Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Группы СН«'в т, СНР и та. д. также функториальны по Х, и точные носледоватаельности (2.2.1) и (2.2.2) — тпочные последоватпгльности функ«воров. '>Через ст(Ь) обозначен первый класс Чиввл рзсслогюы Ь в СН«(Х), т.е. клзсс лввейяай зквввзлввтвоств лвввзорз бг«(«) . Жен-Б«нуе пест 48 (2) Прямой образ по отношению к собственному морфизму. Длл любого собственного морфизма у': Х -«У отпноситаельной размерности д, тпакого, нтпо ус: Хс -«Ус — гладкий морфизм, существует ° -в морфизм абелевых групп у»: СН (Х) е СН (У).
При этом выполнлетпсл формула проекции ),(х.у'(у)) = у (х), у дт * дг — — дтбхэ»с» + ьт(2», дт) дг шод (пп И' + пп дн) . (2.4.1) Формально зто равенство влечет за собой дд'(дт дг) = дд дтбя ~с~+ (лт дт)дд дг =( — бх,~с)+от% дт))бх,(с) + ьт(А, дт Н вЂ” блНс) + ьт(2г, дг)) =. ьт(8», дт) ьт(2г, дг) — бх»(стт»хе<с) .
(2.4.2) Чтобы придать этим формулам смысл, необходимо преодолеть трудности двух типов: (3) Мультипликативнея структура. Вектпорное ье-пространство СН (Х) снабжено структурой градуированной коммутпативной алгебры с единицей. Под действием отображения ь этна мультпипликативнав стпруктпура переходит в мультипликативную стпруктуру на СН'(Х)сг, заданную пересечением классов алгебраических циклов, а у»од дейстпвием отпображенил ьт — во внешнее умножение дифференциальных форм. Кроме того, она совместпима с функтаорами обратпного образа. Чтобы строго построить зти мррфнзмы н мультипликативную структуру, приходится преодолеть многочисленные технические трудности.
Эвристически зтн отображения определяются следующими формулами: ° У'[(Я,д)] = [(1 '(2), Яд)], если 1 трансверсально к Я, т.е. если сод1шу' '()2)) = со«Нш)В). ° т'»[(Я, 9)] = [(т»Я, 1стд)] [(Вт дг)][(ог дг)] = [% С1 Вг,дт е дг)), если Ят н лг пересекаются трансверсально, т.е. содпп)Я~) й )Я~) = сойпп)Я~) + сотйш)Яг). В этой формуле 3» ПЕг — цикл коразмерности сойпп)Я»)+содпп)2г) с носителем в ) Яд) П) Яг), причем кратности даются «формулой Тот'овэ Серра (см. [ое]), а дт * дг — «*-произведение» классов дт й дг, т.е. поток 1)тина для Вт П Ег, «определенныйэ в терминах представителей дт и дг классов дт и дг формулой АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 49 ° Аиалив»ические в»рудносп»в: для того чтобы придать смысл формуле (2.4.1), необходимо определить произведение потоков д»бз»«О) .
На самом деле Жилле и Суле показывают, что в качестве представителя д, класса д» можно выбрать такую форму Грина, что интегрирование по гладкой части пространства Нз(С) ~ [л»(С) ~ с весом, заданным ограничением д», действительно задает поток и вычисление (2.4.2) приобретает смысл. Для этого они вводят класс форм Грина с «хорошими» особенностями (формы Грина «логарифмического типа»).
С помощью таких форм они также доказывают различные свойства «-произведения, например ассоциативность и коммутативность. ° Алгебро-геомеп»рические «лрудносв»и: для того чтобы определить, например, умножение на СНХ' при помощи приведенных вьппе формул, следовало бы иметь в распоряжении «лемму о сдвиге», которая гарантировала бы, что, заменяя при необходкмости циклы на Х на рационально эквивалентные, можно предполагать, что они пересекаются трансверсальнщ Это верно на общем слое Х41, так как этот слой — гладкое квазипроективное многообразие над ь4 и к нему применима классическая лемма Чжоу о сдвиге. К сожалению, для циклов на арифметическом многообразии корэзмерности ) 1 аналогичный результат неизвестен. Эта трудность появляется уже при попытке определить умножение на СН'(Х), и ее можно преодолеть после тензорного умножения на С4 с помощью следующей конструкции, использующеи К-теорию (см.
[Я1, СБ4]). Пусть Я» и Уз — два цикла на Х кореэмерностей р» и рз, и пусть они пересекаются в Х«1 трансверсэльно. Для любой замкнутой подсхемы У в Х обозначим через Ко (Х) К-теорию многообразия Х с носителями в У, а через Ке (Х)®, у' Е )ч, часть группы Ке (Х)«Э веса у по отношени»о к операциям Адамса. пусть [л«] е ко Й (х)»Р«) — класс цикла л«, и пусть л е Яю~ю(Х)41 — цикл с носителем в [2»[ Г1 [Хз[, образ которого в Кр~ И~~ И(Х)ба+в'~ совпадает с компонентой веса р» + рз произведения [л«]. [Яз]. Тогда класс цикла 2 в СНю+ю(Х)41 определяет «произведение-пересечение» классов циклов л» и Уз в СН'(Х), и если д» и дз — потоки Грина для л»(С) и лз(С), то арифметический цикл (л, д» * уз) определяет произведение в СН (Х)ц классов (Х~,д~), (людз) в СН (Х).
