Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Докажем, что существует такое семейство элементов (/(а) группы У/л:, (где вен)0, 11), что (13) Т(а, Ь) =(!(а) + Е/(Ь) — 6(аЬ). Для этого рассмотрим в множестве ((то =]О, 1(;х',У/Ж коммутативный закон умножения (14) (а, Р) . (Ь, (1) =(аЬ, Р+ 1;1 — Т(а, Ь)). Можно доказать, что на любой элемент %'о можно сокращать, поэтому ()то погружается в свою группу частных %'. Значит, имеется точная последовательность 0 У!Ж йт" Й* О, Так как группа У/,"е". делима, эта точная последовательность расщепляется; существует гомоморфизм из (к'„. в йУ, левый обратный к н и, значит, имеющий вид а «(а, (!(а)). Теперь (13) следует нз (14).
Разбиение многогранников Проблема; существует ли явная конструкция (/(а) ? В качестве следующего шага положим (для а ) О, Ь - 0) (15) 6 (а, Ь) = а(! ( а + ь 1 + ЬП ( а + ь )~' откуда с очевидностью следуют соотношения (16) 6(а, Ь)=6(Ь, а), 6(Ла, ЛЬ)=Л6(а, Ь). Наконец, геометрически показывается, что ч17) 6(а, Ь)+6(а+Ь, с)=6(а, с)+6(а+с, Ь). Для этого тетраэдр ОАВС с взаимно перпендикуляоными реб- ,рами ОА, ОВ н ОС с (ОА)е=Ьс, ~ОВ~е=са, )ОС)1=аЬ раз- бивается на части двумя способами. На этот раз сконструнруем по коциклу 6 коммутативное кольцо А, порожденное 1к Х У/гс с операциями (18) (а, Р)+(Ь, Я)=(а+Ь, Р+ге — 6(а, Ь)) (при а>0, Ь= 0) (19) (а, Р) (Ь, (е) =(аЬ, а(,'1+ ЬР). Теперь 1=У/л:, — идеал с нулевым квадратом в А, а А/1 изо- морфно полю 1к.
Выберем гомоморфнзм в из Р в А, левый об- ратный к проекции т из А в А/1 (см. Бурбаки Н, Коммутатив- ная алгебра, гл, 1Х), н, следовательно, отображение Н из (к' в У/ек, удовлетворяющее условиям (20) 6 (а, Ь) = аН (а) + ЬН (Ь) — (а + Ь) Н (а + Ь), (21) Н(аЬ)=Н(а)+Н(Ь), (22) в (а) = (а, аН (а)). Наконец, определим отображение ф из гх в У/Ж как (23) ф(а) =1па ° ((/(з1п'а) — Н(з!пга)). Осталось показать, что ф — гомоморфнзм. В этом случае он про- должается до 1к-линейного отображения Ф из гкф)Ь в У/л;,; У легко показывается, что Фоб есть тождественное отоб ж ражение /Ж.
Для этого заметим, что векторное пространство У/Я по- рождается элементами Т(а, Ь), инвариант Дена которых легко вычислить. Итак, мы доказали, что П ннъектнвно. Для завершения до- казательства точности последовательности (1) используем тот факт, что левые обратные к т гомоморфизмы кольца 1к в А б- р зуют главное однородное пространство группы гомоморфизмов а лз (2яп в 1=У/У-. П. Картье Разбиение многогранников 39 2.3.
Открытые проблемы Инвариант Дена был обобшен Хадвигером [5] на размерно'- сти болыпе трех. Пусть ń— евклидова пространство размерности и. Построим, как и в п. 2.1, группу йз„, порожденную политопами в Е,. Если 1 — целое число, 1(1( и — 1/2, то инвариант Дена — Хадвигера П1(Р) политопа Р определяется как сумма элементов чо! (Р,) З сг1Э ... Эаг в Л' = (к З Л Э ... ЗЛ (1 сомножителей Л) по всем убывающим последовательностям Р=Р,:э Р1:э ... ~ Рь где Р; — грань размерности и — 2; политопа Р, а а; — двугранный угол в Р; „ограниченный двумя гранями размерности и — 21+ 1, содержащимися в Р; ~ и содержащими Рь Точно так же можно положить Пь(Р) = чо!(Р).
Проблема: доказать инъективность гомоморфизма из,У/Ж в Ь ХЛ Х... Х Ь1и '1п1, определенного гзг, 01, ..., В!1„-1и1. Если и =3, то это теорема Сидлера. Если п= 4, то Иессен в По11!ппеп )час)1г., 1972, р. 47 — 53, показал, каким образом этот вопрос сводится к случаю а=3. Для и 5 ничего не известно. Аналогичные вопросы можно поставить и в случае неевклидовых пространств, либо эллиптических, либо гиперболических Ден разобрал случай размерности 2, для больших размерностей. ничего не известно. 3. ГОМОЛОГИЧЕОКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 3.1. Разбиение политопов: случай параллельных переносов Пусть Š— аффииное пространство размерности п, соответствуюшее векторному пространству Т.
Для начала мы не будем рассматривать никакой евклидовой метрики. Определим по аналогии с п. 1.4 группу П(Е), порожденную полигонами с соотношениями (24) [Р[)Р'] =[Р]+[Р'], если РДР' — вырожденный полигон, [иР]=[Р], если и — параллельный перенос.
