Избранные труды семинара Бурбаки - Математический анализ и геометрия. Сборник статей №45 (947400), страница 9
Текст из файла (страница 9)
По самому своему определению Нг(5/.г(С), Е) совпадает с Кг(С), Дюпон, Парри и Са показали, что включение 5(/э(С) в 5Ез(С) определяет изоморфизм ') Нэ(5(/э(С), л,) на Кя(С)» (предварительный результат см. в [38]). Матер (не опубликовано) изучил гомоморфизм Нэ((/1(С), т) в Нз(51/э(С), 7), а Альперин и Деннис определили изоморфизм Кэ(Н) на Кг(С)+ (Н вЂ” это тело кватернионов). На следующем шаге [37] доказывается, что для компактной односвязной простой неисключительной группы Ли 6 вложение 5(/т(С) в 6, связанное с простым корнем, определяет изоморфизм Нз(5(/з(С), У) на Н,(6, л,).
Наконец, предположим, что 6 — односвязная группа Ли. Если 6 — простая вещественная (соответственно комплексная) группа Ли, то Н,(6, У) изоморфно Кэ(С)е (соответственно Кг(С)). Теперь прн г'( 2 гипотеза Милнора легко доказывается. Наиболее впечатляющие результаты получены Суслиным в четырех статьях [40], [41], [42], [43].
Они относятся к группам Ойм Окончательная формулировка утверждает, что гомоморфизм 1гп Н,(ВОо, М) — Нг(ВО, М) — это изоморфизм при конечном М и группе 6 вида ОЕ„()ч) или ОЕ,(С)), если п ) 1 (стабильный случай). Суслин [41] доказал сначала стабильность: для всех бесконечных полей Р канонический гомоморфизм Нг(бг.„(Р), л.) в Нг(6/и»»(Р), У) является изоморфизмом при и ) й Обозначим предельную группу через Н;(ОЕ(Р),л.).
Введем также аналогичное обозначение для конечного поля Гг коэффициентов. Сложная часть доказательства — это сравнение групп Нг(ОЕ(Р), Гг) для различных алгебраически замкнутых полей Р характеристики либо О, либо р, где р — простое число, не равное 1: оказывается, что эти группы не зависят от поля Р. Теперь все сводится к случаю, когда Р— алгебраическое замыкание поля Гю а он разобран Квилленом [39].
') В этом месте появляются разбиения полеэлров в гиперболическом пространстве. 48 П. Картье Разбиение многогранников 4.2. Гомологии рациональных алгебр Ли Терстон определил голуотопический слой 6 гомоморфизма Оь в 6. Простую реализацию можно получить, рассмотрев расслоениое произведение С ус', 6, где С вЂ” группа путей в 6 с иа- 0 чалом в единичном элементе. При этом ВО можно реализовать как тотальное пространство расслоения ВО;Ус',ЕО с базой ВО . ва Это пространство классифицирует интегрируемые связности на тривиальном расслоении (калибровочные потенциалы для нулевого поля).
Другую конструкцию ВО можно найти в работе Суслика [43). При нашей конструкции слой 6 для группы и для ее универсальной накрывающей совпадают; поэтому 6 зависит только от алгебры Ли д группы 6, и вместо ВО можно писать Вд. Каноническое отображение В6ь в ВО является (с точностью до гомотопни) расслоением со слоем Вд. Применив спектральную последовательность Серра для расслоений, получаем, что гипотеза Милнора эквивалентна Н,(Вд, Г ) =О при простом р и 1> О. Эквивалентная формулировка; Н,(Вд, г,) есть векторное пространство над Я (отметим аналогию с результатами п.
3.1, где показано, что П(Е) — это векторное пространство над Я). Кассел и Лодей сообщили мие следующую гипотезу (или вопрос): Группы Н;(Вд, У) и Н; (д, О) изоморфны для любого целого() 1. З десь Н,(д, Я) обозначает 1-ю группу гомологий алгебры Ли д, рассматриваемой как алгебра Ли над Я и действующей нулем на Я. Вот несколько фактов в поддержку этой гипотезы.
