Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(1) Ес|лественное отображение АР'е(У) -+ Вв'Я(У) иньективно. (2) йлл каждого Ф Е ЭР в(У) |И'|о Е А"+ьл+ (У) =Ф |Р Е АР|(У). (3) Если многообразие У компак|лно и колерова, то ограничение канонического о|лображенив РР|(У) -+ бее на прос|лранство 'ИР в(У) гармонических форм |липа (р, д) на У явллетсл иньентивнмм, его образ равен ядру отображения |И', а образ о|лображенил |И' состоит из л-точныг поп|оков в 1|о+ко+|(У) .
Пусть Š— комплексно-аналитическое подмногообразие в У кораэмериости р. Обозначим через бг поток интегрирования по Е, т.е. поток в РР Р(У), определяемый формулой бга = а. Поток интегрирования бг корректно определен и тогда, когда Е— комплексно-аналитическое подмножество в У коразмерности р, даже если множество Е, особых точек множества Е непусто. В таком случае это — единственное продолжение потока благ, на У '! Е, до замкнутого потока порядка 0 в ЭР Р(У), Определение потока бг продолжается по линейности на любые амглитические циклы Л в У.. Пусть у — мероморфная функция на неприводимом англитическом цодмиожестве Г в У коразмерности р — 1, не равная тождественно нулю, Тогда функция 1оя Щг определена почти всюду и локально принадлежит классу Ь! по отнощению к классу мер на Е, отвечающему бг Поэтому она определяет поток 1ойфг.бг в ЭР+'е+'(У).
Этот ноток удовлетворяет уравнению Пуанкаре-Левона |Ис[!об!1~~. бг] = бв;„у, (2.1.1) где через Йу у обозначен дивизор функции у (вредставляющнй собой аналитический цикл коразмерности р на У). Жен-Бенуа Бнет 44 Потоком Грима для аналитического цикла Я коразмерности р на 'у' называется любой элемент д Е Вн 'е 1(у'), такой, что де('д + бг — форма класса Сев. Формой Грима для Я называется любой поток д Е 1>" 1 е '(у') локально класса Ь' на У и класса С на дополнении к носителю [Я] цикла 2 „такой, что дд'д+ бг — форма класса С '. Формула Пуанкаре-Лелоиа показывает, что всякий цикл вида д1у у' допускает поток Грина. На самом деле можно показать, что всякий алгебраическай цикл ма гладком квазипрвекупивмвм комплексном многообразии допускает по крайней мере одну форму Грима.
2.2. Арифметические группы чжоу. Пусть Х вЂ” арифметическое многообразие. Для каждого р Е >ч> обозначим через Х<в> множество целых подсхем в Х коразмерности р, а через Яв(Х) группу циклов корвзмерности р на Х, т.е. свободную абелеву группу, порожденную множеством Х<в> . Будем обозначать поле вычетов точки х многообразия Х через й(х) и для х Е Х<" '> и у Е й(х)* обозначим через о|чу дивиэор функции у; этот дивизор — элемент из ЯУ(Х) . По определению СНв(Х), р-я группа Чжоу многообразия Х; есть факторгруппа группы Яв(Х) по подгруппе ЕР(Х), порожденной циклами вида Йу у, 1 Е >е(х)', х Б Х>У '> .
Обозначим через Звв(Хн) (соотв. Аиг(Хн)) подпространство в Э" "(Х(С)) (соотв. в А" У(Х(С))), образованное такими вещественными потоками Т, что Е' Т = ( — 1)"Т. Обозначим через бв У(Хи) и Ав в(Хи) образы этих надпространств соответственно в Вв г(Х(С)) и в А" н(Х(С) ) . Из предложения 2.1 легко вывести аналогичное утверждение, в котором У заменено на Хн. Арифметическим циклом кврвэмермости р ма Х называется пара (Я, д) Е Яв(Х) йу Вв цл 1(Хн,), такая, что д — поток Грина для аналитического цикла Я(С) на Х(С) . Мы будем обозначать множество арифметических циклов через Лн(Х) . Для каждого х Е Х>" '> и у" Е Цх)* обозначим через д1у~ арифметический цикл (д>уУ, [ — 1ой]~с]~ б,<с>]). Р Определим р-и арифметическую группу Чжоу СН (Х) ммвгввбразив Х как факторгрупцу группы 2" (Х) по подгруппе Вв(Х), порожденной элементами вида д)уу, у е й(х)', х е Х>" 1>.
Положим СН*(Х) = Щ СН (Х) . АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 45 Мы имеем канонические морфнзмы абелевых групп ~: сн (х) — сн (х), [(г,д)] + [г], ы: СН (Х) -т (сегс( П 1сегс(' (С АР'Р(хв,)), [(л, д)] ~-+ Бх1О> + сИ'д, а: АР 'Р '(Х) -+ СНР(Х), т1 ~-т [(О, т1)]. Вспомним, что помимо групп Чжоу СНР(Х) со схемой Х связаны группы СНР*т(Х), равные по определению членам Ези т спектральной последовательности Квиллена для вычисления алгебраической К-теории схемы Х (см., например, [61]), В частности,' сн ' '(х) — . )сег(с~ ' Е ехс~ о ~(х) + ~е си ~) 1сп(сд': ®,ехм — ) К2"(х) + 12т*ех( — ) "(х) ) где с(Р ' переводит 1 Е й(х)* в о1т1, а Ю з по существу совпадает с отображением ручного символа.
