Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 13
Текст из файла (страница 13)
х(с] (3) Пусть Š— эллиптическая кривая над ь«, и пусть Х вЂ” ее регулярная минимальная модель над Е. Предположим для простоты, что Е имеет полустабильную редукцию над 2, выберем дифференциал Нерона а на Х и обозначим через Ь дискриминант кривой Е. Простые числа, в которых Е имеет плохую редукцию, — это в точности делители числа Ь, и если р — такое простое число, то степень (над Рр) цикла Ер особых точек многообразия ХР, равна нормированию числа Ь в р. Снабдим Т„метрикой так, что ]]«г~']] = 1, а Ох — тривиальной метрикой. Детерминантное пространство Л(Ох ) Жаи-Бенуа Боот 66 отождествляется с л.-модулем 2а, и поэтому с(ебх(Л(Ох), ]] [[о) = — 1о3 []а][су.
ПУсть озт — относительный ДУализУюЩий пУчок к и, снабженный такой метрикой, что []а]] = 1. Этот пучок — линейное эрмитово расслоение над Х, причем тривиализованное сечением а. С другой стороны, вычислив явно изоморфизм между Т, и и ' на общем слое и, можно показать, что тйт = таас;.— '[(2'г„с)] =1,— '[(2 з„з)). Получаем также Йе~[сЬ(Ох) . Тс) Х] = беях'ЫТ (поскольку сух н Тх(о1 тривиальны) — 1о3р.о (Ь) = — !оба. 1 1 12 " 12 Ма В этом случае арифметическая теорема Римана — Рсха сводится к предельной формуле Кронекера (см. п. 4.1, пример (2)). 4.3. Приложения. Сохраним обозначения теоремы 4.2 и рассмотрим, кроме того, линейное эрмитово расслоение Х над Х. Висмю и Вассеро показали [В17], что если форма кривизны с1 (Т) Б Аьд(Х(С)) всюду строго положительна, то существует асимптотическое разложение 7(Х(С), ьз, Е ® Х") = 73Е сз(Ь)4. пл)обп+ 0(п~), 1 2(" 1)' х<с1 (4.3.1) где п -у +оо, а через Ы обозначена комплексная размерность многообразия Х(С).
С другой стороны, теорема 4.1, примененная к Е Э ТР, даетц с)е3(Л(Е З Ьв), ][ ][47) = гБЕ. с(ебхсд(Т)вы . пи+7 + 0(пв), (4.3.2) при и-у+со. ПДля тога чтобы вывести зто асимптотическое разложение, не требуется теоремы 4.2 в наиболее сильной форме. Достаточно результатов (СЯ7]. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 67 Из (4.3.1) и (4.3.2) следует Теорема 4.3 (см. (ОБО]). Сохраним обозначения теоремы 4.2 и рассмотприм линейное эрмитово расслоение Х над Х, обильное по отношению к морфизму тт: Х -+ БресИ и тпакое, что ст(ЬО) > О. Тогда при и -4+оо бей(Н~(Х; ЕЭЕ"),)1 Цс») = тяЕ.Ьедхсд(1,) +!.па+ (б+ 1)! +, тяЕ / с)Щ .п~!они+ 0(п"), (4.3.3) 4(д — 1)1 тя!с) где через д обозначена комплексная размерность многообразия Х, а через 11 ((с» Еэ-норма на Но(Х; Е З П'), полученная из кэлеровой метприки!) ьт на Х(С) и из эрмшповой структуры на Е В Ь".
Напомним, что если У вЂ” проективное многообразие размерности д, скажем, для простоты, над С, снабженное обильным линейным расслоением Ь, то его степень по отношению к Ь по определению равна ~ с)(Ь), н ее можно вычислить «по Гнльберту-Самюэлю» как предел д1 1пп — '41тН~(»т; Ьо"). »-»+сс и'! Асимптотическая формула (4.3.3) позволяет получить аналогичное выражение для высоты арифметического многообразия. Следствие 4.4.