а) Предположим, что группа 6 пильпотептпо и односвязна. Пространство группы 6 стягиваемо, поэтому то же самое верно и для В6. В этом случае пространства Вд и ВОь имеют одинаковый гомотопический тип, откуда Н;(Вд, г~) = Н,(6, л,). Однако Хефлигер [46) определил изоморфизм Н,(6, л,) на НУ(д, Я) (другое доказательство см. в [44) ). Ь) Суслин [43) показал, что ') К;(С) = т'„Яь)/л., если ( нечетно; если 1 четио, ') Случай У = 1 (где К~(С) Сь)тривиален, случай у = 2 известен уже давно. где )У, — векторное пространство над О. Применив +-конструкцию Квиллена к упомянутому выше расслоению, получаем расслоение (Вд)' (ВО') ВО.
Рассмотрим точную гомотопическую последовательность, ассоциированную с (Р) в случае, когда О=-И.(С)=1ппОЕ„(С). Известно (периодичность Ботта), что тп(ВО) равно г. при четном ( и нулю при нечетном. Согласно определению Квиллена, тп((ВОа) ь) = К;(С ). Рассмотрим, наконец, гомотопические группы (Вд) ', Есть веские основания полагать, что это векторные пространства над О; по теореме Милнора — Мура и;((Вд)+) будет примитивной частью Н;((Вд)+,4~); последняя группа равна Н;(Вд, Я) согласно +-конструкции. Примяв указанную выше гипотезу, получаем Н,(Вд, Я) = Ну(д, О) . Однако, согласно Лодею — Квиллену (см. мой доклад № 62!О), примитивная часть Н;(д,(~) изоморфна циклическим гомологиям НСу ~ (С) поля С, рассматриваемого как алгебра над Я. Теперь, собрав все вместе, получаем гипотетическую точную последовательность НС',Д НС,'(С)" Кт„(С) НСЕ,Д Если заметить, что НС; (Ж) равно и, или О при четном и нег четном ь', то мы (гипотетически) определяем группу Суслина.
Наконец, имеется несколько общих результатов о группах гомологий Ну(д, О). Если д равно д1„(Р) или 31,(С), то по цитированным результатам Лодея и Квиллена эти гомологии связаны с циклическими гомологиями. Очевидно, чтоН,(д, Я) =О, а НУ(д, Я=дт[д, о[. Рассмотрев частный случай результатов Кассела и Катлиио, получаем изоморфизм Нз(д, (~)=~Ыс%, Нз(д, Я) =Я в случае, когда д — простая расщепимая алгебра над Р, причем в случае Н, не изоморфная и1,.
4.3. Если помечтать... В настоящий момент не удается определить гомоморфизм Е, из НС; (С) в Кьу|(С). Похоже, что при 1 = 1 он связан с дид логарифмом. В этом случае он был бы связан с вычислением объемов тетраэдров с прямым трехгранным углом в сфериче- ') См. примечание иа стр. 27. — Прил, иерее. 4 вуоаьеи П. Картье рагоиение многогранников з« Таблица 11 Теорема Пифагора «а) А З У р В с ской геометрии (см.
(531); к тому же функциональное уравне- ние для дилогарифма может быть доказано с использованием аддитивности объема... Таблица 1 Некоторые предложения Евклида 1.34. Треугольники АВС и ВСВ в параллелограмме АВСВ кон- груэнтны 1. 35. Параллелограммы АВСВ и ВСгЕ эквивалентны (треуголь- ники АВЕ и СВЕ конгруэнтны; отрезаем треугольник ВСЕ, за- тем добавляем треугольник ВВС к двум треугольникам АВЕ и СВР) . 1.37. Треугольники АВС и ВВС эквивалентны, если прямая А1г параллельна ВС.
(Треугольник АВС вЂ” это половина параллелограмма АЕВС, тре- угольник ВВС вЂ” это половина параллелограмма ЮВС по 1.34, а параллелограммы АЕВС и ЕВВС эквивалентны по 1. 35.) «ь1 «о1 (а) Способ Евклида, (Ь) способ Лежандра, (с) традиционный китайский и индийский способ. Таблица 1П Разбиение площадей Треугольники АВЕ и СС'Е конгруэнтны, то же самое для треугольников АОЕ и ВВ'Е, поэтому треугольник АВС эквивалентен прямоугольнику ВВ'С'С. П. Картье 53 Разбнгннг многогранников Случай добавления и Случай удаления КОММЕНТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА В. Решение третьей проблемы Теорема Фалеса: прямоугольники АВСг) и АВ'С'г)' эквивалентны, если прямые В/)' н В'Т) параллельны.
