Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 2
Текст из файла (страница 2)
теорем Спитцера и КэллианпураРоббинса) общие соображения и выработали образ действий (в двух словах: «взменять шкалу в представлении броуновского движения в виде косого произведения»), который позволил им значительно обобщить упомянутые теоремы и установить их связь с другими вопросами.
При этом они доказали большое число новых результатов и обнаружили область, которая кажется неисчерпаемой. Мы не можем затронуть здесь все аспекты их работ. Мы лишь введем унифицирующий формализм «пределов в логарифмической шкале» (не слишком удачный перевод выражения 1оя-яса)1пя 11ш11) и укажем несколько следствий. 2.1. Пределы в логарифмической шкале: определения.
Обозначим через П(С) пространство непрерывных комплекснозначных функций на [О,со[. .Пусть (ф(/», ы), 1«> О, ы Е П(С)) — случайный процесс и ૠ— измеримая функция на П(С) . Пусть  — броуновское движение, начинающееся в точке аэ ~ О. Через С будем обозначать начинающееся в нуле броуновское движение, входящее в разложение процесса В в косое произведение, н положим при 6 > 0 С. = К Сл" л Будем говорить, что процесс ф сходится к л» в логарифмической шкале (с полюсом 0), если для всякого начинающегося в ле ,-~ 0 броуновского движения В разность ф(А, В) — ~р(С1~1) сходится по вероятности к нулю при 1« -+ оо.
Ясно, что если»1«(«») сходится к «» в логарифмической шкале, то «Р(1») сходится к ~р по распределению. Однако все сходимости по распределению, получаемые таким образом, имеют место одновременно. 1О Жерар Бее яру Можно было бы также определить понятие предела в логарифмической шкале с полюсом, отличным от нуля.
Все сходимости по распределению, получаемые с помощью предела в логарифмической шкале с разными полюсами, также имеют место одновременно. 2.2. Некоторые примеры. Приведем полезные для дальнешпего примеры последовательности случайных моментов времени, которая сходится в логарифмической шкале. Все зти моменты будут иметь вид 1 Уь = йа 0г,. а) Если Ть = 1пЕ(1, Ве — -е""), е б К, то ясно, что у, = ПРО) (где <те = ш1(а, Д = р)) и, следовательно, Уь сходится в логарифмической шкале к ~те (это тавтологня).
Ь) Если Та = еаее, где е > О, то Уь сходится в логарифмической шкале к п„. Этот результат сяужит ключом к теореме Спитцера. При этом он очень прост и устанавливается методом Лапласа (см., например, [1 12]). с) Пусть Аа — аддитивный непрерывный возрастающий функционал конечной массы. Если р > О, то положим Ть = 1п1($, Аа — — ей) . Тогда Уа = -„'а(7та сходится в логарифмической шкале к 1п1(и, Ье(4) = )]ей)(р). Через Ь„()7) здесь обозначено локальное время в нуле одномерного броуновского движения Ф = Ве ь .
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим сначала случай, когда Аа — локальное время с, процесса 1ок]Ва] в нуле, В этом случае Уь = 1п1 (и, Ь„(13®) = «), и очевидно, что Уа сходится в логарифмической шкале к 1п1(н, бе(д) = р) Общий случай сводится к предыдущему частному случаю с помощью эргодической теоремы для аддитивных функционалов [1МК, р.
277]: Аа ]]А]] 1пп — = — . г, гя' 2,2. Логарифмические аттракторы. Пусть Щ, З) — функция времаща и броуновского движения В. Ее можно записать в форме С(й, Ю) = Г(Уа, ~) с некоторым процессом Г(и) = Г(и, ~), Достаточно положить Г(н,),) а(и '(н), хр аи)), Изменением шкалы можно определить процесс Г("1: ГОП(и) = — Г(пзн) . 1 К ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ Следовательно, способ нахождения ГОО по С таков: выражаем функционал С через функцию броуновского движения ~ (которая входит в его представление в виде косого произведения), забываем время Ц, т.е.
