Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. полями рациональных функций на алгебраической кривой, определенной над полем). Свидетельством тому служат, например, работы Дедекннда и Вебера по алгебраическим кривым и двенадцатая проблема Гильберта. В первой трети ХХ в. эта аналогия была пополнена наблюдением, что она становится более удовлетворительной, если рассматривать наряду с простыми идеалами кольца целых сгк числового поля К и соответствующими вложениями поля К в р-адические цоля также и вложения поля К в архимедовы поля В. и С (вбесконечные точкие поля К). Это наблюдениез] стало ключевым моментом в определении аделей числового поля и, таким образом, оказавось необычайно продуктивным. В то же время поиски функциональных аналогов для проблем диофантовой геометрии (таких, как изучение рациональных точек многообразия, определенного над числовым полем) вызвали интерес к многообразиям, определенным над полем функций одной переменной й(С), связанным с кривой С над полем й.
Для того чтобы изучать такие многообразия У, для них выбирают модель над С, т.е. многообразие У, которое снабжено плоским морфизмом У -+ С, определенным над й, причем У изоморфно общему слою этого морфизма. Если У имеет размерность и над й(С), то размерность многообразия У над й равна и+1. Именно поэтому изучение кривых над й(С) требует использования теории повсрхноспсей над й (Манин, Грауэрт, Самюэль). с!Воег Леан-Веной.
ТЬвопе де 1Чпгегеесг!оп еС СЬвогьгпе бе В!егоавп-Весь апСЬ- псвс!чпее. — 84гп!пыге ВопгьаЬ1, 1990-91, оеу31, Азсвпечое, 201-202-203, 1991, р. 43-88. з!По-видимому, первымв, кто понял, как важно рассматрявать одновременно все точки числового полл, и ковечные, я бесконечные, былв Гензсль и его ученик Хассе. В любом случае первое левое упоминание о глобальных результатах, аналогичных кзассяческвм результатам о рнмановых поверхиостлх в учитывавглях есе точки чяслового полл, встречавгсл, яасколько пам известно, в статье Вейлл (тггЦ 1939 г.
Немного позже, в письме к сестре (ЪЧ2, р. 232], Вейль приписывал открытие роля бесконечных точек Хассе илн Артяну. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 3тот подход можно использовать и в изучении многообразий У над числовым полем К. В этом случае моделью для У будет схема У, плоская над Ок и такая, что У ЭО„. К изоморфно У.
Если, например, У вЂ” кривая, то У вЂ” схема (абсолютной) размерности 2, называемая ариФметическоб повгрзиостъю (Шаафареви, Лихтенбаум). Способ включить прн этом в рассмотрение и бесконечные точки поля К был открыт (по крайней мере в случае, когда У вЂ” арифметическая поверхность) Аракеловым: нужно использовать эрмвтоеу геомгшрвю комплексно-аналитической кривой У(С) . Именно так, снабжая У(С) кэлеровой метрикой, а линейные расслоения над У (точнее, полученные из них голоморфные линейные расслоения над У(С)) — эрмитовыми метриками, Аракелов, а затем Фельтингс перенесли на арифметические поверхности многие иэ классических теорем теории поверхностей над полем (см. [А1, А2, Ра1, Яз, Ба2] и доклад на семинаре Бурбаки и' 713). Идеи ев духе Аракеловае также сыграли важную роль в доказательстве Фальтингса гипотезы Морделла (см.
доклады на семинаре Бурбаки и' 616 и 619). В этой статъе мы даем введение в работы Жилле и Суле, которые обобщили эту егеометрию Араксловае на многообразия произвольной размерности. Они построили теорию пересечений на общих еарифметнческих многообразияхе, а также теорию характеристических классов для эрмнтовых векторных расслоений над ними. Затем, используя работы Бисмю и Лебо [В1 1, ВЬ2], они доказали «арифметическую теорему Римана-Рохгэ [6310]. Мы попытаемся дать лишь общее представление об этих результатах, не приводя их в наиболее общем виде и опуская доказательства, зачастую весьма технически сложные. (Настоящее доказательство теоремы 4.2 использует результаты статей Жилле и Суле [СВЗ-687], Бисмю, Жилле и Суле [ВСБ1-ВСБЗ], Бисмю [В11-В!2] и Бисмю и Лебо [В11-ВЬ2].) Мы сосредоточвли внимание на основах теории пересечений и арифметических характеристических классах и почти ничего не говорим о результатах из аэрмитова комплексного аналнэае, касающихся аналитического кручения, которые играют ключевую роль в доказательстве и сами по себе заслуживают отдельной статьи.
Геометрия Аракелова в высших размерностях уже получила ярчайшее приложение — новое доказательство гипотезы Морделла, данное Войтой [У]. Арифметическая теория пересечений также играет важную роль в недавних работах Фалътингса по диофантовой аппроксимации в абелевых многообразиях, где она используется для того, чтобы приписать высоту подмногообргзиям проективного пространства [Ра2]. Закончим введение несколъкими историческимк замечаниями. Ж»н-Бену» Босу Определения арифметических групп Чжоу и их мультипликативной структуры обобщают определения, введенные Аракеловым [А1] и Делинем [11е) в случае «арифметических поверхностей».
