Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404)
Текст из файла
МАТЕМАТИКА НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОИ НАУКЕ РЕЛАКТОРЫ СЕРИИ: Ю. И. МАНИН, С. П. НОВИКОВ ТРУДЫ СЕМИНАРА Н. БУРБАКИ за 1991 г. СБОРНИК СТАТЕЙ Перевод с английского и французского под редакцией В. А. ВАСИЛЬЕВА и М. И. МОНАСТЫРСКОГО МОСКВА «МИР«1998 УДК 517+ 514 ББК 22.16+ 22.151 Т77 Труды семинара Н. Бурбаки за 1991 гс Сб. статей: Пер. с Т77 англ. и франц. /Сост.
В. А. Васильев н М. И. Монастырский.— М: Мир, 1998. — 413 с., нл. БВХ 5-03-003259-2 Продолжение публюсапии трудов известного семвиара Н. Бурбаки, начатой издатеяьством «Мир< в 1990 г. В очередной выпуск включены доклады, посвященные новейшем достижениям в различных областях математики: алгебраической геометрни, современной математическок физики, теории динамических систем и др.
Среди авторов такие известные французские математики, кзк Ж.-П. Вургикьок, Ж,-К. Йоккоз, О. Матье и др. Для математвков разных специзльностей, аспирантов и студентов. ББК 22.16+22.151 и Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований согласно проекту 96-01-14108 Редакция литперотпуры по матпематпическим наукам © Бос1еЫ Ма<абша«т<гие де Ртапсе, 1991 Тооз дго!тл гбзы«т4е © состав. В. А.
Взсильев, М. И. Мона- стырский, 1998 © перевод на русский язык, <Мир<, 1998 18ВЯ 5- ЕЗ-ООЗ259-2 (рус.1 СЕМИНАР Н, БУРБАКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» Настоящим сборнкком продолжается издание на русском языке трудов семинара Бурбаки (сборники «Труды семинара Н. Бурбаки за 1988 гл, «Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г. ° н «Труды семинара Н.
Бурбаки за 1990 гл были выпущены в 1990 г., 1991 г. и 1996 г. соответственно). Прочитанные на зтом семинаре доклады традиционно отличаются высоким научным уровнем и отражают широкий спектр современных математических достижений. Большинство тем, затрагиваемых на семинаре Н. Бурбаки, в течение многих лет остаются актуальными и актийно развиваются.
В настоящий сборник вошли доклады по алгебраической геометрии (Ж.-Б. Боота, Ж. Денефа, Ф. Лезера), теории представлений (Г. Эньяра, О. Матье), современной математической физике (М. Россо, Ж.-П. Бургиньона), топологии (А. 11»амзна, Ж. Сканда- лиса, Ж.-К. Сикорава), теории динамических систем (Ж.-К. Йоккоза, Ф. Комеца, П.. Папою) и др. В целом сборник будет способствовать ознакомлению российских специалистов с достижениями мировой науки. Пользуемся случаем выразить благодарность ряду авторов, любезно прочитавших рукописи переводов своих статей и приславших замечания.
В. А. Васнльев, М. И. ««»онасп»ырскнб ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ Жерар Бен Ару'! Введенне Мы дадим обзор некоторых новых результатов о геометрии траекторий плоского броуновского движения. По существу мы выбрали, с одной стороны, результаты Питмана и Йорг о поведении при 1 -т оо некоторых броуновских функционалов, таких, например, как время, проведенное в данном множестве, или число оборотов вокруг одной или нескольких точек, и, с другой стороны, результаты о геометрии броуновской кривой в конечные моменты времени; последние мы взяли в основном из лекций Ле Галдя в Сзн-Флур. Мы советуем всем заинтересованным читателям ознакомиться с этим очень насыщенным и ясно написанным курсом.
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ПЛОСКОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ Напомним вкратце некоторые основные свойства. Всюду ниже через (Вс)с>о обозначается плоское броуновское движение, начинающееся из точки ге В С, т.е. случайный процесс Вс = Всс + тВсз, параметризованный временем 1 Е Н+, с почти наверное непрерывными траекториями, такой, тго: а) Вв = го почти наверное; Ь) вещественные процессы (Всс)с>0 и (Всз)с)о независимы; с) для с б (1,2) и для всех О < 11 « ° ° С„случайнвл величина Вс — Вс, не зависит от (В,',,..., В;,) и имеет нормальное распределение с нулевым среднкм и дисперсией $а — $„1 .
1.1. Конформная ннвариантность и косое произведение. Ясно, что образ броуновского движения при изометрни является броуновским движением. Леви следующим образом обобщил этот результат: Теорема 1, Если у — голоморфное отпображснис отнкрытаого множестнеа У иэ С в С (иричем го Е ст') и ттт = $пс (с ) )О, Вс К ст'), то существует броуновское движение (Сс)с)о, такое, чово 7(Вс) = Сттт длл всех 1 Е [О, гтт[, где Ц = [0 [~'(В )[2 де. т! Веп Агапа сгегагс!. Стогов!не сте !а сопгье Ьготтп!еппе р!апе. — 3втп!пыге ВопгЬатсс, 1990-91, пгтзо, Аемнв!пе, 201-202-203, 1991, р. 7-42. ГЕОМЕТР<Я Г»ЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 7 Этот результат доказывается просто: если у = д +»Ь, то функции д и Ь гармонические н д(В»), Ь(В») — локальные мартиигалы.