Определим также морфизм групп р: СНИР '(Х) -т АР т'Р ~(хн) полагая р([(~*) ехм-о]) = — ~ 1ояЩ б,(С). хеХс~ (Эта сумма — злемент из АР '" '(Хн) в силу уравнения ПуанкареЛелона (2.1.1) и предложения 2.1.2, поскольку ~ ехс, о б1ч У* = О.) Отображение р тесно свюано с регулятором Бейлинсона (см. [Ве1] и [СВ5, 13,5]).. Наконец, обозначим через ЕР Р(хн) подпространство в АР Р(хн), состоящее из замкнутых форм, через НР Р(хн) — его образ в когомалогиях де Рама многообразия Х(С), через 1с — каноническое отображение из ЕР "(Хн) на НРР(хн) и через с — естественное отображение из групп Чжоу в когомологни де Рама '.
СН (Х) -~ И"(Х„), [г] т [5,(С)]. Мы имеем с ст ~ = Ь о ы. Если многообразие ХС1 проективно, то нл'Я(хн) можно отождествить с образом подпространства ЯР Р(хн) в АРР(хн) и с пространством тся "(Хн.) гармонических форм в АР Р(хн) (по отношению к какой-либо кзлеровой структуре на Х(С)). Арифметические группы Чжоу СН (Х) можно также описать с помощью пятичленных точных последовательностейс Тео1тема 3.2. Диаграмма СНР'Р '(Х) Рт АР 'Р '(Хн) -'+ СН (Х) — 4 СН"(Х) -+ О (2.2.1) Жан-Бенуь Босе — тонная последовательность. Если Хц проентивно, тпо точнот1 последоватпельностью будет и диаграмма СН'" '(Х)- Н ' (Х )-' СН (Х) — ' — ~~ СН"(Х) Е Ев н(Х) -'+"т Нв н(Хн) -т О. (2.2.2) 2.3. Линейные эрмитовы расслоения и арифметические циклы коразмерности 1. Пусть Х вЂ” арифметическое многообразие.
Тензорное произведение задает на множестве Р1с (Х) классов изоморфизма эрмитовых векторных расслоений ранга 1 структуру группы. Нулевой элемент этой группы — класс расслоения Ох с тривиальной метрикой ((!1(! = 1). Обратный элемент к классу изоморфизма линейного эрмитова расслоения (1, Й) — это класс расслоения Е ' с метрикой, двойственной к метрике Ь. Пусть г"' = (г', !! !!) — линейное эрмитово расслоение над комплексно-анзлитическим многообразием Ъ'.
Напомним, что его первая форма Чокеня — это по определению элемент из Акт (у), локально заданный равенством ст(Г) = — дд'1о3 (!в!!г, (2.3.1) где через в обозначено ненулевое голоморфное локальное сечение расслоения Е (правая часть в (2.3.1) не зависит от выбора в, поскольку логарифм модуля всякой голоморфной функции плюригармоничен, т.е. лежит в ядре отображения дд'). Пусть Ь = (Е, (! (!) — линейное эрмитово расслоение над арифметическим многообразием Х, и пусть в — ненулевое рациональное сечение расслоения Ь. Это сечение определяет мероморфное сечение вс расслоения Ъс. Функция 1о3!(вс(! локально класса Ь' на Х(С) и поэтому задает элемент в со в(Хн) (см.
п. 2.1). Пусть д(у(в) Б Я'(Х) — дивизор сечения в, а ст(То) — первая форма Чженя расслоения (Хс, (! )!) . Из уравнения Пуанкаре-Лелона (2.1.1) и из равенства (2.3.1) следует, что дд~ 1оь !)вс!!~ Бв3ттас) ст (Х с) Поэтому пара д(у(в):= (д)у(в), — 1о3!!вг!(~) определяет элемент из г (х). Следующее предложение представляет собой обобщение на арифметические многообразия классического соответствия между классами линейной эквивалентности дивизоров и классами изоморфизма линейных расслоений.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 47 1 Предложение 2.3. (1) Класс ст(Т) никла т))в(в) в СН (Х) не зависитп отп выбора в. (2) пт(ст(Ь)) = ст(Ь), Дст(1)) = ст(1) .т) (3) Если [] [[ и [[ [[' = гт«та[[ [[ — двг эрмитовы мстприки на тинейном расслоении Ь над Х, тао ст(«,][ ][) — ст(Б,[[ [[ ) = а(у). (4) «Арифметический первый класс Чжаня«сд задает изоморфизм ст. Р)с(Х):+ СН (Х) . С помощью этого изоморфизма точная последовательнбсть (2.2.1) отождествляется при р = 1 с О(Х).
лт Ав,в(Хн) -'+ Р)с(Х) т Р1с(Х) -+ О, (2.3.3) где р(У) = — 1ой [Ус[', а(д) = [(Ох, 11 1]в)], где [[1[[э = ев, Ь([Б]) = [Ь]. В случае когда Х вЂ” спектр кольца целых Ок числового поля К, эта точная последовательность превращается в О» -~т К" е" -+ Р)с(Брег Ох) -т С1 Ок '-т О, где через гт и гз обозначено число вещественных и комплексных точек поля К, а через С1 Ох — группа классов идеалов поля К. Отображение р совпадает с регулятором Дирихле.
2.4. Функториальйость и мультипликативная структура. Следующая теорема представляет собой сводку основных результатов статьи [СЯ5]. Теорема 2.4. (1) Обратный образ. Каждому морфизму ~: Х вЂ” > У арифмгтпических многообразий соответствует морфизм абглгвых групп ('. СН (У) -~ СН (У) . Длл любых двух морфизмов у: Х -+ У и д: У -+ Я арифметических многообразий мы инеем 7"д' = (д о 7)*; топким образом, СН(Х) — функтпор отп Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
