Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В двух письмах к Герлингу Гаусс выразил сожаление, что некоторые теоремы геометрии тел зависят от метода исчерпывания, т. е., в современной терминологии, от аксиомы непрерывности (или аксиомы Архимеда). Гаусс, в частности, упомянул теорему Евклида (книга ХП, предл. 5), согласно которой две треугольные пирамиды находятся в том же отношении, что и их основания. Однако аналогичная задача для площадей плоских фигур решена полностью; Герлингу удалось доказать равенство объемов двух симметричных многогранников путем разбиения нх на части, совмешаемые перемещением. В то же время мне кажется, что доказать таким способом цитированную выше теорему Евклида в общем случае невозможно; задача состоит в строгом доказательстве невозможности этого.
Мы получим та- ') Р!егге Сагцег. 1)есогпроз!!!оп беа ро1уебгем Ье ро!и! зпг 1е 1гопиегпе ргоыегпе бе Н!1Ьег!.— 5епппа!ге ВопгЬа!41, 37 епге аппее, 1984 — 85, и' 646, Аа!ебвдпе 133 — 134, 1986, р. 261 — 288. © Ч. ВопгЬаЬ1, 5ос!е!е гпагбегпа!1Чпе бе Рбпсе, 1985 кое доказательство, если нам удастся найти два тетраэдра с одинаковым основанием и одинаковой высотой, которые невозможно разбить на когруэнтные тетраэдры и невозможно дополнить когруэнтными тетраэдрами до многогранников, для которых возможно подобное разбиение на конгруэнтные тетраэдрьг.» История этой проблемы довольно любопытна.
Еще до публикации Гильберта Ден дал ее решение ([!1], [12]) в требуемой Гильбертом форме; что важнее, он еще и определил инвариант, носящий его нмя, — к инварнанту мы вернемся позже. К тому же при устном сообщении Гильберт не сохранил 3-ю проблему в ограниченном списке. Поскольку она была решена, да к тому же относилась к элементарной геометрии, ею продолжали интересоваться лишь несколько швейцарских, датских и русских геометров. В 1974 г, конференция в Де Кальбе (США) рассмотрела положение с проблемами Гильберта.
По поводу 3-й проблемы было устное сообщение, но в двух опубликованных томах [2] нет нн одной печатной работы по этому поводу. Тем не менее, начиная с 1975 г., различные задачи топологии и дифференциальной геометрии приводили к рассмотрению когомологий групп Ли с дискретной топологией и вещественных алгебр Лн, рассматриваемых как алгебры над полем рациональных чисел. Те же самые группы появляются в алгебраической К-теории. Имеется волнующая аналогия с современными проблемами, связаннымн с калибровочными полями; она позволяет предположить существование неожиданных связей между арифметикой, топологией и математической физикой, выражаемых на языке циклических гомологий.
В определенной степени этот доклад — ие что иное, как продолжение моего предыдущего доклада № 621'). Я приношу искреннюю благодарность Ж.-Л. Катлино, К. Шемла, Д. Хьюзмюллеру и Дж. Милнору за любезно предоставленные ими материалы, а также К. Касселу, Ж.-Л. Лодею н К. А. Са за разрешение использовать при подготовке этого доклада их неопубликованные заметки. !. ПРЕЛЮДИЯ: ПЛОЩАДИ И ОВЪЕМЫ ДО !900 Г. 1.!. Евклид и площади плоских фигур Конец 1 книги и И книга «Начал» Евклида посвящены плошадям плоских фигур. Начало 1 книги посвящено признакам равенства треугольников (вернее говоря, конгруэнтностн 11 глме ) Имеется перевод: П.
Картье. Инклнческне гомологнн: обзор недавних работ Кокна, Карубн, Лодея, Квяллена.... — Алгебра н теория чисел с и нломеннямн. — М.: Мнр, !987, с. 175 — 203. — ПРим. перев. р— Разбиение многогранников П. Картье 28 треугольников, если мы называем конгруэнтными две фигуры А и В, для которых существует перемещение, переводящее А в В)'. Начиная с предложения 1.34, изложение посвящено различным случаям, в которых про треугольники или параллелограммы можно сказать, что они имеют один и тот же объем (см. табл. 1 в конце статьи).
В частности, предложение 1. 41 можно было бы перефразировать классической формулировкой: площадь треугольника есть половина произведения основания на высоту. Но трудно было бы найти что-нибудь более противоречащее духу Евклида: он нигде не определяет понятие площади и для него было бы немыслимо приписывать площади числовое значение, Если проанализировать доказательства Евклида и то, что понимается под общими положениями (или ОП вЂ” это аксиомы общего вида, приведенные в «Началах» вслед за списком геометрических постулатов), то приходится считать, что он рассматривает отношение эквивалентности на множестве многоугольников'), которое интерпретируется как равенство площадей. Это отношение эквивалентности я) удовлеворяет следующим условиям: а) конгруэнтные фигуры эквивалентны (ОП 4); Ь) если фигура А состоит из двух частей А' и А", а В состоит из В' и В', то эквивалентность А' с В' и А" с В" влечет за собой эквивалентность А с В (ОП 2); с) в условиях Ь), если А эквивалентно В, а А' эквивалентно В', то А" эквивалентно В"; б) если фигура А состоит из п частей, эквивалентных А', а  — из и частей, эквивалентных В', то из эквивалентности А с В следует эквивалентность А' с В'.
Завершает ! книгу теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС со сторонами а, (з, с, где угол А прямой, выполняется равенство ах = Ьх+ сз. Это равенство интерпретируется буквально следующим образомз): квадрат, построенный на стороне а, эквивалентен фигуре, состоящей из двух квадратов, равных квадратам, построенным на сторонах 6 и с. В таблице П воспроизведены различные конфигурации, обосновывающие эту теорему посредством манипуляций с площадями.
