Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 3
Текст из файла (страница 3)
'М„(д) — Епг)а (Е). Разложению Брюа 6= [) ВвВ группы 6, где „— группа ыыдя подстановок, соответствует естественный базис (Г ) в„векторного пространства зэ', (г)): 1,„(д) =1, если д~ ВвВ, 1 (д) =О, если д Ф ВвВ. Поэтому <Шп [М„(д)) = п!. Более того, показывается, что п(1 ) = Т ~ Епбв(Е) описывается соответствием на множестве Х, которое флагу Р сопоставляет множество таких флагов Р', что б(гп (Р,. () Р,'.) = мощность ((1, ., /) П в (1, ..., 1]) %,/=0,1,...,п. Пусть з, при 1'=1, ..., п — 1 — перестановка (1, 1+1). Тогда з, ев Я„. Для простоты обозначим Тг — — Т,, Нетрудно вычислить произведение соответствий Т и получить следующее описание алгебры вэк(д): Предложение 9. Алгебра Ж„(г)) порождается /ь г = 1, ... ..., и — 1, и допускает описание соотношениями а) (Г, + 1) (Гг — д) = О, 1 = 1,..., и — 1; 5) 141=111, У', /, !г — /!>1; с) !г !Гг(! .1 = !!Гг+ !11 'ч г = 1, .
- ., п — 2. Это описание вэ„(г)) соответствует описанию симметрической группы В„как группы Кокстера на основе симметрий (з,)1 и графа Кокстера типа А 1 2 2 Более общо (ср. [19] н [8, упр. 23, с. 55]), с каждой системой Кокстера (%', В) и каждым отображением /:  — С, постоянным на классах смежности в 5 относительно %', канонически связывается некоторая алгебра. В интересующем нас случае все в! сопряжены в %'= Я„, так что такая функция / — константа. Поэтому общая конструкция позволяет в этом случае г) принимать произвольное значение в'С'.
А. у«онн Определение 1О. Пусть пеиМ, и Ф 0'), О. О че ез р з вЬ„(«у) алгебру над «:, порожденную (У«)«, „со , а «у~ . Обозначим следующими соотношениями: ю ««, „,со (У«+1)(!« — «у)=0 )!!=1, ... и 1 у«!!=!А 1у! у, ]с — у'[)2; ««л««=ус+«у«у«-и« «!!=1, ..., п — 2. метрической группы. П „РУ ваа алгебра «Я„симПри «)=1 алгебра дв„(«у) есть г пповая б 18 П полупр оста. ри «у Ф 1, «у =1, или «7=0 алгебра вй ( ) „«у не ин кт Согласно определению, алгебры ов" («у) .
«у) при и~ И образуют дв„(«у)- йги«, и т, ду ивную систему алгебр относительно но гомоморфизма рн — («у), и « т, однозначно определенного условием рн, (/н) П ! Определение !1. Обозначим через дй ин кти («у) индуктивный пре*, и допускает описания очевидными соотношениями. Лемма 12. а) П ед ) редиоложим„что «у чь — 1. Положим еу —— + уу,, Тогда еу, у ~М, порождают аь" («7), причем дЬ («у) описывается соотношениями — 1еу~й; е,.е =ее, уву, у, »с' — у[>1; е«.р«е«е;и« вЂ” те;.„= е«е,„,е, — тес 1У! еи »а» „ в которых т=(2+ «у+ «7 ') Ь) При т~ !к с ест ущ вует единственньш" антилинейный инво- лютивный антиавтоморфизм хи-нхи алг б Ж ( ), е ры («у), такой, что е'=е 1(у ~ М'.
Утверждение а) нием, а сл ) доказывается непосредственным вы исл- Ь) следует нз инвариантности описания а). вычислеу. р куют р К р а «арии у 9 3 ° = «а, «2....~, и и. 2, , 3, ...). — Прим. перев. Индексы нодфокуоров, влееорр«Гекке и теория узлов 17 Теорема 13 ([24]) Пусть 4~[1 -»-со[()(е'"Иса т=3*4 ] ) а уу («у) описанная выше алгебра с инва люцией х~ х* из леммы 12Ь, Тогда 1) Существует единственный след «р на вв («у), такой, что «р (1) = 1, а 4«(хе;и«) =тр(х) «б«х си де«(«у), ЬУ! ей ге. 2) След «р положителен (т. е.