Эта группа приспособлена к изучению разбиения политопов на части, которые разрешается сдвигать параллельными переноса:." 1(ак и в п. 2.2, в П(Е) можно определить гомотетии. Хадвигер [5] и Иессен — Торуп [17] уточнили структуру группы П(Е) следующим образом: П(Е) можно снабдить такой структурой векторного пространства над полем (й, нто П(Е) разлагается в прямую сумму П'(Е) Ю ... ВП" (Е), причем Н4 =.
= 11Р„если Тек Я*, а э ее П'(Е). Приведем основные моменты доказательства этого утверждения. Снабдим Е структурой векторного пространства, выбрав начало отсчета О. Предположим, что Е разбито в прямую сумму векторных подпространств Еь ..., Е„и отождествим Е, Х ... Х ... Х Е; с Е при помощи биекции (о1, ..., о,) о1+ ..; ... + ои Если Р1 — политоп в Е1, а Рз — политоп в Ез, ..., то прямое произведение Р1 Х ... Х Р1 будет политопом в Е.
Обозначим через Ж подпространство П (Е), порожденное всеми такими политопами для всевозможных разложений Е в прямую сумму Е1 ьи ... изЕи Итак, (25) П(Е)=Я1.:эЖз~...:эЯ; ~Х~~1=0, причем ۄ— подгруппа, порожденная параллелотопами (обобщениями параллелограммов и параллелепипедов). При и = 3 подгруппа м.з порождена призмами. Формулу (9) можно обобщить так: '(26) Не .1 9= — Нее+ Не 9(тос1 Жз) (если 9 ец Ж1). Для этого достаточно ограничиться случаем элемента 9, определенного симплексом а = [з„ ..., з„] с О=во. Положим ''=[" ""1 "=[зг "'"1. ТепеРь симплекс йг ьг-о Разбивается на политопы Гв„ ш1, изт ..., Тв„, где ш; эквивалентно (относительно параллельного пер еноса) Ьг,о', Х Ьг„а," (при 1 ( ~о ~1 г з (г'(и — 1), а твь= не в и ~о„ эквивалентно (относительно па- п = о раллельного цереноса) йг.о.
Значит, Гв1 ~Же при 1(1~(п — 1, откуда полччаем (26). Из этого соотношения выводится (27) Н19 =11(гпск1м1з) для любого целого числа ТФО, откуда уже получается (28) Н19 — Г'$ (гпод Ж„1) (при ~ ен,йее) для целых Е можно ограничиться случаем элемента 9, определенного политопом Р1 Х ... Х Рь откуда Н19=[пгр1 Х ... ...
ХЬ,Р;]. Применив (27) к аффинному пространству Е,, получаем разложение 61Р, на 1 политопов, эквивалентных Р1 (относительно параллельного переноса), н на политопы вида Р' Х Ри 1 l, Раобигниг многогранниноо 41 Л. мартье соответствующие разложениям Р =Е'йуЕ", откуда и получается (28). При целом ГФО гомотетия Н' группы П(Е) будет автоморфизмом; она индуцирует автоморфизм Я;/Жгьь Согласно (28), любая коммутативная группа Ж/Ж+1 допускает однозначное деление. Значит, то же самое верно и для П(Е), которое оказывается снабженным структурой векторного пространства над (",1. Доказательство формулы (26) показывает, что при любом целом 1) 1 симплекс Иго разбивается на политопы шь где щ; эквивалентен (относительно параллельного переноса) произведению И,а', Х а",. Двойной индукцией по а и т можно показать, что для любого $ из П(Е) существуют такие элементы $1 из Ж, (при 1 ( ! ( а), что (29) при любом целом 1чьО. Другими словами, существуют такие Я-линейные операторы е„..., е„, действующие в П(Е), что и Нгй= ~ тге, ($).
(30) Учитывая Н,Ней=Низ, получим е~=е, и егет — — 0 при гав!, откуда получаем разложение П (Е) = П' (Е) Я... йр П (Е), где ет — проектор П(Е) на Пг(Е). Мы также получаем, что Яг= = ~ П1(Е), а соотношение Нгй=!'$ спранедливо при й из 1)г П'(Е) и целом (или рациональном) 1~0. Для завершения доказательства зафиксируем й 1 (. ( п, отождествим П'(Е) с Я~/Ж;+, и рассмотрвм отображение ! -ь.Н,с„из гч в П'(Е) при фиксированном г. Если ь ассоциировано с политопом вида Р~ Х ... Х Ри то из формулы (26) можно вывести (имитируя доказательство (28)) существование такого ()-полилинейного отображения у из (чг в П'(Е), что (31) ! (Го ..., О) ым 1(Ит Р1 Х ...
Х ИИРг1 (шог(Яг 1). Наконец, теореиу Фалеса можно обобщить, показав, что если Р имеет вид Р'ХР", то И1Р'ХР и Р'ХИ,Р" эквивалентны (посредством разбиения и параллельных переносов) с точностью до суммы пэлптопов вида Я1 Х ЯяХ Яг. Другими словами, величина (31) зависит только от произведения;1 ... -г; и поэтому существует Я-линейное отображение де из Р в П'(Е), такое, что 1(гь ..., И)=Ей(11.... О) и, в частности, (32) дй(!) =(И,Р, Х... ХИгРЛ =НА (гпот(Я;„,). Теперь структуру вещественного векторного пространства на П'(Е) можно определить с помощью отображения (г, $) эдй(1), откуда Нт'э=1'Ь. 3.2. Гомологическая интерпретация группы П(Е) На вещественном аффинном пространстве Е можно выбрать одну из двух возможных ориентаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