') В действительности Евклид ие дает общего определения многоугольника, ио рассматривает в основном треугольники и четырехугольники (определения е 19 но 22). з) Евклид ие считал нужным различать коигрузитность фигур н их эквивалентность (т. е. равенство площадей) н называл то н друюе равенством фигур. ') Известно, что манипуляции с плошадью замещают алгебру в книгах Евклида (в частности, ем книгу 'Ч1). В книге Ч! Евклид использует результаты а пропорциях, полученные в книге Ъ', он сможет изучить подобие и доказать два следующих фундаментальных результата: а) если фигура А' подобна фигуре А в отношении г, то отношения площадей А' и А есть гз; Ь) если в параллелограмме увеличить одну пару параллельных сторон в ! раз, а другую в !' раз, то площадь увеличится в В' раз. При этом мимоходом посредством эквивалентности площадей доказывается н теорема Фалеса.
1.2. Теория плошадей плоских фигур и Х!Х н. В Х1Х веке многие математики, в том числе и Бойян-отец, снова обратились к мысли развить понятие плошади, не прибегая к понятию непрерывности. Результаты этих исследований обобщаются в гл. 1Ч «Оснований геометрии» Гильберта (7) (см. также дополнение П1).
Первым делом необходимо четко определить понятие многоугольника (или, скорее, многоугольной области) на плоскости как конечное объединение треугольных областей. Говорят, что многоугольник А разбит на многоугольники В и С, если А = В() С, причем пересечение В П С есть объединение отрезков прямых; аналогично и определение разбиения на конечное число многоугольников. Определение !. Два многоугольника А н А' эквивалентны относительно разбиений ("гег!еппппзц1е!сЬ"), если А можно разбить на треугольники Ть ..., Тнн а А' — на треугольники А..., Т„' так, что каждый треугольник Т, конгруэнтен треугольнику Т',. Определение 2.
Два многоугольника А и А' эквивалентны относительно дополнений ("егпапгппдп!е!сЬ*'), если существуют два таких эквивалентных относительно разбиений многоугольника С и С', что С разбит на А и В, а С' — на А' и В', причем В и В' эквивалентны относительно разбиений. Ясно, что многоугольники, эквивалентные в смысле 1, будут эквивалентны и в смысле 2. Обратное верно в вещественной плоской геометрии, но уже в плоской геометрии над упорядоченным неархимедовым полем верно не будет.
Таким образом, в вещественном случае, которым мы здесь и ограничимся, имеется единственное понятие эквивалентности; оно удовлетворяет всем требованиям Евклида. Применяя эти соображения, можно доказать элементарными методами следующий результат (Евклид, 1. 45): Разбиение многограннаноа 31 П.
Картье Пусть А — отрезок, взятый за единииу длины. Для любого многоугольника Р существует прямоугольник АВСР, эквивалент" нь«й Р, причем ровно один') з). За единицу площади примем площадь квадрата со стороной АВ. Теперь площадь упомянутого многоугольника Р измеряется в этих единицах величиной отношения СВ/АВ. 1.3. Обобщение на размерности: 3 Начнем с нескольких общих конструкций. Пусть К вЂ” упорядоченное иоле, Т вЂ” векторное пространство иад К конечной размерности и, а Š— аффиниое пространство, соответствующее пространству переносов Т. Симплекс [э„..., э„] размерности р в Е определяется р+ 1 точками зо, ..., з, с линейно независимыми векторами, (при 1(!'( р). Он состоит из точек вида О' ! ь с;э, с такими коэффициентами с; ) 0 из К, что /, с/ = 1.
По/=а /-а литопом з) в Е (в размерности 3 говорят полиэдр или многогранник) назовем объединение конечного числа симплексов; политоп называется вырожденным, если все эти симплексы имеют размерность (и. Говорят, что политоп Р разбит на политопы Рь ..., Р„если Р = Р! О () Р„причем Р; П Р/ — вырожденный политоп при ! Ф!'. Для обоснования понятия объема политопа вводить метрику не обязательно; достаточно и-линейной антисимметрической формы ю на Т. По определению объем и-симплекса равен 1 — ! а(оы ..., о„) [, где о« вЂ” вектор причем объем р-симплекса при р ( и полагается равным нулю.
Политоп Р можно разбить на снмплексы Ть ..., Т„и чисто слгебраическими методами доказывается, что сумма объемов симплексов Т„..., Т, зависит только от Р. Она называется объемом Р и обозначается чо!(Р). При этих определениях выполнены следующие свойства (Хадвигер [5, сЬ. 2]): а) Если Р и Р' — два полигона, го (1) чо1 (Р Д Р') + чо1 (Р О Р') = чо1 (Р) + чо1 (Р'). Ь) Если политоп Р вырожден, то чо!(Р)=0. ') Евклид ве считал нужным доказывать едивствеииость, которая в его взложеиии вытекала из аксиомы «целое больше, чем его часть» (ОН Б), ') По-видимому, имеется в виду ориеитироваииый прямоугольиик.— Прим. нерее. ') Общность и простота этого определения ие должны скрывать всей сложности ведущего к нему исторического пути (ср.
обсуждение у Лакатоса (8! тождества Эйлера Р— А + 8 = 2). с) Если и — автоморфиэм аффинного пространства Е, а и/в соответствующий автоморфиэм Т, то (2) чо( (и (Р)) = [ йе! (иг) ! чо1 (Р) для любого политопа Р. Вернемся к евклидовой геометрии. Поле К здесь в поле вещественных чисел, а Т снабжено положительно определенным скалярным произведениям. Нормализуемшпо [ш(еь ..., е„) [=1, где еь ..., е,— произвольный ортонормированный базис Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