«р(х'х) ) О «вх еи вь («у)) и левое регулярное представление Я («у) в гильбертовом пространстве, связанном с «р, порождает гиперконечный фактор типа П1. 3) Подалгебра фон Неймана в М, порожденная (е,)... — это иодфактор ЛУ в М, причем [М: У«У]=т. фактически достаточно сравнить описание дв («у) из леммы 12 с соотношениями уь йу, лв, др иа проекторы е; из конструкций Джонса.
При этом получается инволютивный гомоморфнзм р из в!е («у) в Р, и достаточно положить «р =Тур ар. Единственность «р при условии !) получается непосредственно. Теперь мы изложим два замечательных результата Окнеану. Теорема 14 ( [42], [15]). Пусть у еи (; причем «у -ь — 1, «у ~- + «у — ' бн !ка.
Пусть т=(2 »- «у+ «у ') '. Для того чтобы существовало нетривиальное инволютивное представление алгебры с инволюцией (Зв («у),в) в гильбертовом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы «у принадлежало множеству (еун«У'"„т ~ М, т ) 3) (» [1, + со [ (под тривиальным представлением я понимается такое представвление, что п(е;) я(0, 1) УгуеиИ). Теорема 15 ([42]). а) Пусть «у,г~ О, «уФ вЂ” !. Тогда на дв («у) существует единственный след «р „такой, что ф (хе„„) = г«р(х) «!ух еи вв„(«у). Ь) Пусть «уев(е~ 'у; т си!ч, т)3)() [1, оо[ и т=(2+«у+ +«у ), геиС.
Для того чтобы «ре,а был положительным следом на инволютивной алгебре (дЬ" («у),в), необходимо и достаточно, чтобы ге= еи [О, ! ], причем пара («у, г) удовлетворяла 'следующим условиям: !) 4) 1, (1+4) '«г«4(1+4) '; ь ! 2) «у) 1 и существует й еи л., й чь О, г= ( + ч) (! - ч') р Бурбаки А. донн 1/2 1/3 $/4 с" 0) зацкпакник к+! 3) у=в~и и существует у~к,„1й ~(т — 1 с г= (1+ у) (1 — у') Т (7+~)+~) 1) Как и в теореме 13, 3), для каждого значения (у, г) получается подфактор Ж гиперконечного фактора, Индекс таких подфакторов как функция в и г был вычислен Венцлем [50).
У. ГРУППЫ КОС, УЗЛЫ И ТЕОРЕМЫ АЛЕКСАНДЕРА И МАРКОВА Пусть нее Гч, а ӄ— множество подмножеств в ( мошности и. Снабдим У„топологией как фактор открытого множества 12,с: С»: Я„=((ге),, „; ге ~ г; Ъе(чь/) по действию группы подстановок. По определению гзоуппа кос В„ есть п,(У„). Рассмотрим 1:Х(0, 1) как часть (к =1';н',К и зафиксируем начальную точку р в У„, скажем р = (1, 2,..., и) < < С. Теперь путь р ~ С (5', У„), р (О) = р, можно представлять себе как косу в )кг, обозначаемую ф: ф = ((г, Г) ее С Х (О, 1); г я <р (т)). Закон умножения в В, =и~(У ) соответствует геометрически со единению двух кос конец в конец. Обозначим при 1'=1, Индексы нодфакторов, алгебры Гекке и теория узлов 19 ..., и — 1 через йч ее В„элемент п~(У„, р), отвечающий классу пути ~рь р,(1)=(й; й=, 1,1+1)()(1+ —,'(1 "и)~, Г =-(0, 1).