Пустпь Х вЂ” арифметпическое многообразие, собственное над Е и ятпноситпельной размерности д (и, значи!в, абсолютной раэмерноспм» 4+1), и пусть Ь вЂ” линейное эрмитово расс юение над Х, обильное тю оп»ношению к морфиэму я: Х -т БресЕ и такое, чтпо с)(ТО) ) О. Высота йецхст(Т)в+! многообразия Х по оп»ношению к Г равна 1пп „, ' бей(Н(Х; Еи»), ~~ Ь») ("+ 1)' — о . з» »-»+ос и + где через )( )(с» обозначена 13-метрика на Но(Х; 1.м"), полученнал иэ кзлеровой метприкит) на Х(С) и из эрмитовой структпуры на Ти". 1) ~заметим, что первые два члена правой частн (4.3.3) на самом деле не а«васях От «т.
т) Пропав»«ьнсй, яо одной в тон жв дяя всех». 68 Жан-Бенуа Бост Если положить Л(н) = бппс Ню(Х(С) ' Ес Э Ьнс), то теорема Минковского, примененная к решетке Нв(Х; Е Э Ь"), показывает, что Ю(з с Но(Х; Е Э Ьн); (!з!! < 1) яь(н)/2 > „ехрдеб(Но(Х; ЕЭЬ"),!! (!т,»). (434) Сопоставляя зто неравенство с оценкой Л(п) = 0(ив), (4.3.5) которая получается, например, из формулы Римана-Роха на Х(С), и с асимптотическим выражением (4.3.3), получаем, что если выполнены предположения теоремы 4.3 и к тому же Йедхсь(Т) + > О, то расслоение Е Э Ь" имеет при большом п сечения с архимедовой г г-нормой не больше 1. На самом деле в предположениях теоремы можно сравнить норму (! !!т» на сечениях расслоения Ес Э Ьс с нормой (! !(ь, равной по определению !(з!!ь = з"Р !)з(х)!)йнб" .
(4.3.6) аеХ(с) А именно можно показать, что существует не зависящая от и константа С > О, такая, что для всякого з Б Но(Х(С); Е Э Ь") )(з))ь < Сп !!з()ь». Из соотношений (4.3.3)-(4.3.6) выводится следующая теорема, дающая решение »наивной арифметической проблемы Римана — Роха» из п. 1.4: Следствие 4.5. Пустпь Х вЂ” арифметпическое многообразие, собстпвенное и отпносипьельной раэмерностпи д над Е, пустпь Š— арми»иова векшорное расслоение над Х, и пустпь Т вЂ” линейное эрмитпово расслоение над Х, обильное по оп»ношению к я: Х -+ Ерес Е и »покое, чтпо ст(Тс) > О и беясь(Т) +' > О. 'Тогда 1О64Р(з Б Но(Х; ЕЭГ): !)з(!ь < Ц (д+ 1)! > теЕ.
дебхсь(Т) +' но ы + 0(п~) . АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 69 Это утверждение в другой форме играет ключевую роль в новом доказательстве гипотезы Морделла, данном Войтой [Ч]. Для арифметических поверхностей (т.е. для с1 = 1) зто утверждение было доказано в менее точной форме Фальтннгсом [Ра1], а недавно Шу-Ву Чжанг доказал его полностью под названием»критерий аркфметической обильностн» (см. [Е]).
ЛИТЕРАТУРА [АЦ Аракелов С. Ю. Теории пересечении диввзороа ва арифметической поверхности. — Изв. АН СССР, 1974, т. 38, №б, с. 1179-1192. [А2] АгвЬе!оч Я. Л., ТЬеогу о1 !псегзессюп оп вл апсЬшес!с вит1асе, Ргос. 1пт. Сопб. о( МаСЬ., Чзпсоичет, чо1. 1, 1978, 405-408. [Ве1] Вейлинсон А. А.
Высшие регулвторы и зиачеввя Ь функцвй.— В квс Соврем. проба. математики. Новейшие достижении, т. 24, Мс ВИНИТИ, 1984, с. 181-240. [Ве2] Ве!1!пзоп А. А., Не!ЕЬС ратгшбз Ьемчееп а!8еЬгыс сус1ев, СопСешр. МаСЬ. 67, 1-24. [В!1] В!впшС Л.-М., Яирегсоппесбопз, сштепсв аш! сошр!ех сшшегвюпв, 1пчевС. МаСЬ. 99 (1990), 59-113. [В!1] В!ввис Л.-М., Ковви1 сошр!ехев, Ьаппошс овс!Патогв апс! СЬе ТосЫ с1звв, Л. Ашег.