заменяем 1 на и, и затем производим изменение масштаба по и. Например, если ф2 — непрерывная версия аргумента процесса Вс, такая, что фо = ггяге Е ] — к, г) (т.е. число оборотов вокруг нуля), то построенный таким образом процесс есть ГРО(и) = — й(а~и) (где й = 1ш~) . 1 й Определение. Говорят, что С логарифмически притягивается процессом 7, если процесс ГРО сходится к 7 в логарифмической шкале, т.е. Грй(~) — 7(~00) сходится к нулю по вероятности в смысле рав-, ноыерной сходимости на компактах. Замечание.
Питман и Йор [Р'2'2) охарактеризовали логарифмические аттракторы среди всех непрерывных процессов как процессы, коммутирующие с изменением броуновской шкалы, т. е. записывающиеся в виде 7(и, Д = ~/й7ф'~">), где 7 — случайная величина. Вот два примера логарифмических аттракторов: 1) для 2' Е (1,2, 3) положим Г2 Гн СЯ = / 1<Л.ЕЛ)дф, И 7Я = / 1д„г,у,ддлз А о где 12 — — )г,со[, 12 =)О,г[, Хг =]О,оо[ (г ) 0) 21 10 со[~ дг ] ооэО[э дг =) оозоо[ ° Тогда С~ логарифмически притягивается процессом 7; . 2) Если С(1) = А~ — аддитивный непрерывный возрастающий функционал конечной массы, то С логарифмически притягивается процессом )Ц[Ь„()2) . Справедлива очевидная, но существенная теорема: Теорема 2.
Если (Ть)г>о — сенгйстао случайныя моментов времени, такое, что К, лл й(2Утл сгодится в логори1Рмической шкале к случайному моменту времени т, а С = (С(1), $>0) — броуновский Яункиионал, логарифмичгски «ритлгиваюшийсл проивссом у = (7(и), и > 0), то гС(Ть) сгодится в логари4мичгской шкале к 7(Г) . Следствие, Если С логарирмичгски притягивавшее проиессо,н 7, то Гв22ТС(1) сводится по распределению к 7(ад) при 1 — > оо. Жерар Бен яру 12 Действительно, теорема и пример 2.2.2 показывают, что -„С(е ) г гл сходится по распределению к 7(ог) . Теперь достаточно положить гг = зг 1об1.
2.4. 'Число оборотов и время, проведенное в области, а) Теорема Спитцера. Пусть ф(1) — непрерывная версия аргумента процесса Вг, такая, что ф(0) = аскар е ] — х, х]. Тогда очевидно, что ф логарифмически притягивается процессом д(и) (мнимой частью броуновского движения (', начинающегося в нуле). Из следствия теоремы 2 и примера 2.2.2 получаем теорему Спитцера [Я 1]: ° — ф(1) сходится по распределению к у(ггг) при $ — > оо.
2 1ок1 Теперь, чтобы получить полную формулировку теоремы Спитцера, достаточно вспомнить, что р(ог) имеет стандартное распределение Коши, т.е. 1пп Р[ — ф(1) ( х) = ) [~1об1 ) У (1+ уа) ' Ь) Теорема Каллианпура — Роббинса. Для аддитивного непрерывного возрастающего функционала конечной массы Аг то же следствие показывает, что 2 ]]А[[ — Аг сходится по распределению к — Т „, (,8) при $ -+ оо, 1ох Ф 2х )(я[1 поскольку А притягивается процессом )Ц[Т„(Д).
В частности, если Аг = /е у(В,)г(а, причем у' положительна,то 2 Г' и ] Дх+ау)дхду ( )4 2х Чтобы получить полную формулировку теоремы Каллианпура-Роббинса [КН], достаточно вспомнить, что величина Х „(Д) распределена по экспоненцизльному закону со средним 2. Например, имеем 2 Г' сг пг(.0) — [ 1в,егг4а — + — е, 1 б1), х где В С Н.~ — борелевское подмножество конечной меры, а е— случайная величина, распределеннаа по зкспоненциальному закону с параметром 1. ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ Кроме того, 1 (1, В, 1) — 1,, ())), 1ая г где Ц8, В, 1) — локальное время в единице семимартингала В,(»» |В,|) в момент времени 1.