Частные случаи «арифметических пересечений» в относительной размерности > 1 рассматривались также Блохом [В1) и Бейлинсоном [Ве1, Ве2]. Что касается арифметической теоремы Римана-Роха, тр она обобщает на высшие размерности результаты Фальтингса [Ра1] к Делиня [Бе) по арифметическим поверхностям. Более отдаленные истоки «аракеловской геометрии» можно проследить а работах Бейля по арифметике кривых и алгебраическнх многообразий, в которых он, развивая «кронекеровский» подход к арифметической геометрии, вводит «высоты» и «распределения» (см.
статью [%3] и цитированную в ней литературу). Несомненно, определяющую роль также играли работы Нерона и Тэйта по высотам на абелевых многообразиях и их локальным разложениям (см., например, [Т,а1)), которые давно уже стали архетипом точной теории высот. Наконец, нельзя переоценить роль русской школы Шафаревича, вз которой и вьппел Аракелов (см. по этому поводу обзорные статьи Паршива [Р] и Манина [М]). ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.1.
Определения и обозначения. Определение 1.1. Арифметическим многообразием называется целая регулярная схема Х, плоская и квгзипроективная над 2. Через Р обозначается антиголоморфная инволюция комплексного многообразия Х(С), индуцированная комплексным сопряжением.
Эрмитовым расслоением над комплексно-акали«лическим многообразием Р называется набор Е = (Е, Ь), состоящий из голоморфного векторного расслоение Е над Р и эрмитова скалярного произведения Ь на слоях расслоения Е класса гладкости Сее. Эрмитиовым расслосниаи над арифметическим многообразием Х называется набор Е = (Е, Ь)» состоящий вз локально свободного Сл-модуля Е на Х и эрмитоаа скалярного произведения И на голоморфном векторном расслоении Е(С) над Х(С) класса гладкости С ,инвариантного относительно Р Заметим, что всякая целая регулярная схема Х, плоская и квазипроективная над кольцом целых числового поля, является арифметическим многообразием.
Пусть Е = (Е, Ь) и Е' = (Е', Ь') — эрмитовы векторные расслое. нив над комплексно-аналитическим ияи арифметическим многообразием. Тогда можно определить прямую сумму ЕЮУ = (ЕЮЕ', ЬЮЬ') (где через Ь Ю Ь' обозначена ортогональная прямая сумма метршс АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 37 Л и Л') н тензорное произведение Е 8 Е' = (Е ® .Е', Л ® Л'). Через д)ег Е будем обозначать высшую внешнюю степень д)ес Е расслоения Е, снабженную метрикой дед Л.
Это эрмитово линейное расслоение. Наконец, определим обратный образ у"'Е расслоения Е относительно морфизма у комплексных или арифметических многообразий как расслоение у'Е, снабженное такой метрикой у'Л, что изоморфизмы (ГЕ), ~ Е71,д — изометрии. В дальнейшем мы будем задавать структуру эрмитова векторного расслоения на векторном расслоении Е либо с помощью скалярного произведения Л, либо, что эквивалентно, с помощью эрмитовой метрики [[ [[, связанной с Л формулой []с[[ = Л(и, е)ддг. Через гяЕ мы будем обозначать ранг векторного расслоения Е, а через ад"> — компоненту степени Ь дифференциальной формы, класса когомологий или алгебраического цикла а. Пусть К вЂ” поле, а Е есть Е-модуль; тогда через Ек мы обозначаем тензорное произведение Е 8г К.
Более общо, пусть У' — пучок модулей на 2-схеме Х; тогда через Хк и Ук мы будем обозначать К-схему и пучок на Хк, полученные иэ Х и У' с помощью замены базы Ярес К -д Ярес Е. 1.2. Аракеловская степень (см. [%1, А1] и [Яг, ехр. Ц). В том, насколько важны бесконечные точки в аналогии между числовыми и функциональными полями, легко убедиться, если, например, попытаться перенести на случай числового поля понятие степени линейного расслоения. Пусть К вЂ” числовое поле, Ок — его кольцо целых и ддд, 1 < 1 < гд, — вещественные вложения поля К, а дтд, ед, гд + 1 < д < гд +гд,— его комплексные вложения.
Тогда ддд, 1 < д < гд + тг, — бесконечные двояки поля К, и мы полагаем сд = 1, если 1 <'д < тд, н ед = 2, если тд < д < гд + гг. Пусть Ь = (д, [] [[) — линейное эрмитово расслоение над Х = ЯресОк. Расслоение Ь однозначно определяется проективным Ок-модулем й = Н~(ЯресОк; Е) ранга 1.
Эрмнтова структура на Ъ вЂ” это эрмитова метрика на расслоении Т и над пространством Х(С), инвариантнэя относительно Р . Так как точки этого пространства — это [К:С1] отображений из К в С, то задание эрмитовой структуры на Е эквивалентно заданию эрмитовой нормы [[ []д на каждой из комплексных прямых й Эк С,, 1 < д < тд + гг.
Пусть Р— множество простых идеалов кольца Ок. Для каждого р Е Р обозначим через Мр = д(1ОИ/р его норму, а через ер — соответствующее нормирование поля К. Используя то, что, локально по Ярес О», Ь иэоморфно структурному Ж»н-Б«ну» Бост 38 пучку, можно определить ср(з) также и для сечений з расслоения Ъ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
