бг + ба, то ! АВ)З6, =) АВ)З6.+) АВ) З ба. Остальные ребра н двугранные углы в двух тетраэдрах общие '), поэтому В(Р) =В(Р')+ В(Р").
Теперь рассмотрим куб С и правильный тетраэдр Т равных объемов. Пусть 1 — длина ребра С, а 1' — длина ребра Т'. Все двугранные углы в кубе равны и/2, их 12, откуда В (С) = 121 З вЂ” = 61 З = 0, так как плоский угол л есть нуль группы Л. Аналогично, В (Т) = = 61'Зб. Однако в группе Г=(ч'(фЛ равенство 1З6 = 0 выполнено тогда и только тогда, когда 6 — рациональное кратноеп. При этом соз 6 = 1/3, что исключает рациональность 6/и, откуда В(Т) чь О.
Поэтому чо! (С) = чо1(Т), но В(С) Ф В(Т) и полиэдраг С и Т неэквивалентны. Замечание. В группе углов Л элементы конечного порядка— это рациональные кратные плоского угла и. Они образуют подгруппу Ло группы Л, изоморфную Сг/Х. Факторгруцпу Л/Ло можно считать векторным пространством над ~.",', а группа Г= =)ч фЛ изоморфна )ч Я(Л/Ло). В частности, существует инъективный гомоморфизм Л/Ле в Г, и именно это свойство и использовалось в приведенном выше доказательстве.
Поскольку в 1900 г. все эти понятия были совершенно неизвестны, для их выражения Дену пришлось прибегать к весьма непрямым способам, которые часто воспринимались как малоубедительные. ') эта группа естественно отождествляется с 30а()к)1(1, — Ц; прн на' меренна углов в раднанал ее можно отождествить с )сун2 . о аа ) Илн снежные, т.е. оротпвоположные по величине угла. — Прим. перев. 3 Бурсака П. Картье К ГРУППЫ ПОЛИЗДРОВ 2.1.
Теорема Сидлера (1965) Казалось, что результат Дена закрыл вопрос окончательно, и до 1940 г. фактически наблюдался лишь несущественный прогресс. Интерес к этой проблеме оживил, по-видимому, Хопф. Одному из учеников Хопфа Сидлеру предстояло добиться продвижения в третьей проблеме Гильберта. Он начал работать над ней около 1943 г., и к 1965 г. доказал, наконец, свой результат, который принес ему премию Датского королевского общества: Два полиэдра эквивалентны тогда и только тогда, когда их объемы и инварианты Дена равны.
Доказательство было в последствии, в 1968 г., сильно упрощено Р[ессеном и его учениками [15], [16]. Далее мы будем излагать их версию'). В и. 1.4 мы определили, что нужно понимать под инвариантом полиэдра. Следуя испытанной традиции, введем (аналогично группам Витта или Гротендика) коммутативную группу У с образуюшими [Р] (по одной для каждого многогранника Р) и соотношениями [Р [] Рг] = [Р] -]-[Р'), если Р() Р' — вырожденный многогранник (4) [й(Р)) = [Р), если д — перемещение. Инварианты / со значениями в коммутативной группе Г биективно соответствуют гомоморфизмам у из У в Г согласно /(Р) = = у( [Р) ). В частности, объем и инвариант Дена определяют гомоморфизмы то[: У- [т, Ен У- [с('~К)А.
Более того, полиэдры Р и Р' эквивалентны тогда и только тогда, когда [Р) = [Р'] в группе У. Пусть 5с — подгруппа У, порожденная призмами. Опираясь на доказанные для плоских многогранников результаты, можно доказать, что любая призма эквивалентна некоторой прямой призме, в основании которой лежит фиксированный квадрат со стороной 1. Значит, объем — это изоморфнзм мь на [т, а теорема Сидлера эквивалентна совпадению Х и ядра !7. Впрочем, равенство нулю инварианта Дена призмы доказывается легко, по- ') Подробное изложение этой версии моисно найти в работе В. Г.
Болтянского [Ц н Са [91. Я настоятельно рекомендую ознакомиться со статьями Р[ессена [1Б, 16, 17[ и Дюпона [231. Разбиение многогранников которая влечет за собой теорему Сидлера. Под Яйю понимается модуль кэлеровых дифференциалов расширения [т поля С) (см., например, Бурбаки Н. Алгебра, гл. Ч, $16), а цод б — канонический дифференциал из К в ьг'е1о. Согласно Катлино [22), гомоморфизм б определяется следующим образом: угол между ( а Ьт прямыми 0 представляется парой матриц -Ь + х — Ь а + Ьа = 1, или тангенсом ! = Ь/а (равным оо при а = О); определим гомоморфизм Ьс из Л в Йи1о как (5) бс(О) =а- доЬ вЂ” Ь доа= А;Г/(1+1э! (мы полагаем досо=0).
Имеем а=созО, Ь=з!ПО, Г=1дО; при измерении 0 в радианах возникает искушение записывать бо(0) = дО с учетом правил д(созО) = — яп О дО, с!(з!и 0) =созОФО. Это одновременно и хорошая аналогия, и ловушка. Отметим„ что тангенс отождествляет А с [э'([т), наделенным законом умножения (1, 1 ) ~ †» (Г + Г )/(1 — Нг). В этих обозначениях положим (6) Ь(. 810)= ЬоО= —,"„д,11 при этом б — сюръективный гомоморфизм из р ~ 5 [)' Я1О. 2 2 Доказательство теоремы Сидлера Выберем в трехмерном евклидовом пространстве Ез начало координат О.
Пусть Ь~ — гомотетия с центром в 0 и коэффициентом б Определим действие группы [т' на группе У как ( [ЬгР], если Г> О Н,[Р)=~ ], — [ЬгР), если 1< 0. и этом объем имеет вес 3, а инвариант Дена — вес 1: чо! (НД) =Гзчо[ Я), !7(НД) =Ю(5) (7) Пр (8) 3* этому ]7 определяет гомоморфизм Р из У/Я в Кф)Л, На са. мом деле можно доказать точность последовательности Нессена (3) О-У/ж ' К~А ' а,'„О, П. Картье при Е из У. Так как гомотетия переводит призму в призму, действие )к* опускается на У/Х.
Более того, произвольный тетраэдр Р разбивается на два тетраэдра Р' и Р", конгруэнтных соответственно ЬгР и Ь1 ~Р (где ! — произвольное вещественное число между нулем и единицей), и две призмы (см. табл. 1!1 в конце статьи). Отсюда (9) З= Нг З+ Н, г З (где 5 — из У/Х), откуда в свою очередь получаем на У/Ж структуру вещественного векторного пространства, в которой Н~ — умножение на 1. Для фиксированных чисел а н Ь из интервала ]О, 1( обозначим через Т(а, Ь) класс в У/Ж произвольного тетраэдра АВСО с взаимно перпендикулярными ребрами АВ, ВС и СО, длины которых определяются через (10) ~ АВ(г=а ' — 1, !СОР=Ь ' — 1, 1ВС~=!АВ!.!СЮ1 Ясно, что Т(а, Ь) =Т(Ь, а); кроме того, геометрические соображения позволяют показать, что (12) Т(а, Ь)+Т(аЬ, с)=-Т(а, с)+Т(ас, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