Отметим, что произведение двух элементов из СН (Х) можно определить в СН (Х) и без тензорного умножения на ь4, если один из этих элементов имеет степень 1 или если Х вЂ” гладкая схема над кольцом целых числового поля (используя конструкцию Фулто[ГА»]). Жан-Бенуа Бост 50 Наконец, отметим следующие формулы: а(0) С = а(удо(С)), (2.4.3) а(О) а(ту') = а(аа'уу. 0') (2.4.4) = О, если и или 0' д-, а- или бн-замкнута. 2.5. Арифметическая степень и высота циклов. В случае когда К = ьс, точная последовательность (2.3.3) превращается в иэоморфизм а: К -~ СН (БресЕ). Легко проверить, что с учетом отождествления СН (Ярес Е) — + Р1с (Ярес Е) изоморфизм, обратный к 2а, переводит класс линейного эрмитова расслоения Е над БресЕ в его аракеловскую степень бек Ь. Обозначим этот обратный изоморфизм через де~: СН (ЯресЕ) — у К.
Пусть Х вЂ” такое арифметическое многообразие, что морфизм у: Х -у Ярес Е собственный, и пусть И вЂ” относительная размерность морфизма у (таким образом; уабсолютнаяу круллевская размерность многообразия Х равна И+ 1). Тогда можно рассмотреть композицию отображения аракеловской степени дед с отображением у.: СН (Х) -у СН (ЯресЕ). Эта композиция называется оуаобраэсеивем арифмеуавческов сулепени де⻠— — бек о у.: СН (Х) -+ К и представляет собой арифметический аналог отображения деку. СН~(у') + Е, определенного длялюбого многообразия размерности д, собственного над полем.
Если Х вЂ” спектр кольца целых числового поля К, то беи» совпадает также и с аракеловской степенью зрмитова линейного расслоения над Яресбк. В общем случае арифметический цикл коразмерности Ы+ 1 на Х имеет вид (2,, и;Р;, д), где Ру — замкнутые точки многообРаэил Х, а д Б Ан н(Хн), и аРифметйческал степень выРажаетсЯ Жан-Бенуа Баст Р=О,то / ]Р(г,..., ~)] "о( )(') = Ао(ц(рг) + ~ 1об к'"' рз. Рн(с] (2, о ]г<] ) Уз Высота Ь,~,~ проективных многообразий используется в (Ра2], а также в теории трансцендентности (см. [ЯЗ, Рп]).
2.6. Многообразия Аракелова. В ситуации, когда общий слой арифметического многообразии Х проективен, для изучения потоков Г)~ива на Х(С) естественно использовать теорию гармонических форм. Именно это делал Аракелов в своих работах по арифметическим поверхностям. В общем случае для этого вводится следующее определение: Определение 2.5. й1ногообразием Аракелова называется пара Х = (Х, ы), состоящая из арифметического многообразия Х с проективным общим слоем Хс1 и коларовой формы ю на Х(С), такой, что Р;,м = — ы.
(Это условие означает, что риманова метрика, заданная формой м, инвариантна относительно Е,„> .) Итак, пусть Х вЂ” многообразие Аракелова. Проекция пространства АР Р(Х(С)) на гармоническую составляющую ЯР"(Х(С)) пропускается через отображение из А" Р(Х(С)) на НР "(Х(С)) . Обозначим через Я.с (Хн) пересечение ядра этого отображения с АР Р(Хн) . Определим р-ю группу Чзкоу-Араке ьова многообразия Х как подгруппу СН" (Х) = '(И (Хн)) р Р в СН (Х) . На самом деле это прямое слагаемое в СН (Х): из утверждения (3) предложения 2.1 следует, что имеется иэоморфизм СНР(У) Ю Я'сР 'Р '(Хп):-> СН (Х), с 9 и нв с+ а(ц) . Точная последовательность (2.2.1) переписывается в виде СНР' '(Х) -~ р(Р '" '(Хн) ~ СН (Х) + СНР(Х) -+О.
Положим сн*(х) =®сн (х). р>о В частном случае, когда Щ оНР'Р(хн) является подалгеброй в ® >оАР Р(Хн), например, когда Х(С) — кривая, гбелево многообразие или эрмитово симметрическое пространство (такое, как проективное пространство или грассманиан), СН'(Х)ц' — подалгебра в АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ * СН (Х)о . Однако следует помнить, что в общем случае — например, для полных пространств флагов — зто не так. Из-за отой трудности нельзя ограничиться группой СН Х и приходится рассматривать «утолщенную» группу СН (Х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