Па самом деле Ц1, В, 1) (эта величина подсчитывает время, прове- ' денное броуновской частицей в круге радиуса 1 с центром О) является аддитивным непрерывным возрастающим функционалом массы 2я. с) Малые и большие обороты. В условиях следствия теоремы 2 можно исследовать поведение числа «больших оборотов» и числа «малых оборотов» вокруг нуля.
Так, при т > О положим г« ф«-(г) = / 1л,>„г(ф(о) и ф (г) = / 1н,<„ггф(з) . о о Ясно, что зти процессы логарифмически притягиваются к 7«.(и) = )о 1Г«„>о«го(о) и 7-(г») = )о 1Л„<о«го(е). Значит, известно, что пара,—,,(ф«. (»), ф (г)) сходится па распределению к (Иг», Иг ), где И«. = 7~(ггг), И' = 7 («гг). Преимущество представления, которое мы здесь используем, состоит в том, что не нужно ничего доказывать о сходимости распределения поры.
В действительности Питман и Йор уточнили этот результат, введя величину, описываощую переход между малыми и большими оборотами, т.е. локальное время Ь(1, В, 1). Итак, ничего больше не доказывая, мы видим, что — (ф«. (1), ф (Ф), Ь(1, В, 1)) — + (И'«., Иг, Л), 1од « где Г»г Г»« И'+ = 7+(ггг) = / 1Л„>о«го» Иг- = 7-(пг) = / 1Ю„<о«го» о о Л = «», (1») — локальное время процесса г» в нуле в момент «гг . Распределение предельной тройки (Иге, Иг, Л) вычислено в [Р»г1]: а) Л распределена по зкспаненцизльному закону с параметром 2; Ъ) величины И'«и Иг условно независимы при известном Л; с) величина»У имеет условное распределению Коши с параметром Л/2 при условии И'«.
и Л; г)) плотность распределения величины И'+ равна |2сЪ(яю/2)] '. Действительно, прн а > О и Ь, с Е «ьо имеем Е(ехр( — аЛ+ «ЬИг + «сИг«)) = У(2а+ |Ь!, с), Ж<р»р Б<н яру где ( (сЬи+(и/о)еЬо) ' при в ф О, 1(и, о) = ~ ( (1+и) ' при о=О.
В [РУ1] читатель сможет найти значительно лучшее описание велкчин (»У, И'+) с помощью экскурсий броуновского движения <,« —— Д +»й«в верхней и нижней полуплоскостях. <1) ч?нсло оборотов вокруг нескольких точек. Рассмотрим различные точки хо, х«,..., х„. Пусть В« — броуновское движение, начинающееся в го. Рассмотрим углы поворота ф'(е),..., ф" (в) вокруг и точек г«,..., г„. Как н прежде, введем в рассмотрение малые и большие обороты, полагая г' с« ф+(1) = / 11в.-»»1 .;дф'(в) и ф'-(1) = / 1~в.-.д,,дФ(е), о о где г > Π— произвольные положнтельные числа. Для аддитивного возрастающего функционала А< массы 2к верна Теореьеа 3.
(2п+1)-набор +(ф»+(1), ф~ (1); 1 <1 < и; А«) при < -+ со сходится по распределению к (И'+, И'»; 1< «<и; Л), где при каждом у тройка (И'+, И', Л) имеет распределение (И~ь, И~, Л), описанное в предыдуи»ей теореме, и и+1 величин ($К~, И'~,..., И'") условно независимы при условии Л . Итак, предельное распределение задается общим пределом И'+, описывающим «большие обороты», которые происходят в броуновском движении в окрестности бесконечности, и и величинами И", описывающими движение в окрестности каждой точки гу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