МаСЬ. Яос. 3 (1990), 159-256. [ВСЯ1] Ваши! Л.-М., С!1!ет Н., ЯоиИ С., Апа!ус!с Сотз!оп апс! Ьо!ошогрЫс ссесепшпзпс Ьипб!ев. 1. Вом-СЬегп !опав апс! зпа!ус!с !отпоив; 11. Рпесс !шабез аис! Вост-СЬеп 1оппв; 111. С)и!Яеп шеспсз оп Ьо1ошогрЫс с!етегпппаптз, Сотпш. МаСЬ. РЬуз.
115 (1988), 49 — 78, 79-126, 301-351. [ВСЯ2] Вьчппн Л.-М., С01ет Н., Яои!е С., Сошр1ех !шшетвювв апс! АгзЬе!оч беоптетту, СгоСЬепгЕес!с РевтвсЬг!ЛС, ВпЬЬаивег, 1990. [ВСЯЗ] Вмшит Л.-М., С!11ес Н., Яои!4 С., Вост-СЬегп сштепсв апс! сошр1ех !шшетв!опв, 1ЛсСЬе МасЬ.
Л. 60 (1990), 255-284. [ВЬЛ] Вюпит Л.-М. ес 1,еЬеаи С., 1шшегвюпв сошр!ехез еС шбтпциев с!е с)и!1!еи, С. В.. Аеас!. Яс!. Рзпв 309, Ббг!е 1 (1989), 487-491. [ВЬ2] ВИпшС Л.-М., ЬеЬеаи С., Сошр!ех 1шшегвопв апс! С)и!!!еп шетпсв, Ртерт!пт, От»ау, 1990. [ВЧ] В!вшис Л.-М., Чзввегос Еч ТЬе ззушрсос!с о1 сЬе Вву-Б!пбег апа1ус!с сотвюп зшосшсес! иисЬ ЫЯЬ ракеш о1 а ров!с!че !ше ЬипсВе, Сошш. МаСЬ. РЬув. 125 (1989), 355-367.
[В!] В!осЬ Я., НевйЬс раЬш3з сот а18еЬгшс сус1ев, Ргос. Ьишшу соп1егепсе оп а18еЬгмс К-СЬеогу, Л. Рше Арр!. А18еьга 34 (1984), 119 — 145. [ВС] Вост В, СЬегп Я. Б., Негш!с!ап честит Ьипсйв аш1 сЬе есСи!4!вспЬиС!оп о1 зегоев оГ сЬе!г Ьо!ошогрЫс вест!опв, Асса МасЬ. 214 (1968), 71-112. [1уе] 1Ле!!Епе Р., 1 е бесепп!паис с!е 1а соЬошо!об!е, ш Сшгепт сгепс(в !и апСЬ- шейса! а18еЬга!с беошесту (К. В»Ьес, е»Ь), Совсешр. МасЬ.
67 (1987), 93-177. 70 Жвн-бенуа босх [Оо] Вова!йвов Я., АввбвеИсйпа1 Хапб-МИ!в сопвесНовз очег сошр1ех а18еЬтак вохЕасев апй вгаЫе чессог Ьвпй!ш, Ргос. Е опйоп МаСЬ. Бос. 80 (1986), 1-26. [ЕЦ ЕИИЬ В., РтЬгев г1'тптетвестюв еС штебга1сз йе с1ашев йе СЬепт, Апв, Боб Есо!е !гЕотш. Япр. 22, 4 ~~ з6пе (1989), 195-226. [Е2] ЕПсй К., Метги1всв вш 1ез ЙЬгев й'!птегзестюп, ВпЬе МаСЬ. Л. 62 (1990), 303-328.