Следующий рисунок показывает, что при любом 1 кеу~+Ют=к +~уеу+и Теорема 16 (Артин (3)). Группа В„при любом и порождается дь ..., д„, и допускает описание соотношениями а) д,Уз=деде %, 1 (1 — 1(> 1 Ь) ут,.~уеуе~~ =д;де нде % = 1,..., п — 2, Назовем зацеплением в )кз любое ориентированное одномерное С--подмногообразие в (кз. Назовем связное зацепление узлом. Для любого узла 1. можно найти С -вложение 1: В'- )кз, которое будет ориентированным диффеоморфизмом 5' на Ь.
Главная проблема теории узлов — это классификация с точностью до изотопии вложений 5' в )кз. Зацепление можно описывать его проекцией на плоскость, т. е, объединением трансверсально пересекающихся кривых, причем для каждой точки пересечения можно показать, что проходит над чем, обычным образом. А. Коан 20 уп+1 Пусть дан В„, а в(д) — соответствующая перестановка множества р =(1, 2, ..., и). Выберем такой представитель ф для д, что ф ен С (5, У„), причем ф (1) с= С~ = (г ен С, Ке г > О) прн генУ. Рассмотрим прямую Л=((0, в, О); еенК) в (кв. Пусть Яв, 0 ен 5', — поворот на угол 0 вокруг оси Л. Отождествим С~ Х 3 с дополнением в )к до Л с помощью отображения р, р (г, 0) = Вв (х, у, О) 1в з = х + юу ен т,„ 0 ен В1.
Подмногообразие р(Л), где Я=((г,0)ен С,+эс,5', генф(0)), будет зацеплением, снабженным ориентацией (возникающей из проекции на У). Связные компоненты Я индексируются циклами перестановки е(у). Согласно определению, класс изотопии зацепления р(г) зависит только от дев В, но не от выбора ф. Мы получили отображение д у нз В, в множестве а классов нзотопии зацеплений в Рв. Теорема 17 (Александер 2). Отображение дт — ну из дизь- Ю юнктноео объединения )) В„в а — сюръекция.
1 Для того чтобы найти у с у = Е, достаточно найти прямую Л в Рв, не пересекающуюся с Е и такую, чтобы угол между плоскостью Р(х), проведенной через Л н хан Е, и фиксированной плоскостью Р„Л ~ Ры был возрастающей функцией х. Пример. Возьмем в качестве А ось, перпендикулярную плоскости рисунка и проходящую через а. Получаем Е = д, где д обозначает косу: Индексы аодфакторов, алгебры Генке а теория увлов Очевидно, что д зависит лишь от класса сопряженности у в В„. Более того, если рассмотреть естественное включение В„ в В„,(дс в д,"+'), то получим (ду„*',)А =д тУд ен В„; Теорема 18 ((34), [6)).
Отношение эквивалентности д1 уя при у1=уя на )) В„порождается следующими образующими" и а) Если дь дт е= В„сопряжены в В„, то у1 уя. Ь) Если д ен В„, то уд„-', д. Поэтому любое отображение Ч' из )) В„в некоторое н множество, удовлетворяющее соотношениям ф(ада ) = ф(й)„ Ю1 ф (уд„т1) = ф(д) при у ен В„, определяет нзотопический инвариант зацепления в 1св. При сравнении описания алгебры Гекке из определения 10 с описанием Артина группы кос В„(теорема 16) получаем, что при любом Хан( ' существует единственный гомоморфизм и'„ из В„в Я„(д), такой, что пн (у,.) = Мо 1= 1, 2, ..., и — 1. Теперь любой след 1я„на М„(д) определяет при композиции с пк отображение ф из В„в С, постоянное на любом классе сопряженности. Положим р„= а„р, где анен С, а ф — определен- А.
Комм Рь =Рс,р.е,. Примеры рЕ-уг ьх у т -х г М р, Рх г -2х у-, -2 2 -1 -2 2 р у-2г 2 2ху-! 2у-2 У " му -'х У-1 -1 -1 2 -1, -1 ЛИТЕРАТУРА ный Джонсом след из теоремы 13. Тогда применение 13.1 дает гр(п~(кд„„1)) = Е ( 1 1+ ) 'р(п~(к)) злее- :В„; %(п (уу э )) =1ь (1+2) Ф(п (у)) зУувнв,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