Формула Ито и уравнення Коши-Римана показывают, что этим локальным мартингзлам соответствует один и тот же возрастающий процесс У«и что процесс (д(В«), Ь(В»)) нулевой. Это влечет за собой существование двух независимых вещественных броуновских движений А и В«, таких, что д(В«) =1»и,, Ь(В«) =Ви, при» Е [О,ти[. П Отсюда выводится представление плоского броуновского движения в виде «косого произведениям цри хо ~ 0 существует комплексное броуновское движение ~« = Р» +»В», начинающееся в нуле и такое, что В« = хо югр ~и„ где Г««гв / Г" У« = / — =1пГ'[и > О,/ ехр(2В»)до > г ]В,]о Итак, если В« = ]В«! и ф(Г) обозначает непрерывную версию аргумента агяВ«процесса В», такую, что ф(О) = агихо Е ] — »г, »г], то В» = [хо]ехр)ги, н Ф(Г) = Ви,. Следовательно, ф(С) — вещественное броуновское движение, у которого время Г изменено некоторыми независимыми «часами» (в данном случае У«).
Из этого представления совсем просто выводится, что (а) плоское броуновское движение возвратно, т.е. для любого открытого множества Р С С почти наверное для любого Г существует Т>о,такое,что ВТЕВ; (Ь) 11шопр»-»««Ф(Г) = +со и 1ппш1«-«««Ф(Г) = — ао с вероятностью 1. Действительно, Щ»! = ]хо]ехр)7и, и 11ш»-»о У« = +со.
Поскольку 11швпр„В„= +ос и 11шшд„+ В„= -оо, утверждение (а) справедливо для шара Р с центром в нуле, а этого достаточно, чтобы доказать (а), Кроме того, Ф(г) = Ви, и У» ~ оо, откуда следует (Ь). В связи с этими двумя свойствами плоского броуновского движения возникают два существенных вопроса. С одной стороны, траектория плоского броуновского движения бесконечно много рзз посещает любое открытое множество В С С. Можно спросить, какую долю времени она в нем проводит, или, точнее, каково асимптотическое поведение ] 1щоп Вв при г -» оо. Ответ » давно известен: зто время имеет порядок 1оя 1. Более подробное изложение этон теоремы, принадлежащей Кмлианвуру и Роббинсу, см. ниже, в и.
2,4(Ь). С другой стороны, утверждение (Ь) показывает, что броуновское движение «совершает бесконечно много оборотов вокруг нуля при Жерар Б«н Ару с;+ со«. Можно также исследовать точное асимптотическое поведение функции ф(1) при « — > оо. Ответ дает теорема Спитцера: 14(1) имеет порядок 1оя$; подробнее см. ниже и. 2.4(а). Питман и Иор создали чрезвычайно гибкий метод, позволяющий, во-цервых, показать, что эти две теоремы (Каллианпура-Роббинса и Спитцера) выражают два аспекта одного и того же явления, и, вовторых, существенно обобщить их формулировки.
Обзор этих результатов содержится в равд. 2. 1.2. Хаусдорфова размерность броуновской кривой. Броунов- ская кривая (В„в е [О, со[) имеет меру нуль. Действительно, п«((В„э Е [О,со[)) = /«АР(Т„<оо), где Т„= 1пГ(э, В, =у). Но Р(Т« < оо) = О для всех у ~ эе (т.е. эти точки являются по-. лярами). Тем не менее можно проверить, что хаусдорфова размерность этой кривой равна двум. Более точный результат сформулирован ниже, см.
п. 3.2. Леви [Ье4] так объясняет различие между броуновской кривой (меры нуль) и кривой Пеано: «Чтобы заполнить область траекторией броуновского движения без бесконечно больших осцилляций, потребовались бы методичные действия, которые случаи не может осуществить». В частности, броуновская траектория много раз сама себя пересекает.
Из работ Дворецкого, Эрдеша и Какутани известно, что у нее существуют кратные точки любой, как конечной, так и бесконечной кратности. В равд. 3 мы изложим новые результаты о самопересечениях плоской броуновской кривой, подчеркивая основной рабочий инструмент: локальное время самопересечения,т.е. случайную меру Радона, сосредоточенную в моментах кратности. Близко связан с предыдущим вопрос об объеме трубчатой окрестности броуиовской кривой. Мы коснемся его в равд.
4, не останавливаясь, однако, на результатах о болыпих уклонениях (которые были затронуты Шнитманом в его докладе на семинаре Бурбаки в феврале 1987 г.; см. также [ПЧ)). Наконец, в равд. 5 мы покажем, насколько сложна геометрия броуновской кривой, приведя новые результаты относительно выпуклой оболочки, связных компонент дополнения и точек разреза этой кривой на конечном отрезке времени.
Как сказал Леви по этому поводу (цитируя Лейбница), «Скорее наше воображение устанет постигать, чем природа — предоставлять«. ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ Введем следующие обозначения: В1„„1 — броуновская траектория между моментамк времени и и ьч В1 „1=(В«яЕ[о,о]) прнО(о(о; п»(А) — мера Лебега множества А; Р(а, г) — круг в С радиуса г с центром а, Р = Р(0, 1); Тл = 1п( (1, В» Е А) — время достижения множества А броуновской кривой В«. 2. ЧИСЛО ОБОРОТОВ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Питман и Йор ([Р»'1] и [Р1«2]) выделили в доказательствах двух самых важных теорем о поведении на большом отрезке времени плоского броуновского движения (т.е.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