[РаЦ Ра!Сгабз С., Са1св1вв оп аг!СЬшет!с впгЕасев, Агш. оЕ МаСЬ. 119 (1984), 387-424. [Ра2) Ра1Сшбв С., В!орЬавт!пе арргох!шаВоп ов АЬеИап чзх!ет!ев, ртерппС, 1989. [Рп] Рв!сов Чт'., 1псегвессюв сЬеоту, ЕгбеЬв!вве йег МасЬешаСгй ппй !Ьгег СгеввбеЫеСе 3. Ро18е, Вапй 2. Брпвбег-Чех!аб, Вег1ш — Не!йе!Ьгтб-Хетт ХогЬ, 1984. [Имеется перевод: Фултон У. Теория пересечений. — Мх М р, 1983.] [СЦ СИ!еС Н., Вхешапп-КосЬ СЬеогептв Еог ЬабЬег а1беЬгак К-СЬеогу, Айч. !в МасЬ.
40 (198Ц, 203 — 289. [О2) СИ!ес Н., Ав !псгойвсС!оп Со ЫбЬет йввевв!опа! АтаЬе!оч СЬеоту, СовСешр. МаСЬ. 67, 209-228. [СЯЦ СтИес Н., Яов1е С., 1всетзессюп ввг!ез чапесез й'АтаЬе!оч, С. В.. Асай. Ясб Рзпв, 299, Ябпе 1 (1984), 563-566. [СБ2] С!Иес Н., Яоп!6 С., С!ашев сагассбпвси!вев ввг 1ев чап646з й'Ага1те1оч, С. К. Асай. Бп'. Рапв, 301, Яепе 1 (1985), 439-442.
[СЯЗ] ЕПИес Н., Яоп!6 С., Е!!гесс пвабев оЕ Негш!С!ап Ьо1апюгрЫс Ьивйсев, ВпИ. Ашег. МаСЬ. Яос. 15 (1986), 209-212. [СЯ4] СтИет Н., Яов!6 С.,!пеегвесВоп СЬеогу взшб Айашв арета!!опз, 1вчепС. МасЬ. 90 (1987), 243-277. [СЯ5] СгИес Н., Боп1е С., Ат!сЬшес!с шсегвесс!оп сЬеогу, РвЫ. МасЬ. 1.Н.Е.Я., 1990, 1т!о. 72, 93-174. [СЯб) СИ!ес Н., Яов16 С., СЬагастет!вс1с с!ашев Еог а18еЬгак честог ЬвптИев чйСЬ НепшС!ап шетпс, 1, 11, Апп. оЕ МаСЬ.
131 (1990), 163-203. [СЯ7] СИ!ес Н., Яоп16 С., Ава!уск согвюв аги! сЬе ах!сЬшес!с Тойй Пеппе, ргврпПС 1.Н.Е.Я., 1988. [СЯ8] СИ!ес Н., Яоп!6 С., ОПЕегек!а1 сЬагассетз апй апсЬсьесгс шсегвессюп СЬеоту, тп "А!беЬгак К-СЬеогу: соппестювв нВЬ беошеСгу аш1 Соро!- обу", ееИсей Ьу Л. Р. ЛаггИпе апй Ч. Р. БпЫсЬ, 5!АТО АЯ1 Бепев С, Чо!. 279, К11пчег Асайеппс РвЫмЬегв, 1989, 29-68. [СЯ9] ОтИет Н., Боп!е С., АгарПСпйе ат!СЬш6С!Иве, С. В.. Асай. Бс!. Рагщ 80'У, Яепе 1 (! 988), 887 — 890. [СЯ10) О!Пес Н., Яоп16 С., 1!в сЬ6огбше йе Вхешапп-КосЬ-СгосЬевеПесй апсЬ- ш6С!тсце, С. К. Асай.
Яс!. Рапв 309, Бепе 1 (1989), 929-932. [СН] СпЕИсЬв Р., Нзхпв 3н Рппс!р!ев оЕ а!беЬгис беошезту, ЛоЬп ЖПеу авй Яопв, 1978. [Имеется перевод: Грнффнтс Р., Харрис Дм., Основы алгебранчесхой геометрии. — Мс Мнр, 1982.] [КМ] Кпвйзев Р., МпшЕогй 11., ТЬе рго)есс!ъВу оЕ сЬе шойвИ врасе оЕ всаЫе сшчев, 1, Ргейштпапев оп нйеС" апй "й!ч", МаСЬ. Ясаш!. 39 (1976), 19-55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