Таблица 1Ч Тетраздр Р= АВС0 разбивается иа: тетраэдр Р' = АВ'С'0'1 тетраэдр Р" = СС'ВнЕ)"; призму ВВн/В'С'17', призму СВнВ" Ю'О. Р' гомотетичен Р с отношением и = С'А/СА. Р" гомотетичен Р с отношением 1 — 1= = С'С/СА. Каждая из призм ВВн/В'С'/)' и СВн[)"!ОР эквивалентна 1/8 большой призмы П = АЕРВС/2. Тетраэдры Р =АВ'С'Е)' и Рн=СС'Вн0' равны и гомотетичиы Р с отношением 1/2.
Если принять, что объем однороден с весом 3, то чо1 (Р') = чо1 (Рн) = 1 = — чо1(Р), откуда легко выводится 8 чо1(Р) = — чо! (П). г[. В. Евклид и Лю Хуэй продолжили процесс уменьшения в 2 раза и в использовали соображение, эквива- 1 1 1 лентиое формут 4 + 4' + 4«+ ' ! 3 ' Я не повторяю ссылок из моего предыдущего доклада № 621 '). А.
Работы общего характера 1. Ьолтянскнй В. Г, Треп я проблема Гильберта. — Мк Наука, 1977. 2. Вгочгбег Р. Е. (Ебпог). Майетаиса! Т)ече1оршеп(з Аг!в!пк Ргрк Н1!Ьег1 РгоЫмпв, Ргос. Бушр. Риге Ма1Ь., Чо!. ХХЧ!11 (!п 1«чо раг1в), Ашег. Май. Ьос., РгочЫепсе, 1976. 3. Еис!Ы. ТЬегЫг1ееп ЬооКз о1 Еисиб'з Е1ешепгв. Ргезеп14з раг Т. 1. Неай, еп 3 чо1., !)очег. Нечг УогК. 1976. [Ср. Евклид. Начала Евклида. В 3 т.— М. — Лг Гостехиздат, 1949 — 1950.1 4. Ребе«1со Р.
3. Г)евсаг1ез оп Ро!уьебга (А в!иду о1 йе «1)е Бо1Ыогигп Е1егпеп1Ы»), Зрппиег, Вегпп, 1982. 5. Набы)нег Н. Чог1езипкеп ВЬег 1пьан. ОЬег1!асье ипд 1зорепгпе1г!е, Брг!пбег, Вег1!п, 1957. 6. Н11Ьег! !Т. Сезапппепе АЬЬапб)ипнеп, !п 3 чо(., СЬе!веа, Не«ч УогК, 1965. 7. Н1!Ьег1 1), Сгипб!аяеп бег Оеоше1пе. Н' ед., ТеиЬпег, 51и11иаг1, 1968. 8. 1.аКа1оз !. Ргоо!з апб ге(и(а1!опв (ТЬе 1ои)с о1 тайетапса! 41зсочегу). СагпЬг!Йяе ()п1чегзну Ргезз, Сагпьг!бае, 1976. 9. 5аЬ С. Н. НИЬегГз 1ыгд ргоЫет: вс!!ввогз сопкгиепсе, Раап, 1лпдоп, 1979.
1О. Вг!сагб й. 5иг ипе Чиев11оп бе иеотегпе ге!а1пие аих ро1угежгев, Ноич. Апп. Май., 15 (1896), 331 — 334, 1!. !Тевп М. (Тьег гаишя!е!сье Ро1уедег. Ыасьг. АКаб. й)!зв., С5111пбеп Май — РЬув. К1. 1900, 345 — 354. ') См. примечание на стр. 27. — Прим нарев. Н. Картье 12. 0еЬп М ОЬег деп Лашп1пЬаИ, Ма(Ь. Апп., 55 (1902). 465 — 478.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
